平行四边形存在性问题探究题2025年九年级中考数学复习

平行四边形存在性问题探究题 类型一：与一次函数相关问题 1.【阅读材料】在平面直角坐标系中，以任意两点，为端点的线段中点的坐标为。 【材料运用】 如图，矩形的对角线交于点，，分别在轴和轴上，为坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为___________； 如图，将绕点旋转得到，设点的坐标为，则点的坐标为________； 如图，在平面直角坐标系中，有，，三点，另有一点与，，构成平行四边形，求点的坐标。 2.已知：直线与直线相交于点。 求及的值；并画出图形 若与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点，求证： 在的条件下，若点与、、能构成平行四边形，直接写出点的坐标。 3.如图，经过点的直线与轴交于点，与直线交于点，点的横坐标为，点是直线上的一个动点点与，不重合，过点作轴的平行线，分别交直线和轴于点，，设动点的横坐标为． 求直线所对应的函数表达式； 当时，求的值； 如图，作轴，交直线于点在点运动过程中，是否存在某一时刻，使得，，，四点构成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 4.如图，直线分别与轴、轴交于、两点，与直线交于点． 点坐标为______，_______，为______，______； 在直线上有一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，当为何值时，点、、、能构成平行四边形； 若点为轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点，使得、、、四个点能构成一个菱形．若存在，请直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 5.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边在轴上，直线经过等腰直角三角形的直角顶点，交轴于点． 点坐标是____ ，_____；点坐标是____ ，_____． 若是坐标平面内任意一点，使点、、、刚好能构成平行四边形，请直接写出符合条件的点的坐标． 若点是轴上一动点．点的坐标是，是以点为直角顶点的等腰三角形．求出的值并写出点的坐标． 类型二：与动点相关问题 6.如图，在矩形中，，，，，分别从，，，出发沿，，，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止已知在相同时间内，若，则，，． 当为何值时，以，为两边，以矩形的边或的一部分为第三边构成一个三角形． 当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 7.如图，是的角平分线，点是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，交于点，在射线上取一点，使． 求证：； 如图，已知，． 求的长； 图中存在四个点，以它们为顶点能构成一个平行四边形，在图中画出这个平行四边形，并证明它是平行四边形． 8.如图，等边的边长为，动点从点出发，沿的方向以的速度运动，动点从点出发，沿方向以的速度运动． 若动点、同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？ 若动点、同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点、、以及的边上一点恰能构成一个平行四边形？并请指出此时点的具体位置． 类型三：与二次函数相关问题 9.如图，已知二次函数的图象交轴于点和点，交轴于点． 求这个二次函数的表达式； 在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 在平面直角坐标系内，是否存在点，使，，，四点构成平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 10.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，顶点的横坐标为． 求二次函数的表达式． 若直线与轴相交于点，在第一象限内与二次函数的图象相交于点，当取何值时，有最大值求出这个最大值． 若为二次函数的图象的对称轴上一动点，将二次函数的图象向左平移个单位后，为平移后二次函数的图象上一动点在的条件下求得的点，是否能与点，，构成平行四边形若能构成，求出点的坐标若不能，请说明理由． 11.如图所示，抛物线交轴于、两点点在点的左侧，交轴于点，已知，对称轴在轴左侧． 求抛物线的表达式； 若点在对称轴上，则抛物线上是否存在点，使得点、、、构成平行四边形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 12.如图，抛物线经过点，，直线：交轴于点，且与抛物线交于，两点，为抛物线上一动点不与，重合． 求抛物线的解析式； 当点在直线下方时，过点作轴交直线于点，轴交直线于点，求的最大值； 设为直线上的点，以，，，为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，请直接写出点的坐标；若不能，请说明理由． 1.【答案】解：； 如图所示：  根据平行四边形的对角线互相平分可得： 设点的坐标为， 以点、、、构成的四边形是平行四边形， 当为对角线时，设，  ，， 的中点坐标为 点坐标为； 当为对角线时， 设， ，， 的中点坐标为 点坐标为； 当为对角线时， 设， ，， 的中点坐标为 点坐标为：． 综上所述，符合要求的点有：，，．   【解析】【分析】 本题考查了平行四边形的性质及矩形的性质，关键是掌握已知两点求其中点坐标的方法，以及分类讨论． 根据矩形的对角线互相平分及点的坐标，代入给出的中点坐标公式即可得出答案； 设：点的坐标为，根据中心对称的性质得，则点是的中点，再根据中点坐标公式得方程组，解方程组即可解答； 根据题意画出图形，然后可找到点的坐标． 【解答】 解：根据中点公式，可得，即 故答案为； 设：点的坐标为，根据中心对称的性质得，点是的中点， 根据中点公式得 解得 点的坐标为． 故答案为 见答案． 2.【答案】解：根据点在直线上，则代入可得， ， 是两直线的交点， 代入直线可得，解得， ， 则与坐标轴的交点为，，直线与坐标轴的交点坐标分别是，， 如图所示： ； 证明：，则， ，， ，， ， ； 解：如图： ， 的坐标为，，．  【解析】本题主要考查了一次函数，关键是熟练掌握一次函数的性质． 先根据交点坐标代入第二个直线解析式中得出的值，然后把的坐标代入第一个直线解析式中可得的值，最后根据与坐标轴的交点画图图形即可； 根据勾股定理和点的坐标求出和的长度，通过长度相等即可证明结论； 根据平行四边形的性质得出点所在的位置，然后写出点的坐标即可． 3.【答案】解：把点的横坐标为代入得：， ， 设直线函数表达式为，将，代入得： ， 解得， 直线函数表达式为； 的横坐标为， ，， ， ， 解得或， 答：的值为或； 存在某一时刻，使得，，，四点构成的四边形是平行四边形，理由如下： 根据题意知：，，，， 若、为对角线，则、的中点重合， ， 解得， ； 若、为对角线，则、的中点重合， ， 方程组无解，这种情况不存在； 若、为对角线，则、的中点重合， ， 解得， ； 综上所述，的坐标为或  【解析】把点的横坐标为代入得，设直线函数表达式为，用待定系数法可得直线函数表达式为； 由的横坐标为，可得，，即知，可解得的值为或； 根据题意知：，，，，分种情况：若、为对角线，则、的中点重合，有，解得；若、为对角线，，方程组无解，这种情况不存在；若、为对角线，则、的中点重合，，解得 本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，一次函数图象上点坐标的特征，平行四边形等知识，解题的关键是用含的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度． 4.【答案】解：，；，． 将代入，得： ，解得：， 直线的解析式为． 点的横坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 当时， ． 四边形是平行四边形， ，即， 解得：， 当时， 四边形是平行四边形 ，即，解得：， 当为或时，四边形是平行四边形． 点或或或．  【解析】【分析】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及平行四边形的性质，解题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式；利用一次函数图象上点的坐标特征及平行四边形的性质，找出关于的一元一次方程；分是菱形的一条边、是菱形的对角线两种情况，分别求解即可． 由点的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标； 由点的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点，的坐标，分两种情况讨论，分别得出的长，再利用平行四边形的性质即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； 分是菱形的一条边、是菱形的对角线两种情况，分别求解即可． 【解答】 解：将代入，得： ，解得：， 直线的解析式为． 当时，， 点的坐标为； 当时，， 解得：， 点的坐标为． 故答案为，；，． 见答案； 当是菱形的一条边时， 则，或者， 则点的坐标为或或， 则点或或； 当是菱形的对角线时， 设点，点， 由中点公式得：，， 由菱形性质知：得：， 联立并解得：，，， 故点， 综上，点或或或． 5.【答案】解：，；，； 点坐标为或或 ； 如图为所求的等腰直角三角形，连结， ， ， ， 在与中， ≌， ， ，， ，， 点的坐标是， ， ．  【解析】【分析】 此题考查一次函数与等腰三角形，根据一次函数的图形和等腰三角形的性质及平行四边形的判定以及全等三角形求解． 根据轴上点的坐标特点及直线解析式求出点坐标，根据等腰直角三角形的性质设出点坐标，代入一次函数解析式求得点坐标； 根据平行四边形的判定直接写出答案； 根据等腰直角三角形的特点，利用全等三角形求解． 【解答】 解：当时， ，； 过点分别作轴于点，轴于点， 是等腰直角三角形，． 设点的坐标为， 点在直线上， ，解得，， 故答案为：，；，． 点，点，点， 点、、、构成平行四边形，平行四边形对边平行且相等，如下图所示， 可知，，； 见答案． 6.【答案】解：当点与点重合或点与点重合时，以，为两边，以矩形的边或的一部分为第三边可能构成一个三角形． 当点与点重合时，由，得，舍去． ，此时点与点不重合， 符合题意； 当点与点重合时，由，得． 此时，不符合题意． 点与点不能重合， 所求的值为； 由知，点只能在点的左侧， 当点在点的左侧时， 由， 解得舍去，． 当时四边形是平行四边形； 当点在点的右侧时， 由， 解得舍去，． 当时四边形是平行四边形． 所以当或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．  【解析】以，为两边，以矩形的边或的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点、重合且点、不重合，此时即，即；或者点、重合且点、不重合，此时即，即根据这两种情况来求解的值即可；  以，，，为顶点的四边形是平行四边形的话，由知，点只能在点的左侧．当点在点的左侧时，，，可列出方程，求得方程的解即可；当点在点的右侧时，，，可列出方程由，由此解答即可． 此题主要考查一元二次方程的应用、平行四边形的判定与性质，矩形的性质，正确借助图形的性质找出数量关系，联立方程是解决本题的关键． 7.【答案】证明：平分， ， ， ， 点是的中点， ， ， ，， ， ， ≌， ； ， ， ， ， ， ≌， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ， ， ， ； 四边形是平行四边形，理由如下： 如图， ，， 四边形是平行四边形．  【解析】由“”可证≌，可得； 由全等三角形的性质可求，可得，由相似三角形的性质分别求出，的长； 由平行四边形的判定可求解． 本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质等知识，利用相似三角形的性质求出的长是解题的关键． 8.【答案】解：由题意得：， 解得：， 经过秒、两点第一次相遇； 当时，点、、的位置如图所示： 四边形为平行四边形， ，． 为等边三角形， ． ． ， 同理得：， ， 即：， 解得， 此时点在上，且，； 当时，此时、、三点在同一直线上，不能构成平行四边形； 当时，点、、的位置如图所示： 四边形为平行四边形， ，． ， 为等边三角形， ． ． ． 同理得：， ， 即：， 解得：， 此时点在上，且，； 当时，点、、的位置如图所示： 则，， 由题意可知：为等边三角形， ，即：，解得，此时、重合，不能构成平行四边形． 答：运动了或时，、、、四点能够成平行四边形，此时点在上，且运动了时，运动了时．  【解析】本题主要考查的是等边三角形的性质，平行四边形的性质等有关知识，运用了分类讨论思想． 设经过秒钟两点第一次相遇，然后根据点运动的路程点运动的路程列方程求解即可； 首先根据题意画出图形：当时，；当时，此时、、三点在同一直线上，不能构成平行四边形；时，；当时，为等边三角形，由可求得的值． 9.【答案】解： 二次函数的图象交轴于点和点，交轴于点， ，解得， 二次函数的表达式为； ， 对称轴为， ， ， 在对称轴上， ， ，即当、、三点在一条线上时的值最大， 设直线解析式为， ，解得， 直线解析式为， 令可得， 存在满足条件的点，其坐标为； 存在点，使，，，四点构成平行四边形， 理由：以为边时，则有，即点的纵坐标为， ，且， 或， 以为对角线时，必过线段中点，且被平分，即：的中点也是的中点， 、中点坐标为，且， 点横坐标，点纵坐标， ， 综合可知存在满足条件的点，坐标为或或．  【解析】由、两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； 由、关于对称轴对称，则可知，则当、、三点在一条线上时满足最大，利用待定系数法可求得直线解析式，则可求得点坐标； 分为边和为对称线两种情况，当为边时，利用平行四边形的性质可得到，可得到关于点的方程，可求得点坐标，当为对角线时，则的中点也为的中点，则可求得点坐标． 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称的性质、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在中注意待定系数法的应用步骤，在中确定出点的位置是解题的关键，在中分为边和为对称线两种情况分别求解是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 10.【答案】． 当时，有最大值，最大值为． 能点的坐标为或或   【解析】略 11.【答案】解：抛物线交轴于点， ， 抛物线的解析式为， ， ， ， 抛物线的表达式为； 存在点，使得点、、、构成平行四边形． 抛物线的解析式为， 时，或， ，， 若为边， ，， 在对称轴上， 点的横坐标为或， 当时，，当时，， 或； 若为对角线时， ，， 的中点的坐标为， 在直线上， 设的横坐标为， ， ， 把代入抛物线解析式得， ． 综上所述，的坐标为或或．  【解析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，平行四边形的性质，平行线的性质，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 由题意得抛物线的解析式为，把，代入求出，则可得出答案； 分两种情况：若为边，若为对角线时，由平行四边形的性质可得出答案． 12.【答案】解：把，代入得，， ， 抛物线的解析式为：； 设， 轴，轴，，在直线上， ，， ， ， ， 当时，的最大值是； 能． 理由：交轴于点， ， ， 设， 若以，，，为顶点的四边形能构成平行四边形， 以为边， ，， ， ，或， ，舍去，，， ，，， 以为对角线，连接交于， ，， ， 设，则， ， ， ，舍去， 综上所述，，，、，以，，，为顶点的四边形能构成平行四边形．  【解析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，二次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键． 把，代入解方程组即可得到结论； 设，得到，，根据二次函数的性质即可得到结论； 求得，得到，设，以为边，根据，列方程得到，舍去，以为对角线，连接交于，，，得到，设，则，列方程得到此方程无实数根，于是得到结论． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$