精品解析：湖南省岳阳市湘阴县2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题

长仑2025年春七年级数学学科期中学情调研 （总分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列4个实数中，为无理数的是（ ） A. -2 B. 0 C. D. 3.14 2. 9的算术平方根是（ ） A. ﹣3 B. ±3 C. 3 D. 3. 下列等式中，正确的是( ) A. B. C. D. 4. 设，则下列式子不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式3x﹣1＜x+3的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 若，且、为两个连续的正整数，则等于（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ） A. B. C. D. 8. 若不等式组 的解集为x＜2m﹣2，则m的取值范围是（　　） A. m≤2 B. m≥2 C. m＞2 D. m＜2 9. 已知，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题8小题，每小题3分，满分24分） 11. 计算：2x•（﹣3xy）＝___． 12. “x的2倍与1的差不小于3”用不等式表示为______． 13. 运用乘法公式简便计算：_______． 14. 已知，，则______． 15. 若是完全平方式，则______． 16. 比较大小：______（填“＞”或“＜”）． 17. 若不等式组的解集为，则a的值为______． 18. 现规定一种运算：，其中a，b为常数，若，则不等式的解集是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 21. 先化简，再求值：其中，． 22. 已知，．求下列各值． （1） （2） 23. 已知的平方根是的立方根是2，求的平方根． 24. 2020年5月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，小丹准备购进A、B两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元． （1）求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？ （2）小丹准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，小丹准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？ 25. 阅读材料后解决问题： 小明遇到下面一个问题：计算．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下问题： （1）； （2）． 26. 如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． （1）在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______．（填序号） （2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是。则常数______． （3）是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，求出所有符合条件的整数；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长仑2025年春七年级数学学科期中学情调研 （总分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列4个实数中，为无理数的是（ ） A. -2 B. 0 C. D. 3.14 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，即可解答． 【详解】解：-2，0是整数，属于有理数；3.14是有限小数，属于有理数；是无限不循环小数，属于无理数，故C符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键． 2. 9的算术平方根是（ ） A. ﹣3 B. ±3 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：9的算术平方根是3， 故选C． 考点：算术平方根． 3. 下列等式中，正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合选项根据幂的乘方与积的乘方、完全平方公式的运算法则进行求解即可． 【详解】解：A、3a-2a=a≠1，本选项错误； B、(a2)3=a6≠a5，本选项错误； C、(-2a3)2=4a6，本选项正确； D、(a-b)2=a2+b2-2ab≠a2-b2，本选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方、完全平方公式的知识，解答本题的关键在于熟练掌握各知识点的运算法则． 4. 设，则下列式子不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A、由可得：，原变形正确，故此选项不符合题意； B、由可得：，原变形错误，故此选项符合题意； C、由可得：，原变形正确，故此选项不符合题意； D、由可得：，原变形正确，故此选项不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式的基本性质：①不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；③不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变． 5. 不等式3x﹣1＜x+3的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解不等式3x﹣1＜x+3得，x＜2， 在数轴上表示为： ． 故选D． 【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心原点与空心原点的区别是解答此题的关键． 6. 若，且、为两个连续的正整数，则等于（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的估算，结合、为两个连续的正整数，得到、的值． 【详解】解：，且、为两个连续的正整数，则根据，得到， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查无理数估值的运用，掌握无理数估算方法是解决问题的关键． 7. 如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可． 【详解】解：由图可知， 图1的面积为：x2-12， 图2的面积为：（x+1）（x-1）， 所以x2-1=（x+1）（x-1）． 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示空白部分的面积是解决问题的关键． 8. 若不等式组 的解集为x＜2m﹣2，则m的取值范围是（　　） A. m≤2 B. m≥2 C. m＞2 D. m＜2 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集,根据不等式和不等式组解集得出m≥2m-2,求出即可. 【详解】解:, 由①得:x<2m-2, 由②得:x<m, ∵不等式组的解集为x<2m-2, ∴m≥2m-2, ∴m≤2. 故选A. 【点睛】本题主要考查对不等式的性质,解一元一次不等式(组)等知识点的理解和掌握,能根据题意得出m≥2m-2是解此题的关键. 9. 已知，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂的乘方的逆运算，可得，，，即可求解． 【详解】解∶ ， ， ， ∵， ∴． 故答案为：A 【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方的逆运算是解题的关键． 10. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴化简绝对值，求一个数的算术平方根．先根据数轴，得到，进而得到，再根据绝对值和算术平方根的定义，进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴； 故选A． 二、填空题（本大题8小题，每小题3分，满分24分） 11. 计算：2x•（﹣3xy）＝___． 【答案】-6x2y 【解析】 【分析】根据单项式乘单项式法则，即可求解． 【详解】解：2x•（﹣3xy）=-6x2y， 故答案是：-6x2y． 【点睛】本题主要考查单项式乘单项式，掌握单项式乘单项式法则是解题的关键． 12. “x的2倍与1的差不小于3”用不等式表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了据题意列出一元一次不等式，属于基本题型，正确理解题意、找准不等关系是关键． x的2倍与1的差，表示为，不小于表示的意思是大于或等于，从而可得出不等式． 【详解】解：“x的2倍与1的差不小于3”，用不等式表示为． 故答案为：． 13. 运用乘法公式简便计算：_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 已知，，则______． 【答案】18 【解析】 【分析】该题考查了同底数幂乘法和幂的乘方，根据同底数幂乘法和幂的乘方逆运用计算即可． 【详解】解：∵，， 则， 故答案为：18． 15. 若是完全平方式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了对完全平方公式的应用，能根据题意得出是解此题的关键，根据完全平方式有两个：和解答即可． 【详解】解：∵是关于的完全平方式， ， 故答案为：． 16. 比较大小：______（填“＞”或“＜”）． 【答案】＞ 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，利用作差法比较大小是解题的关键．利用作差法比较大小即可． 【详解】解：， ∵，即， ∴， ∴． 故答案为：＞． 17. 若不等式组的解集为，则a的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键． 分别求出两个不等式的解，不等式组的解集为，得出，即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴． 故答案为：2． 18. 现规定一种运算：，其中a，b为常数，若，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 先根据新定义列出关于的方程，解之求出的值，再根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为 1 可得． 【详解】解：∵， ， 解得， 所以不等式为， ， 解得， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，实数的混合运算． （1）先计算积的乘方，再根据单项式乘法法则计算即可求解； （2）根据实数的混合运算法则计算即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】， 把它的解集在数轴上表示出来如下： 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键． 21. 先化简，再求值：其中，． 【答案】，16 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘多项式、完全平方公式、平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据单项式乘多项式、完全平方公式、平方差公式进行展开，再合并同类项，得，然后把，分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ∵，， ∴． 22. 已知，．求下列各值． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）根据完全平方公式变形求出结果即可； （2）根据完全平方公式变形求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴， 即， ∴； 【小问2详解】 解：∵， 即， ∴． 23. 已知的平方根是的立方根是2，求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了平方根和立方根的定义，根据平方根和立方根的定义列出关于的方程，求出的值，再求解即可． 【详解】解：∵的平方根是的立方根是2， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根是． 24. 2020年5月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，小丹准备购进A、B两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元． （1）求A型风扇、B型风扇进货的单价各是多少元？ （2）小丹准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，小丹准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？ 【答案】（1）A型风扇、B型风扇进货的单价各是10元和16元；（2）丹4种进货方案分别是：①进A型风扇72台，B型风扇28台；②进A型风扇73台，B型风扇27台；③进A型风扇74台，B型风扇26台；①进A型风扇75台，B型风扇24台． 【解析】 【分析】（1）设A型风扇、B型风扇进货的单价各是x元和y元，再根据“2台A型风扇和5台B型风扇进价共100元”和“ 3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元”两个等量关系列二元一次方程组解答即可； （2）设购进A型风扇a台、则B型风扇购进（100-a）台，再根据 “购进A、B两种风扇的总金额不超过1170元”和“A型风扇不超过B型风扇数量的3倍”两个不等关系列不等式组求出a的整数解的个数即可． 【详解】解：（1）设A型风扇、B型风扇进货的单价各是x元和y元 由题意得： ，解得 答：A型风扇、B型风扇进货的单价各是10元和16元； （2）设购进A型风扇a台、则B型风扇购进（100-a）台 有题意得，解得： ∴a可以取72、73、74、75 ∴小丹4种进货方案分别是：①进A型风扇72台，B型风扇28台；②进A型风扇73台，B型风扇27台；③进A型风扇74台，B型风扇26台；①进A型风扇75台，B型风扇24台． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意确定等量关系和不等关系是解答本题的关键． 25. 阅读材料后解决问题： 小明遇到下面一个问题：计算．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下问题： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算是解题的关键． （1）将原式乘以，再逐步利用平方差公式计算即可求解； （2）将原式乘以，再逐步利用平方差公式计算即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 26. 如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． （1）在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______．（填序号） （2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是。则常数______． （3）是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，求出所有符合条件的整数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）③；（2）2；（3）存在，所有符合条件的整数m为：4、5、6． 【解析】 【分析】（1）分别解不等式组和各一元一次方程，再根据“关联方程”的定义即可判断； （2）解不等式组得出其整数解，再写出以此整数解为解得一元一次方程即可得； （3）解一元一次方程得出方程的解，解不等式组得出：，根据不等式组整数解的确定可得答案． 【详解】解：（1）解不等式组得， 解①得：，不在内，故①是不等式组的关联方程； 解②得：，不在内，故②不是不等式组的关联方程； 解③得：，在内，故③是不等式组的关联方程； 故答案为：③； （2）解不等式组得：， 因此不等式组的整数解可以为， 则该不等式的关联方程为． 故答案为：． （3）解方程得，， 解方程得，， 不等式组，得：， 由题意，和是不等式组的整数解， ∴， 解得， ∴m的取值范围为 ∴所有符合条件的整数m为：4、5、6． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式和一元一次方程，解题的关键是理解并掌握“关联方程”的定义和解一元一次不等式、一元一次方程的能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $