精品解析：福建省厦门市同安区2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题

同安区2024－2025学年第二学期义务教育学校 七年级第一阶段质量检测综合练习试卷 数 学 (满分：150分 时长：120分钟) 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息，核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．全卷共三大题，25小题，试卷共6页． 4．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题(本大题有8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确) 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 传统建筑中的窗格设计精巧、样式繁多，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵．下列窗格图案中可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点P（﹣3，-1）在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 下列四个图形中，由能够判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中为真命题的是（ ） A. 同旁内角互补 B. 相等的角是对顶角 C. 两个锐角的和是钝角 D. 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等 6. 同安古城是厦门城市建设之起源．老城区保留了大量历史遗迹和传统风貌．其中孔庙、钟楼、县衙旧址作为地标性建筑，见证了历史的变迁．如图所示的网格是由小正方形组成的，以网格线为坐标轴建立平面直角坐标系，若孔庙的坐标为，县衙旧址的坐标为，则钟楼的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将长方形纸片的沿折叠，使点A落在点处，交于点M．再将沿折叠，使点C落在上的点处．若折痕，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 小安用计算器求了一些正数的平方，记录如下表： x 29 841 下面有四个推断： ①81225的平方根是； ②的算术平方根是； ③若，且，则； ④若x满足，则满足条件的所有整数x之和为4857． 以上推断合理的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①④ D. ①③ 二、填空题(本大题有8小题，每小题4分，共32分) 9. 16的平方根是__________． 10. 比较大小： _____7．（填“>”“<”或“=”） 11. 若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则____． 12. 如图，直线与相交于O，若，则等于______． 13. 在平面直角坐标系中，点B在x轴上，点，当点B的坐标为_________时，线段的长度最短． 14. 如图，正方形的面积为，顶点在数轴上，且表示的数为1．现以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点（点在点的右侧），则点表示的数为______． 15. 中联重科曲臂云梯消防车是我国首款该类型消防车，臂架末端的曲臂可灵活操作，能快速救援．小安在观察高空救援工作时发现，可以从消防云梯车的一个工作瞬间抽象成数学问题：如图，，，，则的度数为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中有若干个点，按如图顺序依次排列为：，，，，，，……，按此规律排列下去，则的坐标为 _________． 三、解答题(本题有9小题，共86分) 17. 计算：． 18. 解方程组：． 19. 完成下面的证明，并将推理过程的理由补充完整． 如图，，．求证． 证明：∵，（已知） ∴ （_________________________________） 又∵（已知） ∴ = （同角的补角相等） ∴（___________________________________）． 20. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：“有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中鸡、兔各有多少只？”请你列方程（组）解决这个问题． 21. 如图，在中，M是上一点，于点N，于D，过点D作，交于点E．求证：． 22. 如图，在由小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的三个顶点都在格点上，点B的坐标是，点C的坐标是．将三角形向右平移，使点A移动到点，点B移动到点，点C移动到点，且,． （1）画出平移后的三角形； （2）已知三角形内部有一点，点P平移后的对应点为．求点P的坐标． 23. 现有4张如图1所示形状相同、大小相等的直角三角形纸片和如图2所示4张形状相同、大小相等的长方形纸片．小安同学用图1中的4张纸片拼出如图3所示的正方形． （1）当时，请你求出图3中空白部分的面积； （2）请你用图2中的4张长方形纸片拼出边长为的正方形． ①在图4虚线框内画出你的拼接示意图； ②结合拼图，当，时，求的值． 24. 如图，直线，点A在直线上，分别与直线交于点B，C且． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，过点A作的角平分线交直线于点Q，以点C为端点作射线CP，交所在的直线于点P．当时，探究与的数量关系并证明． 25. 在平面直角坐标系中，对于点，若点N的坐标为，则称点N是点M的“n阶智慧点”（其中n为常数）．例如：点的“1阶智慧点”为点，即点N的坐标为． （1）已知点M的坐标为，求点M的“2阶智慧点”的坐标； （2）将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到点，若点的“阶智慧点”在坐标轴上，求点的坐标； （3）已知，，在第一象限内是否存在横坐标为整数的点，它的“k阶智慧点（k为正整数）”N，使得四边形的面积为4？如果存在，请你求出k的值；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 同安区2024－2025学年第二学期义务教育学校 七年级第一阶段质量检测综合练习试卷 数 学 (满分：150分 时长：120分钟) 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息，核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．全卷共三大题，25小题，试卷共6页． 4．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题(本大题有8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确) 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，要知道，无限不循环小数叫无理数．根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数． 【详解】解：A、是分数，属于有理数，不符合题意； B、是整数，属于有理数，不符合题意； C、的三次根号运算结果为，是整数，属于有理数，不符合题意； D、的平方根无法表示为整数或分数，且不是完全平方数，因此是无限不循环小数，属于无理数，符合题意； 故选：D． 2. 传统建筑中的窗格设计精巧、样式繁多，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵．下列窗格图案中可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移，根据平移只改变位置，不改变大小，形状和方向，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：由平移只改变位置，不改变大小，形状和方向可知，四个选项中只有A选项中的图案可以有平移得到， 故选：A． 3. 在平面直角坐标系中，点P（﹣3，-1）在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标的特征可以得到答案. 【详解】因为点的横坐标是负数，纵坐标也是负数，所以点P在平面直角坐标系的第三象限． 故选C． 【点睛】本题考查了象限内点的坐标的特征，熟记象限内点的坐标的特征是解题的. 4. 下列四个图形中，由能够判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定方法，熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键．根据平行线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A．由不能判定，故不符合题意； B．由能判定，故符合题意； C．由不能判定，故不符合题意； D．由不能判定，故不符合题意； 故选：B． 5. 下列命题中为真命题的是（ ） A. 同旁内角互补 B. 相等的角是对顶角 C. 两个锐角的和是钝角 D. 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等 【答案】D 【解析】 【分析】该题考查了命题，根据平行线的性质、对顶角、锐角与钝角的定义逐一分析各选项，判断其真假． 【详解】解：A．同旁内角互补需满足两直线平行，否则不一定成立，故A为假命题； B．相等的角不一定是对顶角（如平行线中的同位角），故B为假命题； C．两个锐角的和可能为锐角、直角或钝角（如，，），故C为假命题； D．根据平行线性质定理，两条平行线被第三条直线所截时，内错角相等，故D为真命题． 故选：D． 6. 同安古城是厦门城市建设之起源．老城区保留了大量历史遗迹和传统风貌．其中孔庙、钟楼、县衙旧址作为地标性建筑，见证了历史的变迁．如图所示的网格是由小正方形组成的，以网格线为坐标轴建立平面直角坐标系，若孔庙的坐标为，县衙旧址的坐标为，则钟楼的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了平面直角坐标系，根据“孔庙”所在点的坐标，建立符合条件的坐标系，从而确定其它点的位置． 【详解】解：由“孔庙”所在点的坐标为知，原点为从“孔庙”向左移动三个单位的位置，如图， 那么“钟楼”所在点的坐标为． 故选：B． 7. 如图，将长方形纸片的沿折叠，使点A落在点处，交于点M．再将沿折叠，使点C落在上的点处．若折痕，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了平行线的性质，折叠的性质，在长方形中，，根据，得出，根据折叠可得，根据，可得，再根据折叠可求出． 【详解】解：在长方形中，， ∵， ∴， 根据折叠可得， ∵， ∴， 根据折叠可得， 故选：B． 8. 小安用计算器求了一些正数的平方，记录如下表： x 29 841 下面有四个推断： ①81225的平方根是； ②的算术平方根是； ③若，且，则； ④若x满足，则满足条件的所有整数x之和为4857． 以上推断合理的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①④ D. ①③ 【答案】C 【解析】 【分析】考查平方根及算术平方根的相关计算；掌握一个正数的算术平方根有1个，平方根有2个是解决本题的关键． 由表格知，，故，得出81225的平方根为，即可判断①．由表格知，，介于两者之间，对应x在到之间．计算，与存在微小误差，即可判断②．由表格知，，则，介于两者之间，则，结合题意得出，即可判断③．由得，即可判断④． 【详解】解：①由表格知，，故，因此81225的平方根为，正确． ②由表格知，，介于两者之间，对应x在到之间．计算，与存在微小误差，故算术平方根并非精确等于，错误． ③由表格知，，则， 介于两者之间，则， 若a、b满足且，则， 此时，错误． ④由得，整数x为，其和为，正确． 综上，合理推断为①④， 故选：C． 二、填空题(本大题有8小题，每小题4分，共32分) 9. 16的平方根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义，找到平方等于16的数，即可得到16的平方根． 【详解】解：∵，， ∴16的平方根为． 10. 比较大小： _____7．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】首先把两个数平方法，由于两数均为正数，所以该数的平方越大数越大． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等． 11. 若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解．将代入，即可求得即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程的一组解， ， 解得 故答案为：1． 12. 如图，直线与相交于O，若，则等于______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对顶角的性质，可得，再根据邻补角的定义，可得答案． 【详解】解：由对顶角相等，得， ∵， ∴． 由邻补角的定义，得 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，利用对顶角、邻补角的定义求解是解题关键． 13. 在平面直角坐标系中，点B在x轴上，点，当点B的坐标为_________时，线段的长度最短． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，正确理解点到直线所有连线中，垂线段最短是解题的关键． 根据点到直线所有连线中，垂线段最短解决问题． 【详解】解：∵点， ∴当轴时，最短． 此时，点B的坐标为． 故答案为：． 14. 如图，正方形的面积为，顶点在数轴上，且表示的数为1．现以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点（点在点的右侧），则点表示的数为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查开平方，实数与数轴，正方形的面积，熟练掌握实数与数轴的关系是解题的关键．根据正方形的面积公式求得边的长，即为的长，即可得到点与原点的距离，进而得到点所表示的数． 【详解】解：由正方形面积公式得， ∴（负值舍）， 由作图可知， ∵顶点在数轴上，且表示的数为1， ∴点到原点的距离为， ∴点表示的数为， 故答案为：． 15. 中联重科曲臂云梯消防车是我国首款该类型消防车，臂架末端的曲臂可灵活操作，能快速救援．小安在观察高空救援工作时发现，可以从消防云梯车的一个工作瞬间抽象成数学问题：如图，，，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握作辅助线解决拐点问题的方法是解题的关键．过点作，得出，再求出，证明，则可得． 【详解】解：如图，过点作， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中有若干个点，按如图顺序依次排列为：，，，，，，……，按此规律排列下去，则的坐标为 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点坐标规律探索，解题的关键是通过观察找到坐标的规律． 通过观察，将点进行分组，写出第组中的点的坐标，通过计算确定在第几组第几个，代入相应的坐标表达式，计算即可． 【详解】解：∵，，，，，，……， ∴观察发现：每三个点为一组，第组的三个点的坐标依次为，，， ∵， ∴是第组的第三个点， ∴的横坐标为，纵坐标为， ∴， 故答案为：． 三、解答题(本题有9小题，共86分) 17. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】此题主要考查了实数的运算．首先计算开方、开立方和乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】解： ． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．利用加减消元法或代入消元法求解即可． 【详解】解：， 解法一：由①得， 将③代入②得， 解得：， 将代入③得， ∴方程组的解为； 解法二：由得， 由得， 解得：， 将代入①得， 解得：， ∴方程组的解为． 19. 完成下面的证明，并将推理过程的理由补充完整． 如图，，．求证． 证明：∵，（已知） ∴ （_________________________________） 又∵（已知） ∴ = （同角的补角相等） ∴（___________________________________）． 【答案】；两直线平行，同旁内角互补； ；；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了两直线平行同旁内角互补，内错角相等两直线平行，解题关键是掌握平行线的判定与性质． 根据平行线的判定与性质，结合已知填写． 【详解】证明：∵，（已知） ∴ （ 两直线平行，同旁内角互补） 又∵（已知） ∴ （同角的补角相等） ∴（ 内错角相等 ,两直线平行 ）． 20. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：“有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中鸡、兔各有多少只？”请你列方程（组）解决这个问题． 【答案】鸡有23只，兔有12只 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用．设鸡有x只，兔有y只，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，据此列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设鸡有x只，兔有y只， 根据题意得：， 解得 答：鸡有23只，兔有12只. 21. 如图，在中，M是上一点，于点N，于D，过点D作，交于点E．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，垂直的定义，根据垂直的定义得，得，由得，从而可得结论． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ． 22. 如图，在由小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的三个顶点都在格点上，点B的坐标是，点C的坐标是．将三角形向右平移，使点A移动到点，点B移动到点，点C移动到点，且,． （1）画出平移后的三角形； （2）已知三角形内部有一点，点P平移后的对应点为．求点P的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据,，得出将三角形向右平移个单位长度，据此找到点，再依次连接，即可作答． （2）根据 【小问1详解】 解：∵点B的坐标是，点C的坐标是． ∴； ∵,． ∴， 如图所示，三角形为所求： 【小问2详解】 解：由（1）得，三角形向右平移个单位长度得三角形， 为对应点， ， ， ． 23. 现有4张如图1所示形状相同、大小相等的直角三角形纸片和如图2所示4张形状相同、大小相等的长方形纸片．小安同学用图1中的4张纸片拼出如图3所示的正方形． （1）当时，请你求出图3中空白部分的面积； （2）请你用图2中的4张长方形纸片拼出边长为的正方形． ①在图4虚线框内画出你的拼接示意图； ②结合拼图，当，时，求的值． 【答案】（1）9 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】此题考查了勾股弦图和二次根式的运算法则． （1）根据题意列式代入求值即可； （2）①根据题意画出图形即可；②根据题意列式计算即可． 【小问1详解】 解：当时， ， 即图3中空白部分的面积为； 【小问2详解】 ①如图，即为所求， ②当时， 当时， ∴ ∴ 24. 如图，直线，点A在直线上，分别与直线交于点B，C且． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，过点A作的角平分线交直线于点Q，以点C为端点作射线CP，交所在的直线于点P．当时，探究与的数量关系并证明． 【答案】（1） （2）或，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质探究角度之间的关系，三角形的内角和定理，角平分线的有关计算等知识点． （1）先由垂直的定义以及平角的意义求出，再由平行得到同位角相等即可求解； （2）分两种情况讨论，①当点P在的延长线上时，设交P于T；②当点P在上时，利用平行线的性质，以及三角形的内角和定理求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， 设， ①如图1，当点P在的延长线上时，设交于T， ， ， ， ； ②如图2，当点P在上时， ， ， ， ， ， 综上所示，或． 25. 在平面直角坐标系中，对于点，若点N的坐标为，则称点N是点M的“n阶智慧点”（其中n为常数）．例如：点的“1阶智慧点”为点，即点N的坐标为． （1）已知点M的坐标为，求点M的“2阶智慧点”的坐标； （2）将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到点，若点的“阶智慧点”在坐标轴上，求点的坐标； （3）已知，，在第一象限内是否存在横坐标为整数的点，它的“k阶智慧点（k为正整数）”N，使得四边形的面积为4？如果存在，请你求出k的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在 ，或2或3 【解析】 【分析】本题考查的是点的坐标，解题的关键是理解“I阶智慧点”的定义． （1）根据“2阶智慧点”的定义求解即可； （2）根据“阶智慧点”的定义列式求解即可； （3）根据四边形的面积为4，点，它的“k阶智慧点（k为正整数）”N，列出方程并求解即可． 【小问1详解】 解：由题可知，M的“2阶智慧点”的坐标，即 故答案为： 【小问2详解】 解：由题可知，即， 的“阶智慧点”， 即， ∵在坐标轴上， 或， 或， ∴或； 【小问3详解】 解：理由；存在： 为的阶智慧点，， ， 连结， ， ， ， ∵a为正整数，k是正整数 当时，； 当时，； 当时，（舍去） 当时，； 综上所述，或2或3 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $