精品解析：广东省深圳市宝安区九校联考2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024—2025学年度第二学期八年级期中素养调研 数学学科卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，请把答案按要求填涂到答题卡相应位置上） 1. 下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式一定成立是（ ） A. B. C. D. 3. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 用反证法证明“在中，若，则”时，应假设（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，根据尺规作图痕迹，线段的长为（ ） A. B. C. D. 5 6. 在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，△ABC是等边三角形，AB=4，E是AC中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，则AF的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分，请把答案填到答题卡相应位置上） 9. 因式分解_____． 10. 若分式的值为0，则___________． 11. 如图，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为 _______． 12. 如图，要使输出值大于100，则输入最小正整数是______． 13. 如图，中，，，点为中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则为________度． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 15. 已知，，．先在，，中任选2个分式用除号“÷”连接并进行化简，再从0，1，2中选择一个合适的数作为的值代入求值． 16. 如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，，垂足为点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 17. 在如图平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． （1）在网格中画出以为旋转中心，顺时针旋转的； （2）①在网格中画出关于原点成中心对称的； ②已知点为中其中一边上任一点，若点在①中的边上的对应点为，则点的坐标是______（用字母、表示）． ③在轴上找一点，使最小，最小值为______，并在图中标出点． 18. 根据以下素材，探索完成任务． 设计烟花采购方案 五一假期即将到来，为了吸引更多的游客，某乡镇决定举办烟花节，需考虑如何采购烟花及烟花燃放时长． 素材1 已知一箱A型烟花比一箱B型烟花少100元，购买20箱A型和10箱B型烟花需要5500元． 素材2 某烟花厂提供产品信息如下： （1）A型烟花每箱12发，B型烟花每箱20发． （2）本厂生产的所有型号烟花每发间隔5秒，且一发燃放完后另一发立即开始燃放． （3）燃放烟花时逐箱不间断燃放，且每次仅燃放一箱，假设每发烟花均能正常绽放，且间隔时长保持不变，忽略每箱烟花之间的引燃时间． （1）求A、B型烟花每箱多少元？ （2）若该乡镇决定采购这两种型号的烟花共50箱，且购入的资金不少于8500元又不多于8800，则该乡镇共有几种购买方案？ （3）若该乡镇准备支出9000元（全部用完）购买这两种型号的烟花，可以燃放多少秒？ 19. 【阅读材料】对于多项式，如果我们把代入，发现此多项式的值为，这时可以断定多项式中有因式，可设（为常数），通过展开多项式或代入合适的的值即可求出的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”． 根据以上阅读材料，完成下列问题： （1）请完成下列因式分解：______； （2）若多项式（，为常数）分解因式后，有一个因式是，求值； （3）多项式用“试根法”分解因式得（，，为常数），请直接写出，，的值． 20. 定义: 如图1， 若 P 是内部一点， 且， 则称点P为的勃罗卡点， 同时称为的勃罗卡角． （1）如图2， P为等边内部一点． 其中，， 请判断点P是不是等边的勃罗卡点，并说明理由； （2）如图3，P为等边的勃罗卡点，求等边的勃罗卡角的度数； （3）如图4，在（2）的条件下，作点 P 关于 的对称点 ，连接与 相交于点 O，连接，，记的勃罗卡点为 M，的勃罗卡点为N， 求证: 为等边三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期八年级期中素养调研 数学学科卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，请把答案按要求填涂到答题卡相应位置上） 1. 下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的识别方法是解题的关键．利用轴对称图形和中心对称图形的识别方法分别判断即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据不等式的基本性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：．∵，∴，故该选项不符合题意； ．∵，∴，故该选项符合题意； ．∵，∴，故该选项不符合题意； ．∵，∴，故该选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列因式分解正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，对各选项逐一进行因式分解验证，判断是否彻底且正确即可． 【详解】解：选项A： 应使用平方差公式 ，分解为 ，但选项写为 ，错误． 选项B： 符合完全平方公式 ，分解为 ，正确． 选项C： 提公因式后为 ，但 可继续分解为 ，未彻底分解，错误． 选项D： 展开 得 ，与左边符号不符，错误． 4. 用反证法证明“在中，若，则”时，应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反证法，根据反证法的步骤，需假设原命题结论的反面成立．原命题结论为“”，其反面应为“”． 【详解】解：原命题为“在中，若，则”． 用反证法时，需假设结论不成立，即否定“”，得到“”． 选项中，A为“”，直接对应结论的反面； B选项、C选项涉及角度的假设，与原命题结论无关； D选项仅包含“”，未涵盖“等于”的情况． 因此，正确假设为选项A， 故选：A． 5. 如图，在中，，，，根据尺规作图痕迹，线段的长为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是尺规作图-作垂线，勾股定理逆定理的运用，如果三角形的三条，，，满足．则三角形为直角三角形，先判定为直角三角形，根据作图得到，根据三角形面积公式计算得到答案． 【详解】解：，，， ， ，即， 为直角三角形，且， 由作图得到， ， ， ． 故选：A． 6. 在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过点A、分别作x轴的垂线，垂足为H、P，则，由旋转的性质和角之间的关系可证，，即可得到点的坐标． 【详解】如图，过点A、两点分别作x轴的垂线，垂足为H、P，则， ∵点， ∴， ∵线段绕点O顺时针旋转， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点， 故选：A． 【点睛】本题考查了点的坐标与旋转变换的关系．关键是根据旋转的性质和角之间的关系确定全等三角形． 7. 将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的应用．设有x人，由于每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，则苹果有个；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到8个苹果，就是苹果数大于0，并且小于8，然后即可列出相应的不等式组． 【详解】解：设有x人，则苹果有个， 由题意得：， 故选：C． 8. 如图，△ABC是等边三角形，AB=4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，则AF的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作DM⊥AC于M，FN⊥AC于N，设DM＝x，则CM＝x，由旋转的性质易得△EDM≌△FEN，然后分D在BC上时和D在BC的延长线上时，分别通过勾股定理计算出AF2，然后利用二次函数的最值解答. 【详解】解：作DM⊥AC于M，FN⊥AC于N， 设DM＝x， 在Rt△CDM中，CM＝DM＝x， ∵线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF， ∴ED＝EF，∠DEF＝90°，易得△EDM≌△FEN， 当D在BC上时，如图1，DM＝EN＝x，EM＝NF＝2−x， 在Rt△AFN中，AF2＝(2−x) 2＋(2+x)2＝， 当D在BC的延长线上时，如图2，DM＝EN＝x，EM＝NF＝x＋2， 在Rt△AFN中，AF2＝(x+2) 2＋(2-x)2＝， 当x＝时，AF2有最小值， ∵＞ ∴AF的最小值为：， 故选D. 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，二次函数的最值以及旋转的性质等，涉及知识点较多，较为复杂，正确的作出辅助线并分类讨论是解题关键. 二、填空题（每小题3分，共15分，请把答案填到答题卡相应位置上） 9. 因式分解_____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：． 10. 若分式的值为0，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为的条件，根据分式的值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，得到且，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解方程得：或． 当时，分母，分式无意义，故舍去， 当时，分母，满足条件， 故答案为：． 11. 如图，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为 _______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查的是平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．根据平移的性质得到再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：由平移的性质可知： 则 ∴阴影部分的周长为：， 故答案为：11． 12. 如图，要使输出值大于100，则输入最小正整数是______． 【答案】21 【解析】 【分析】分是奇数和是偶数两种情况，根据流程图列出不等式，求解不等式并结合正整数条件，找出满足输出值大于的最小正整数．本题主要考查了一元一次不等式的应用以及对流程图的理解，熟练掌握根据不同情况列不等式求解的方法是解题的关键． 【详解】解：当为奇数时： 此时，要使，即， 解得， ∵是正整数且为奇数， ∴此时最小取． 当为偶数时： 此时，要使，即， 移项可得， 解得， ∵是正整数且为偶数， ∴此时最小取． 比较和，， ∴输入的最小正整数是． 故答案为： ． 13. 如图，中，，，点为中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则为________度． 【答案】108 【解析】 【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】如图，连接OB、OC， ∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线， ∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°， 又∵AB=AC， ∴∠ABC=（180°-∠BAC）=×（180°-54°）=63°， ∵DO是AB的垂直平分线， ∴OA=OB， ∴∠ABO=∠BAO=27°， ∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°-27°=36°， ∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC， ∴△AOB≌△AOC（SAS）， ∴OB=OC， ∴点O在BC的垂直平分线上， 又∵DO是AB的垂直平分线， ∴点O是△ABC的外心， ∴∠OCB=∠OBC=36°， ∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合， ∴OE=CE， ∴∠COE=∠OCB=36°， 在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-36°-36°=108°， 故答案为108． 【点睛】本题考查了三角形综合题，涉及了角平分线的定义，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定，三角形的外心，全等三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴上表示见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 首先解出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 不等式组解集为：． 15. 已知，，．先在，，中任选2个分式用除号“÷”连接并进行化简，再从0，1，2中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】见解析 【解析】 【分析】从、、中选两个分式用“”连接，先将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘以它的倒数），再对分子分母因式分解，约分化简，最后选使原分式有意义（分母不为 ）的值代入计算．本题主要考查了分式的乘除运算，熟练掌握分式乘除运算法则（除以一个分式等于乘以它的倒数，因式分解后约分化简 ）及分式有意义的条件（分母不为 ）是解题的关键． 【详解】解：情形一：选 原式 不能取（使原分式分母为），当时，；当时， ． 情形二：选 原式 不能取、（使原分式分母为），当时， ． 情形三：选 原式 不能取（使原分式分母为），当时，； 当时， ． 情形四：选 ， 原式 不能取、（使原分式分母为），当时， ． 情形五：选 原式 不能取、（使原分式分母为），当时， ． 情形六：选 ， 原式 不能取、（使原分式分母），当时， ． 16. 如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，，垂足为点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）由角平分线可得，由平行线的性质可得，即可得，根据等角对等边即可得到； （）由角平分线的性质可得，由勾股定理可得，再由勾股定理即可求出的长； 本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 17. 在如图平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）在网格中画出以为旋转中心，顺时针旋转的； （2）①在网格中画出关于原点成中心对称的； ②已知点为中其中一边上任一点，若点在①中的边上的对应点为，则点的坐标是______（用字母、表示）． ③在轴上找一点，使最小，最小值为______，并在图中标出点． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析②③，见解析 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，确定各顶点绕原点顺时针旋转后的对应点坐标，再连接各点得到 ． （2）①依据中心对称的性质，求出各顶点关于原点成中心对称的点的坐标，然后连接得到 ．②利用关于原点对称的点的坐标特征，直接得出点关于原点对称的点的坐标 ．③利用轴对称 - 最短路径问题，作点关于轴的对称点，连接与轴交点即为，再用勾股定理计算的长度，即的最小值 ． 【小问1详解】 解：如图：即为所求； 【小问2详解】 解：①如图：即为所求； ②关于原点成中心对称的点坐标为； ③如图，点即为所求． 作点关于轴对称点； 连接，设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴； 令，则， ∴； 根据勾股定理，，即的最小值为 ． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转、中心对称、关于原点对称的点的坐标特征以及轴对称 - 最短路径问题，熟练掌握图形变换的性质和坐标特征，运用勾股定理计算线段长度是解题的关键． 18. 根据以下素材，探索完成任务． 设计烟花采购方案 五一假期即将到来，为了吸引更多的游客，某乡镇决定举办烟花节，需考虑如何采购烟花及烟花燃放时长． 素材1 已知一箱A型烟花比一箱B型烟花少100元，购买20箱A型和10箱B型烟花需要5500元． 素材2 某烟花厂提供产品信息如下： （1）A型烟花每箱12发，B型烟花每箱20发． （2）本厂生产的所有型号烟花每发间隔5秒，且一发燃放完后另一发立即开始燃放． （3）燃放烟花时逐箱不间断燃放，且每次仅燃放一箱，假设每发烟花均能正常绽放，且间隔时长保持不变，忽略每箱烟花之间的引燃时间． （1）求A、B型烟花每箱多少元？ （2）若该乡镇决定采购这两种型号的烟花共50箱，且购入的资金不少于8500元又不多于8800，则该乡镇共有几种购买方案？ （3）若该乡镇准备支出9000元（全部用完）购买这两种型号的烟花，可以燃放多少秒？ 【答案】（1）A型烟花每箱150元，则B型烟花每箱250元； （2）该乡镇共有四种购买方案； （3）若仅购买A，B型烟花，可以燃放3600秒． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用，一元一次不等式组的应用． （1）设A型烟花每箱元，则B型烟花每箱元，根据“购买20箱A型和10箱B型烟花需要5500元”列出一元一次方程即可解决； （2）设采购A型烟花箱，则采购B型烟花箱，根据“资金不少于8500元又不多于8800”列出一元一次不等式组即可解决； （3）设分别购买A，B型烟花a，b箱，根据“支出9000元购买烟花”这一条件得到一个二元一次方程，对方程整理化简，再用a，b表示出烟花的燃放时间，整体代入即可求出燃放时间． 【小问1详解】 解：设A型烟花每箱元，则B型烟花每箱元， 依题意得， 解得， 则， 答：A型烟花每箱150元，则B型烟花每箱250元； 【小问2详解】 解：设采购A型烟花箱，则采购B型烟花箱， 依题意得， 解得， ∴或38或39或40， 答：该乡镇共有四种购买方案； 【小问3详解】 解：设分别购买A，B型烟花a，b箱， ∴， 整理得，， ∴燃放时长：秒． 答：若仅购买A，B型烟花，可以燃放3600秒． 19. 【阅读材料】对于多项式，如果我们把代入，发现此多项式的值为，这时可以断定多项式中有因式，可设（为常数），通过展开多项式或代入合适的的值即可求出的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”． 根据以上阅读材料，完成下列问题： （1）请完成下列因式分解：______； （2）若多项式（，为常数）分解因式后，有一个因式是，求值； （3）多项式用“试根法”分解因式得（，，为常数），请直接写出，，的值． 【答案】（1）； （2）； （3），，． 【解析】 【分析】本题主要考查了“试根法”分解因式，解决本题的关键是读懂材料中的解题思路，按照材料中提供的解题思路进行解答． 因为，根据多项式乘以多项式的法则把等号左面的展开，可得：，因为两个多项式相等，所以这两个多项中同类项的系数相等，可得：； 因为多项式分解因式后，有一个因式是，所以方程有一个根是，把代入方程即可得到； 因为当时，，所以，所以可得：，根据多项式乘以多项式的法则把等号右边的展开，可得：，根据两个多项式相等，这两个多项中同类项的系数相等，可得：，． 【小问1详解】 解：当时， ， 多项式中有因式， 设， 则有， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：多项式分解因式后，有一个因式是， 方程有一个根是， ， ； 【小问3详解】 解：当时，， ， ， ，， 解得：，，． 20. 定义: 如图1， 若 P 是内部一点， 且， 则称点P为的勃罗卡点， 同时称为的勃罗卡角． （1）如图2， P为等边内部一点． 其中，， 请判断点P是不是等边的勃罗卡点，并说明理由； （2）如图3，P为等边的勃罗卡点，求等边的勃罗卡角的度数； （3）如图4，在（2）的条件下，作点 P 关于 的对称点 ，连接与 相交于点 O，连接，，记的勃罗卡点为 M，的勃罗卡点为N， 求证: 为等边三角形． 【答案】（1）点P不是等边的勃罗卡点，理由见解析 （2）等边的勃罗卡角的度数为 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用等边对等角得出，再利用等边三角形性质，中垂线的性质得出即可得出结论点P不是等边的勃罗卡点； （2）利用点P为等边的勃罗卡点，求出，证明，即可求出等边的勃罗卡角的度数； （3）先证明为等腰三角形，再证出， 为等边三角形，在内部作交于点N，连接，可证得点N为的勃罗卡点，且，同理可证点M为的勃罗卡点，且，进而得出最后结论． 【小问1详解】 解：点P不是等边的勃罗卡点，理由如下： ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 是的中垂线， 平分， ， ， 点P不是等边的勃罗卡点； 【小问2详解】 点P为等边的勃罗卡点， ， ， 即， ， 同理可得， 在与中， ， ， ， ， ， ， 等边的勃罗卡角的度数为； 【小问3详解】 证明：点P，关于对称， 为的中垂线， ， 为等腰三角形， ， 由（2）可知， ， ， 为等边三角形，同理可得为等边三角形， 如图，在内部作交于点N，连接， 为的中垂线， ， ， ， ， ， 点N为的勃罗卡点，且， 在内部作交于点M， 同理可证点M为的勃罗卡点，且， ， ， 为等边三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中垂线的判定与性质，对于题目中给出的勃罗卡点定义的理解与运用是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $