精品解析：山东省淄博市张店区2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题

2024~2025学年度第二学期期中学业水平检测 初二数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 下列事件中属于必然事件的是（ ） A. 校园排球比赛，七年级一班获得冠军 B. 张店区明天是晴天 C. 在一个只装有白球的袋子中摸出一个白球 D. 抛投一枚骰子，朝上一面的点数是6 2. 下列命题中，是真命题的是（　　） A. 相等的两个角是对顶角 B. 同位角相等 C. 若，则 D. 平行于同一条直线的两条直线平行 3. 已知方程，用含y的式子表示x为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，已知，平分．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 一个小球在如图所示的地面上自由滚动，小球停在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个黑球、3个白球、2个蓝球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 白球 C. 蓝球 D. 红球 7. 《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 8. 形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”，如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，如果一个点的坐标可以用来表示关于x 、y的二元一次方程组的解，那么这个点是( ) A. M B. N C. E D. F 10. 对x、y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，则下列结论正确的有（ ） ①； ②若，则； ③若无论k取何值时，的值均不变，则； ④若对任意有理数x、y都成立，则． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题【本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 全家观影已成为过年新民俗．据悉2025年春节档共有多部重磅影片上映，小明打算从“《射雕英雄传：侠之大者》、《哪吒之魔童闹海》、《熊出没：重启未来》”三部影片中随机选择一部影片观看，则选中《哪吒之魔童闹海》的概率是______． 12. 把命题“互为相反数的两个数之和等于0”改写成“如果……那么……”形式___________． 13. 若关于x、y的方程组的解满足，则k等于______． 14. 周末，明明要去科技馆参观，该科技馆共有A、B、C、D、E、F六个展馆，各展馆参观所需要的时间如表，其中展馆B和展馆E设有特定时间段的专业讲解，若明明准备9：00进科技馆，12：00离开（各展馆之间转换时间忽略不计）． （1）若不考虑专业讲解的情况下，明明最多可以参观完______个展馆； （2）若B、E展馆必须参观且正好赶上专业讲解，本着不浪费时间的原则，请给出最合理的参观顺序______． 展馆 A B C D E F 专业讲解 无 9：30-11：00每半小时一场，共3场 无 无 10：00-12：00每1小时一场，共2场 无 参观所需时间（分钟） 60 30 45 15 60 90 15. △ABC中，∠A=55°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，点C落在△ABC内，如图，若∠CDA=20°，则∠CEB=________． 三、解答题（本题共8小题，共计90分，请把解答过程写在答题纸上） 16. 解下列方程组： （1）； （2） 17. 如图，一条直线分别与直线、直线、直线、直线相交于A，G，H，D，且，．求证： （1）； （2）． 18. 在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）上表中的________，________； （2）“摸到白球的”的概率的估计值是________（精确到）； （3）如果袋中有个白球，那么袋中除了白球外，还有________个其它颜色的球． 19. 如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． （1）若，求的度数； （2）求的度数． 20. 某商场今年五一劳动节期间为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：每购买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针上对准区域“D”则顾客未中奖；指针对准“A””B”“C”三个区域，顾客就可以分别获得2元、5元、10元的购物券一张（转到公共线位置时重转）． （1）若某顾客转动1次转盘，求其未中奖的概率． （2）小华购物98元，他获得购物券的概率是多少？ （3）小丽购物120元，那么： ①她获得购物券的概率是多少？ ②她获得5元以上（包括5元）购物券的概率是多少？ 21. 某新式茶饮店售卖含咖啡因饮料时，以红、黄、绿三色来表示每杯饮料的咖啡因含量（如图），各颜色的意义如表1所示． 表1 咖啡因含量标示 咖啡因含量 红色 超过100毫克 黄色 超过50毫克，但不超过100毫克 绿色 不超过50毫克 该茶饮店售卖的产品中有A、B两种类型含咖啡因饮料，表2为A、B两种饮料的容量及咖啡因含量标示，已知该茶饮店两种饮料每毫升的咖啡因含量均匀分布，1毫升A型饮料和1毫升B型饮料共含咖啡因毫克；2杯中杯A型饮料和1杯中杯B型饮料共含咖啡因280毫克． 表2 类型 杯型 容量 咖啡因含量标示 A型 中杯 400毫升 黄色 B型 中杯 400毫升 红色 （1）、B两种类型饮料每毫升的咖啡因含量分别为多少毫克？ （2）我国建议13岁以上18岁以下青少年每日的咖啡因摄取量不超过100毫克，初中生小明在14岁生日这一天和妈妈来到这家茶饮店，妈妈为小明买了一杯中杯的A型饮料，喝完后小明还想再喝第二杯，但是妈妈不同意．请判断小明再喝第二杯该店中杯的A型饮料，其中咖啡因摄取量是否符合我国的建议？若不符合，则日摄取量超出建议多少毫克？ 22. 【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：②-①得：③ ③得：， 所以的值为3． 【类比迁移】 （1）已知求的值； （2）若关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解______． 【实际应用】 （3）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？ 23. 【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P． 【提出问题】小明提出：和三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究． 【解决问题】 （1）探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由． （2）探究二：如图②，的数量关系为 ； 如图③，已知，则 ° （3）利用探究一得到的结论解决下列问题：如图④，射线分别平分和交直线于点E，与内部的一条射线交于点F，若，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期期中学业水平检测 初二数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 下列事件中属于必然事件的是（ ） A. 校园排球比赛，七年级一班获得冠军 B. 张店区明天是晴天 C. 在一个只装有白球的袋子中摸出一个白球 D. 抛投一枚骰子，朝上一面的点数是6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了必然事件，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：、校园排球比赛，七年级一班获得冠军是随机事件，此选项不符合题意； 、张店区明天是晴天是随机事件，此选项不符合题意； 、在一个只装有白球的袋子中摸出一个白球是必然事件，此选项符合题意； 、抛投一枚骰子，朝上一面的点数是6是随机事件，此选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列命题中，是真命题的是（　　） A. 相等的两个角是对顶角 B. 同位角相等 C. 若，则 D. 平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据对顶角、同位角、等式的性质和平行线的判定判断即可． 【详解】解：A、若两个角相等，则这两个角不一定是对顶角，原命题是假命题，故A不符合题意； B、两直线平行，同位角相等，原命题是假命题，故B不符合题意； C、若，则或，原命题是假命题，故C不符合题意； D、平行于同一条直线的两直线平行，是真命题，故D符合题意． 故选：D． 3. 已知方程，用含y的式子表示x为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用代数式表示字式，以及等式的基本性质．移项，再把x的系数化为1即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】方程， ， 所以：． 故选：B． 4. 如图，已知，平分．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是平行线的性质及角平分线的定义，解题时要熟练掌握并能灵活运用平行线的性质是关键．依据题意，根据平行线及角平分线的性质求解即可． 【详解】解：， ，； 平分， ． ． 故选：C 5. 一个小球在如图所示的地面上自由滚动，小球停在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算整个图形的面积和阴影部分面积，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：整个图形面积， 阴影部分面积， ∴小球停在阴影区域的概率， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了几何概率公式，解题的关键是掌握几何概率公式：一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率． 6. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个黑球、3个白球、2个蓝球和1个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 白球 C. 蓝球 D. 红球 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，由频率估计概率，先求出四种颜色球出现的概率，再根据频率估计出概率，即可求解． 【详解】解：由题意可知，袋子中的球共有：（个）， ∴黑球出现的概率为：， 白球出现的概率为：， 蓝球出现的概率为：， 红球出现的概率为：， ∵试验中该颜色的球出现的频率稳定在0.2左右， ∴该颜色的球出现的概率为0.2， ∴该种球的颜色最有可能是蓝球， 故选：C． 7. 《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺，不变的是井深，据此即可得方程组．正确理解题意，找准等量关系解题的关键． 【详解】解：设绳长x尺，井深y尺， 依题意，得：． 故选：C． 8. 形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”，如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，延长到，根据三角形的外角的性质得出，继而得出，代入已知数据，即可求解． 【详解】解：连接，延长到． ∵， ∴， ∵，，， ∴ 故选：B 9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，如果一个点的坐标可以用来表示关于x 、y的二元一次方程组的解，那么这个点是( ) A. M B. N C. E D. F 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系可直接进行求解． 【详解】解：由图象知，直线解析式为与相交于点E，若要求点E坐标即联立这两条直线解析式，即为， 故选C． 【点睛】本题主要考查一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键． 10. 对x、y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，则下列结论正确的有（ ） ①； ②若，则； ③若无论k取何值时，的值均不变，则； ④若对任意有理数x、y都成立，则． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的新定义运算，由，得，解方程组可判断；由，得，可判断；由，取何值时，的值均不变，得或，可判断是③；由得，根据对任意有理数都成立，得，即可判断④；理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 解得，故正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确； ， ∵无论取何值时，的值均不变， ∴或， 即或，故③错误； 当时， 则， ∴， ∴， 即， ∵对任意有理数都成立， ∴，故④正确； ∴结论的正确为①②④，共3个， 故选：B． 二、填空题【本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 全家观影已成为过年新民俗．据悉2025年春节档共有多部重磅影片上映，小明打算从“《射雕英雄传：侠之大者》、《哪吒之魔童闹海》、《熊出没：重启未来》”三部影片中随机选择一部影片观看，则选中《哪吒之魔童闹海》的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据简单地概率公式解答即可． 本题考查了简单的概率公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得选中《哪吒之魔童闹海》的概率是：． 故答案为：． 12. 把命题“互为相反数的两个数之和等于0”改写成“如果……那么……”形式___________． 【答案】如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零 【解析】 【分析】本题考查命题的改写，找准命题中的题设与结论是解题的关键；将原命题分解为题设和结论，并用“如果”引导题设，“那么”引导结论． 【详解】解：把命题“互为相反数的两个数之和等于0”改写成“如果……那么……”形式为“如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零”． 故答案为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零． 13. 若关于x、y的方程组的解满足，则k等于______． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据题意，两个方程相加得出，再根据，即可得出，即可得出答案． 【详解】解：， ，得， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2026． 14. 周末，明明要去科技馆参观，该科技馆共有A、B、C、D、E、F六个展馆，各展馆参观所需要的时间如表，其中展馆B和展馆E设有特定时间段的专业讲解，若明明准备9：00进科技馆，12：00离开（各展馆之间转换时间忽略不计）． （1）若不考虑专业讲解的情况下，明明最多可以参观完______个展馆； （2）若B、E展馆必须参观且正好赶上专业讲解，本着不浪费时间的原则，请给出最合理的参观顺序______． 展馆 A B C D E F 专业讲解 无 9：30-11：00每半小时一场，共3场 无 无 10：00-12：00每1小时一场，共2场 无 参观所需时间（分钟） 60 30 45 15 60 90 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】本题考查了时间的计算，推理与论证； （1）根据题意明明有3个小时即180 分钟，按照参观时间从小到大依次排序即可解答． （2）根据题意结合时间表，因为、的时间和为 90 分钟，根据表格数据解答即可． 【详解】解：（1）明明有3个小时，即180分钟的参观时间，按照参观时间从小到大排序，依次为（15 分钟），（30 分钟），（45分钟），（60 分钟），（60 分钟），（90 分钟）最多可以参观完、B、C、A等4个展馆用时150分钟． （2）为了赶上展馆的专业讲解，并且不浪费时间最合理的安排是：先参观展馆 90 分钟，正好去参观展馆30分钟，正好去参观展馆，到结束，这样可以保证不浪费时间，并完成展馆的专业讲解． 故答案为：4；． 15. △ABC中，∠A=55°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，点C落在△ABC内，如图，若∠CDA=20°，则∠CEB=________． 【答案】80° 【解析】 【分析】如图延长AD、BE交于点F，连接CF．首先证明∠1+∠2=2∠AFB，求出∠AFB即可解决问题． 【详解】解：如图延长AD、BE交于点F，连接CF． 在△ABF中，∠AFB=180°-55°-75°=50°， ∵∠ECD=∠AFB=50°，∠1=∠ECF+∠EFC，∠2=∠DCF+∠DFC， ∴∠1+∠2=∠ECF+∠EFC +∠DCF+∠DFC =2∠AFB=100°， ∵∠1=∠CDA=20°， ∴∠2=∠CEB=80°， 故答案为：80°． 【点睛】本题考查了翻折变换、三角形的内角和定理、三角形的外角等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 三、解答题（本题共8小题，共计90分，请把解答过程写在答题纸上） 16. 解下列方程组： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解：， 将  代入②得： 解得： 代入 得 所以方程组的解是  【小问2详解】 解：方程组 整理得， ，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是． 17. 如图，一条直线分别与直线、直线、直线、直线相交于A，G，H，D，且，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行，即可得证； （2），得到，进而得到，得到，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键． 18. 在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）上表中的________，________； （2）“摸到白球的”的概率的估计值是________（精确到）； （3）如果袋中有个白球，那么袋中除了白球外，还有________个其它颜色的球． 【答案】（1）， （2） （3）除白球外，还有大约个其它颜色的小球 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关知识，掌握频率的计算方法，根据频率计算总体数量是解题的关键． （1）根据表格中频率的计算方法即可求解； （2）根据频率估算，结合表格信息即可求解； （3）根据频率估算总体数量的方法即可求解． 【小问1详解】 解：，， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意，概率的估计值为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：摸到白球的概率为，设除白球外，还有个其它颜色的小球， ∴， 解得，， ∴除白球外，还有大约个其它颜色的小球． 19. 如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． （1）若，求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和、角平分线与高的性质，运用角度转化思想，关键是利用内角和及角平分线定义推导角度，易错点为角平分线分割角度时的比例错误； （1）先求，再由角平分线和高的性质推导； （2）先求，再由三角形内角和求． 【小问1详解】 解：是高，， ， ， ， 是的平分线， ， 【小问2详解】 ， ， 、是角平分线， ， ． 20. 某商场今年五一劳动节期间为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：每购买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针上对准区域“D”则顾客未中奖；指针对准“A””B”“C”三个区域，顾客就可以分别获得2元、5元、10元的购物券一张（转到公共线位置时重转）． （1）若某顾客转动1次转盘，求其未中奖的概率． （2）小华购物98元，他获得购物券的概率是多少？ （3）小丽购物120元，那么： ①她获得购物券的概率是多少？ ②她获得5元以上（包括5元）购物券的概率是多少？ 【答案】（1） （2） （3）①② 【解析】 【分析】本题考查了概率的应用； （1）由图算出的圆心角为，即可求解； （2）由得小华不能获得转动转盘的机会，即可求解； （3）由得能获得一次转动转盘的机会，小丽能获得一次转动转盘的机会，①获得购物券三个区域圆心角之和为，即可求解；②5元以上（包括5元）购物券区域圆心角之和为，即可求解； 掌握概率是求解方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：的圆心角为：， 其未中奖的概率为； 故某顾客转动1次转盘，求其未中奖的概率为； 【小问2详解】 解：每购买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会， ， 小华不能获得转动转盘的机会， 即获得购物券的概率是． 【小问3详解】 解：， 能获得一次转动转盘的机会， ①获得购物券三个区域圆心角之和为， ， 故她获得购物券的概率； ②5元以上（包括5元）购物券区域圆心角之和为： ， ， 故她获得5元以上（包括5元）购物券的概率是． 21. 某新式茶饮店售卖含咖啡因饮料时，以红、黄、绿三色来表示每杯饮料的咖啡因含量（如图），各颜色的意义如表1所示． 表1 咖啡因含量标示 咖啡因含量 红色 超过100毫克 黄色 超过50毫克，但不超过100毫克 绿色 不超过50毫克 该茶饮店售卖的产品中有A、B两种类型含咖啡因饮料，表2为A、B两种饮料的容量及咖啡因含量标示，已知该茶饮店两种饮料每毫升的咖啡因含量均匀分布，1毫升A型饮料和1毫升B型饮料共含咖啡因毫克；2杯中杯A型饮料和1杯中杯B型饮料共含咖啡因280毫克． 表2 类型 杯型 容量 咖啡因含量标示 A型 中杯 400毫升 黄色 B型 中杯 400毫升 红色 （1）、B两种类型饮料每毫升的咖啡因含量分别为多少毫克？ （2）我国建议13岁以上18岁以下青少年每日的咖啡因摄取量不超过100毫克，初中生小明在14岁生日这一天和妈妈来到这家茶饮店，妈妈为小明买了一杯中杯的A型饮料，喝完后小明还想再喝第二杯，但是妈妈不同意．请判断小明再喝第二杯该店中杯的A型饮料，其中咖啡因摄取量是否符合我国的建议？若不符合，则日摄取量超出建议多少毫克？ 【答案】（1）A型饮料每毫升的咖啡因含量为毫克，B型饮料每毫升的咖啡因含量为毫克 （2）小明再喝第二杯该店中杯的A型饮料，其中咖啡因摄取量不符合我国的建议，日摄取量超出建议60毫克 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设A型饮料每毫升的咖啡因含量为x毫克，B型饮料每毫升的咖啡因含量为y毫克，根据“1毫升A型饮料和1毫升B型饮料共含咖啡因毫克；2杯中杯A型饮料和1杯中杯B型饮料共含咖啡因280毫克”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）求出2杯A型饮料含咖啡因的总量，将其与100毫克比较作差后，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设A型饮料每毫升的咖啡因含量为x毫克，B型饮料每毫升的咖啡因含量为y毫克， 根据题意得：， 解得：， 答：A型饮料每毫升的咖啡因含量为毫克，B型饮料每毫升的咖啡因含量为毫克； 【小问2详解】 解：根据题意得：毫克， ，毫克， 答：小明再喝第二杯该店中杯的A型饮料，其中咖啡因摄取量不符合我国的建议，日摄取量超出建议60毫克． 22. 【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：②-①得：③ ③得：， 所以的值为3． 【类比迁移】 （1）已知求的值； （2）若关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解______． 【实际应用】 （3）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？ 【答案】（1）18；（2），（3）450元． 【解析】 【分析】此题考查三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键． （1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值； （2）对比两个方程组，利用换元、整体代换方法解方程组即可； （3）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，求出按照原价1本笔记本、1支签字笔、1支记号笔花费总数，即可求出购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要的钱． 【详解】解：（1）依题意，， ∴得：， ∴； （2）解： 关于x、y的二元一次方程组的解是， ∴关于x、y的二元一次方程组中，， 解得：， （3）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元， 根据题意得：， ∴得， ∴（元）， ∴购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元． 23. 【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P． 【提出问题】小明提出：和三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究． 【解决问题】 （1）探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由． （2）探究二：如图②，的数量关系为 ； 如图③，已知，则 ° （3）利用探究一得到的结论解决下列问题：如图④，射线分别平分和交直线于点E，与内部的一条射线交于点F，若，求的度数． 【答案】（1） ，理由如下： 如图①，       ∵， ∴， ∴， ∴． （2），145； （3） 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质，关键是由平行线的性质推出，由此结论来解决问题． 探究一：由平行线的性质推出，得到即可解决问题； 探究二：如图②，由平行线的性质推出，由三角形外角的性质即可得到； 如图③，由平行线的性质推出，求出，由三角形外角的性质得到； 如图④，由探究一的结论得到而，推出又，得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图②， ，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． 如图③，延长交于L， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【小问3详解】 ∵射线分别平分和， ∴， 如图④， 由探究一的结论得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $