精品解析：河南省商丘市虞城县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024-2025学年度第二学期期中学情质量监测卷（B） 八年级数学 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 使二次根式有意义x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形是平行四边形，O是对角线与的交点，，若，，则的长是（　　） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 4. 如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 1 5. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为，则正方形的面积为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 6. 如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝4，则菱形ABCD的周长为（ ） A. 48 B. 32 C. 16 D. 12 7. 如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（　　） A. 3米 B. 4米 C. 5米 D. 7米 8. 如图1是办公桌摆件，在图2中，四边形是矩形，若对角线，垂足是，，，，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，平行四边形中，对角线、相交于O，过点O作交于点E，若，，，则的长为（ ） A. B. 6 C. 8 D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，且，，则正方形的面积是（ ） A. 4 B. 9 C. 13 D. 5 二、填空题：（每小题3分，共15分） 11. 化简_____． 12. 如图，在矩形中，，，点为上的一点，平分，则的长为______． 13. 我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形的边长为14，正方形的边长为2，且，则正方形的边长为__________． 14. 如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EFBC，分别交AB、CD于点E，F，连接PB，PD，若AE=2，PF=6，则图中阴影部分的面积为___________ 15. 如图，矩形中，．点E为边上一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为___________． 三、解答题：（8小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，在平行四边形中，过点作于，点在边上，，连接、． （1）求证：四边形是矩形． （2）若平分，且，，求的长． 18. 如图，，平分，且交于点C． （1）作的角平分线交于点F（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹）； （2）根据（1）中作图，连接，若，，求四边形的面积． 19. 当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程： （1）_______________的解法是错误的； （2）当时，求的值． 20. 如图，在正方形中，对角线上有一点，延长线上有一点．连接交于点，且． （1）求证：； （2）求度数； 21. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示3的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数是_____． （2）应用场景2——解决实际问题． 如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 22. 如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以/秒的速度向点运动；同时点从点出发，以/秒的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点运动的时间为秒． （1）当四边形是矩形时，直接写出的值为_____； （2）在点，运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长； 23. 综合与实践 折纸是一种艺术，其中也包含了高超的技术，数学折纸活动有益于开发智力，拓展思维，在折纸活动中体会数学知识的内涵，理解数学知识的应用，可以让我们感悟到严谨的数学之美，还可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧． 定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形．这样的矩形称为完美矩形． （1）操作发现： 如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若面积为12，，则此完美矩形的边长_____，面积为_____． （2）类比探究： 如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，求完美矩形的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期中学情质量监测卷（B） 八年级数学 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 使二次根式有意义x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0即可得解． 【详解】解：根据题意得，x＋3≥0， 解得． 故选：C． 【点睛】此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是熟知二次根式被开方数为非负数． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则逐项进行判断． 【详解】解：A、与不能合并，所以选项错误； B、，所以选项错误； C、，所以选项错误； D、，所以选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，属于基础题，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 3. 如图，四边形是平行四边形，O是对角线与的交点，，若，，则的长是（　　） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 【答案】A 【解析】 【分析】由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得的长，然后由，，，根据勾股定理可求得的长，继而求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 4. 如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用，直角三角形斜边上中线的性质以及三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出的长．已知是的中位线，再结合已知条件则的长可求出，所以利用勾股定理可求出的长，由直角三角形斜边上中线的性质则的长即可求出． 【详解】解：四边形是矩形， ， 是矩形的对角线的中点，是边的中点， 是的中位线，， ， ， ， ， ． 故选：A． 5. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为，则正方形的面积为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．根据勾股定理的几何意义：，解得即可． 【详解】解：由题意：，， ∴ ∵正方形的面积依次为， ∴， ∴． 故选：C． 6. 如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝4，则菱形ABCD的周长为（ ） A. 48 B. 32 C. 16 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形的中位线定理可得BC＝8，由菱形的性质可求出菱形ABCD的周长． 【详解】解：∵点E，F分别是AB，AC的中点， ∴EF＝BC， ∴BC＝2EF＝2×4＝8， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝8， ∴菱形ABCD的周长＝32， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质和中位线的性质，利用中位线的性质求出菱形的边长是解题的关键． 7. 如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（　　） A. 3米 B. 4米 C. 5米 D. 7米 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：由题意可知．，， 由勾股定理得， 故离门4米远的地方，灯刚好打开． 故选：B． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理，解题的关键是善于观察题目的信息． 8. 如图1是办公桌摆件，在图2中，四边形是矩形，若对角线，垂足是，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理，由矩形的性质得出，由勾股定理求出，再由，即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ， 由勾股定理得：， ， 故选：B． 9. 如图，平行四边形中，对角线、相交于O，过点O作交于点E，若，，，则的长为（ ） A. B. 6 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据已知条件证明是直角三角形，进而可得是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 平行四边形中，， 垂直平分，，，， ，， ，， ， 是直角三角形，是等腰直角三角形， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，证明是直角三角形是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，且，，则正方形的面积是（ ） A. 4 B. 9 C. 13 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． 【详解】解：过点D作于点E，则，， ∴， ∵是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积是， 故选D． 二、填空题：（每小题3分，共15分） 11. 化简_____． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查化简二次根式，根据即可求解． 【详解】解：， 故答案为：2025． 12. 如图，在矩形中，，，点为上一点，平分，则的长为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、角平分线的定义、勾股定理等知识点，掌握数形结合的思想是解答本题的关键．根据矩形的性质和角平分线的定义可得的长，再根据勾股定理即可得到的长，最后计算出的长即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 13. 我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形的边长为14，正方形的边长为2，且，则正方形的边长为__________． 【答案】10 【解析】 【详解】（14×14﹣2×2）÷8=（196﹣4）÷8=192÷8=24 24×4+2×2=96+4=100 =10． 即正方形EFGH的边长为10． 故答案为10． 14. 如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EFBC，分别交AB、CD于点E，F，连接PB，PD，若AE=2，PF=6，则图中阴影部分的面积为___________ 【答案】12 【解析】 【分析】作PM⊥AD于M，交BC于N，根据矩形的性质可得S△PEB=S△PFD即可求解. 【详解】解：作PM⊥AD于M，交BC于N． 则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形， ∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN， ∴， ∴S△DFP=S△PBE=×2×6=6， ∴S阴=6+6=12， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的面积，解决本题的关键是要熟练掌握矩形的性质. 15. 如图，矩形中，．点E为边上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为___________． 【答案】9或18 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质的综合应用，分情况讨论，作出图形是解题关键． 分两种情况分别求解，（1）当时，如图1，根据轴对称的性质得，得；（2）当时，如图2，根据轴对称的性质得，得、、在同一直线上，根据勾股定理得，设，则，根据勾股定理得，，代入相关的值，计算即可． 【详解】解：（1）当时，如图1， ∵， 根据轴对称的性质得， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）当时，如图2， 根据轴对称的性质得， 为直角三角形， 即， ∴， ∴在同一直线上， 根据勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得， 即； 综上所述：的长为9或18； 故答案为：9或18． 三、解答题：（8小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据二次根式乘除运算法则求解即可； （2）首先根据将和化为最简二次根式，计算并化为最简二次根式，然后相加减即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图，在平行四边形中，过点作于，点在边上，，连接、． （1）求证：四边形是矩形． （2）若平分，且，，求的长． 【答案】（1）证明见详解 （2）4 【解析】 【分析】（1）可得出DFBE，DF＝BE，从而得出四边形BFDE是平行四边形，结合∠DEB＝90°，从而证明出结论； （2）可推出△ADF是等腰三角形，从而AD＝DF，在Rt△ADE中，根据勾股定理求得DE． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：． 【点睛】本题考查平行四边形性质和判定，矩形的判定，勾股定理，等腰三角形判定等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关基础知识． 18. 如图，，平分，且交于点C． （1）作的角平分线交于点F（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹）； （2）根据（1）中作图，连接，若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键．也考查了菱形的判定． （1）利用基本作图作的平分线即可； （2）先证明得到，再证明，则，于是可判断四边形为平行四边形，然后利用可判断四边形是菱形，再根据菱形的性质求面积即可． 【小问1详解】 如图，为所作； 【小问2详解】 平分， ， ∵， ， ， ， 同理可得， ， 而， 四边形为平行四边形， ， 四边形是菱形． ∴，，，， ∴， ∴ ∴四边形的面积为． 19. 当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程： （1）_______________的解法是错误的； （2）当时，求的值． 【答案】（1）小亮 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值及整式的加减． （1）根据二次根式的被开方数具有非负性解答即可； （2）先把被开方数化为完全平方式的形式，再根据二次根式的性质解答解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴原式 ， ∴小亮的解答是错误的． 故答案为：小亮； 【小问2详解】 解：， ， ； 当时．原式． 20. 如图，在正方形中，对角线上有一点，延长线上有一点．连接交于点，且． （1）求证：； （2）求的度数； 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意证明出，得到，进而求解即可； （2）由全等得到，然后由正方形得到，然后等量代换求解即可． 【小问1详解】 证明：在正方形中，，平分， ， 和中， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， 即 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的关键． 21. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示3的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数是_____． （2）应用场景2——解决实际问题． 如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． （1）先根据勾股定理计算出的长度，再根据C点在原点的右侧来确定点C表示的数； （2）设秋千绳索的长度为，由题意可得，利用勾股定理可得，解方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中，， ， 点表示的数是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设秋千绳索的长度为，由题意可得， 四边形为矩形，，，，， ，， 在中，，即， 解得， 即的长度为， 答：绳索的长为． 22. 如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以/秒速度向点运动；同时点从点出发，以/秒的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点运动的时间为秒． （1）当四边形是矩形时，直接写出的值为_____； （2）在点，运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长； 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先表示出，，，，再根据矩形的性质得到，即可建立方程求解； （2）由菱形的性质得到，则，求出，再由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 由题意得，，， ，， 四边形为矩形， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， 即， ， ，， ． 23. 综合与实践 折纸是一种艺术，其中也包含了高超的技术，数学折纸活动有益于开发智力，拓展思维，在折纸活动中体会数学知识的内涵，理解数学知识的应用，可以让我们感悟到严谨的数学之美，还可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧． 定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形．这样的矩形称为完美矩形． （1）操作发现： 如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为12，，则此完美矩形的边长_____，面积为_____． （2）类比探究： 如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，求完美矩形的周长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质和三角形的面积公式分别求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长； （2）根据折叠的性质和三角形的面积公式分别求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长； 【小问1详解】 解：由折叠可知，，，， ∴，点是中点， 过点作于点，交于点，如图①所示： ∵， ， ∴由折叠可知：， ∴， ∴完美矩形面积为：； 【小问2详解】 解：由折叠可得：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的周长． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，折叠的性质，矩形的性质等知识点，熟悉利用折叠的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $