精品解析：山东省莱阳市（五四学制）2024—2025学年下学期七年级数学期中考试卷

2024-2025学年度第二学期期中学业水平检测 初二数学 温馨提示： 1．本试卷共6页，共120分；考试时间120分钟． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、卷面书写（满分3分） 二、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中，真命题的个数有（ ） ①同旁内角互补；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 将一副新买的扑克牌洗匀后，任意抽取一张牌是红桃5 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 经过公共汽车站时，刚好遇到公共汽车进站 D. 在所有奇数中任选两个奇数，其乘积是奇数 4. 已知和是二元一次方程的两个解，则，的值分别为（ ） A. 2， B. ，1 C. ，2 D. 1， 5. 能说明命题“若，则”是假命题的反例可以是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 一个不透明的袋子里装有18个黄球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，小明从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.4，则袋子里约有红球（ ） A. 6个 B. 12个 C. 18个 D. 24个 7. 将一副直角三角尺按如图所示的方式放置，点在边上，，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 健康骑行越来越受到大家的喜欢，如图是某款自行车车架的示意图，已知，，点在上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x，y的二元一次方程组，下列结论中：①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论a取什么实数，的值始终不变；④若用x表示y，则；正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 三、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 有12张卡片，分别写有1至12这十二个自然数．将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，抽到的数既是3的倍数又是偶数的概率是_______________． 12. 已知方程组的解满足，则的值为_________________． 13. 在平面直角坐标系中有五个点，分别是，，，，，从中任选一个点，选到的这个点恰好在第一象限的概率是_____． 14. 如图，直线，，，则度数为______________． 15. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为________． 16. 如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为_____________． 四、解答题（本大题共8个小题，满分69分） 17. 解下列方程组： （1） （2） 18. 在一个不透明的盒子里装有红、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．实践小组的同学做摸球试验，搅匀后，从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据： 摸球的次数 10 20 50 100 200 500 800 1000 3000 摸到白球次数 4 7 10 28 50 127 196 252 744 摸到白球的频率 0．400 0．350 0．200 0．280 0．250 0．254 0．245 0．252 0．248 （1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近_____________（精确到0．01）； （2）试估算盒子里白球有_____________个； （3）某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是___________（填写所有正确结论的序号）． ①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”． ③投掷一枚均匀硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲． 19. 如图，点、在直线上，点在线段上，与交于点，连接并延长到点，若，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 20. 一个不透明的袋中装有10个红球和5个蓝球，每个球除颜色外都相同． （1）从袋中任意摸一个球，摸到红球概率是多少？ （2）为了使摸出红球的概率是摸出蓝球的概率的3倍，再放进去9个球，那么这9个球中红球和蓝球的数量分别应是多少？ 21. 如图，中，分别在，上．已知，，． （1）求证：平分； （2）过点作的平分线交于点，若，求的度数． 22. 某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化小区环境．已知购买3株A种花卉和2株B种花卉共需要19元；购买5株A种花卉和4株B种花卉共需要35元． （1）求采购每株A，B两种花卉各多少元钱． （2）若该物管中心将小区花园分成若干区域，其中某一区域的两种花卉总费用恰好为60元，则该区域B种花卉有几株？ 23. 已知点，在直线l：的图象上，直线l和一次函数的图象交于点B． （1）求直线l的表达式； （2）若点B的横坐标是1，求点B的坐标．并直接写出关于 x，y 的方程组的解； （3）在（2）的条件下，若点A关于x轴的对称点为P，求的面积． 24. 直线，与的角平分线交于点E，的延长线交于点F，过点F作，交延长线于点G． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点M在线段上，点N在线段上，且平分，连接．若，求的度数； （3）在（2）的条件下，以点G为顶点，为边，在下方作，交的延长线于点P，请直接写出与的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期期中学业水平检测 初二数学 温馨提示： 1．本试卷共6页，共120分；考试时间120分钟． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、卷面书写（满分3分） 二、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程，根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，且未知数的次数都为1的整式方程）进行判断． 【详解】解：A．，未知数的项次数是２，故不符合题意； B．二元一次方程，符合题意； C．，未知数的项次数是２，故不符合题意； D．不是整式方程，故不符合题意； 故选：B． 2. 下列命题中，真命题的个数有（ ） ①同旁内角互补；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题、平行线的性质、垂直、平行公理、垂线段最短，熟练掌握性质和公理是解题关键．根据平行线的性质、垂直、平行公理、垂线段最短逐项判断即可得． 【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补，则原命题是假命题； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，则原命题是假命题； ③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，则原命题是假命题； ④连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，则原命题是真命题； 综上，真命题的个数有1个， 故选：A． 3. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 将一副新买的扑克牌洗匀后，任意抽取一张牌是红桃5 B. 篮球队员罚球线上投篮一次，未投中 C. 经过公共汽车站时，刚好遇到公共汽车进站 D. 在所有的奇数中任选两个奇数，其乘积是奇数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了必然事件与随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据定义即可判断． 【详解】解：A、将一副新买的扑克牌洗匀后，任意抽取一张牌是红桃5，是随机事件，故此选项不符合题意； B、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，故此选项不符合题意； C、经过公共汽车站时，刚好遇到公共汽车进站，是随机事件，故此选项不符合题意； D、在所有的奇数中任选两个奇数，其乘积是奇数，是必然事件，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 已知和是二元一次方程的两个解，则，的值分别为（ ） A. 2， B. ，1 C. ，2 D. 1， 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查二元一次方程的解，解二元一次方程组；把两组解分别代入方程中，得出关于a、b的方程组，解方程组即可． 【详解】解：根据题意可知：， 解得：， 故选：A 5. 能说明命题“若，则”是假命题的反例可以是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了利用举反例说明一个命题错误，要证明一个例题不成立，可以通过举反例：即符合命题条件，但不符合命题结论． 【详解】解：A．当，时，，而，条件不成立，故A不符合题意； B．当，，，且，能说明，且成立，不是反例，故B不符合题意； C．当，，，而，能够说明，但不成立，故C符合题意； D．，，，而，条件不成立，故D不符合题意． 故选：C． 6. 一个不透明的袋子里装有18个黄球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，小明从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.4，则袋子里约有红球（ ） A. 6个 B. 12个 C. 18个 D. 24个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量问题，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键．设袋子中红球约有x个，根据题意可知从袋子中随机摸出一个球的概率为0.4，由此根据概率公式建立方程求解即可． 【详解】解：设袋中红球有x个， 根据题意，可得：， 解得：， 经检验：时，， 所以是原方程的解． 故选：B． 7. 将一副直角三角尺按如图所示的方式放置，点在边上，，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，先利用平行线的性质可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， ，， ， ， 故选：A． 8. 健康骑行越来越受到大家的喜欢，如图是某款自行车车架的示意图，已知，，点在上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质分别求出∠ECD和∠DCF的度数，据此可解决问题． 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 9. 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，找准等量关系，是解题的关键．根据我若得你9只羊，我的羊多你一倍，以及我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多，列出方程组即可． 【详解】解：设甲有x只羊，乙有y只羊，由题意，得： ； 故选B． 10. 已知关于x，y的二元一次方程组，下列结论中：①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论a取什么实数，的值始终不变；④若用x表示y，则；正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是解二元一次方程组的问题，掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．根据相反数的定义，得到，将方程组加减消元，得到，进而求解得到的值，即可判断①结论；将代入方程和方程中，求得，再将、代入，即可判断②结论；利用加减消得到，即可判断③结论；将变形，即可判断④结论． 【详解】解：， 得：， 当这个方程组的解，的值互为相反数时，则， ∴，解得，①结论正确； 当时，方程组为，方程为， 解得： 将代入中，得：， 方程组的解是方程的解，②结论正确； 当时，， ， 解得：， 无论取什么实数，的值始终不变，③结论正确； ，④结论不正确； 综上所述，正确的结论有①②③， 故选：A． 三、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 有12张卡片，分别写有1至12这十二个自然数．将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，抽到的数既是3的倍数又是偶数的概率是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，根据有12张卡片，分别写有1至12这十二个自然数．既是3的倍数又是偶数的数分别是，且运用概率公式进行列式计算，即可得出抽到的数既是3的倍数又是偶数的概率． 【详解】解：∵有12张卡片，分别写有1至12这十二个自然数．既是3的倍数又是偶数的数分别是， ∴抽到的数既是3的倍数又是偶数的概率是， 故答案为：． 12. 已知方程组的解满足，则的值为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，一元一次方程，解决本题的关键是计算过程中不出错． 用②-①推导出，再根据，即可解答． 【详解】解： ②-①，得 ， ∵， ∴， 解得． 故答案为． 13. 在平面直角坐标系中有五个点，分别是，，，，，从中任选一个点，选到的这个点恰好在第一象限的概率是_____． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率，第一象限点的坐标特征，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据第一象限的点的特征，可得共有2个点在第一象限，进而根据概率公式即可求解． 【详解】解：在平面直角坐标系中有五个点，分别是，，，，， 其中，在第一象限，共2个点， ∴从中任选一个点恰好在第一象限的概率是． 故答案为：． 14. 如图，直线，，，则的度数为______________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义及性质． 由平行线的性质可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得 【详解】解：如图： ∵直线，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为． 15. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为________． 【答案】##144度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点C作，先由垂线的定义得到，再证明，由平行线的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了从图中获取信息列方程组，解题的关键是要求学生会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题． 设小长方形的长、宽分别为，，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形的面积，接着就可以求出图中阴影部分的面积． 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，， 依题意得， 解得， 小长方形的长、宽分别为，， ． 故答案为： 四、解答题（本大题共8个小题，满分69分） 17. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和整体代入思想，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． （1）根据加减消元法求解即可； （2）利用加减消元法结合代入消元法求解即可； 【小问1详解】 解： ，得：， 则 解得， 将代入得： 解得：， ∴原方程组的解是． 【小问2详解】 解： 整理①，得：， 将②代入③，得：， 解得：④， 将④代入③，得：， 解得：⑤， ，得： 解得：， 将代入⑤，得：， ∴原方程组的解是． 18. 在一个不透明的盒子里装有红、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．实践小组的同学做摸球试验，搅匀后，从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据： 摸球的次数 10 20 50 100 200 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 4 7 10 28 50 127 196 252 744 摸到白球的频率 0．400 0．350 0．200 0．280 0．250 0．254 0．245 0．252 0．248 （1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近_____________（精确到0．01）； （2）试估算盒子里白球有_____________个； （3）某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是___________（填写所有正确结论的序号）． ①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”． ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲． 【答案】（1） （2）5 （3）①④ 【解析】 【分析】（1）由表中n的最大值所对应的频率即为所求； （2）根据白球个数球的总数得到的白球的概率，即可得出答案； （3）试验结果在附近波动，即其概率，计算三个选项的概率，约为者即为正确答案． 【小问1详解】 解：由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的频率将会接近； 故答案为：； 【小问2详解】 根据题意得：个)， 故答案为：5； 【小问3详解】 ①从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意； ②掷一个质地均匀的正六面体骰子(面的点数标记分别为1到6)，落地时面朝上的点数小于3的概率为，故不符合题意； ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，不符合题意； ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲的概率为，故此选项符合题意． 故答案为：①④． 【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目相应频率． 19. 如图，点、在直线上，点在线段上，与交于点，连接并延长到点，若，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，对顶角相等，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． (1）由同位角相等，两直线平行可得，从而得到，可求得，即可判定； （2）由，，可得，继而有，再根据对顶角相等，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵， ， ． ∵， ， ； 【小问2详解】 ∵，， ∴ ∴， ∴． 20. 一个不透明的袋中装有10个红球和5个蓝球，每个球除颜色外都相同． （1）从袋中任意摸一个球，摸到红球的概率是多少？ （2）为了使摸出红球的概率是摸出蓝球的概率的3倍，再放进去9个球，那么这9个球中红球和蓝球的数量分别应是多少？ 【答案】（1） （2）这个球中红球有个，蓝球有个 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，概率公式的应用，解题的关键是熟练掌握概率的计算公式． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）设这9个球中红球有个，蓝球有个，根据摸出红球的概率是摸出蓝球的概率的3倍列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵袋子中装有个红球和个蓝球， ∴随机摸出一球，摸出的球是红球的概率是； 小问2详解】 解：设这个球中红球有个，蓝球有个， 由题意得：， 解得：， 则， 答：这个球中红球有个，蓝球有个． 21. 如图，中，分别在，上．已知，，． （1）求证：平分； （2）过点作的平分线交于点，若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角性质，三角形的内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平行线的性质得出，，进而得出，即可求证； （2）先求出，再得出，则把数值代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， ∴． ∴， ∴平分； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）得 ∴． 22. 某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化小区环境．已知购买3株A种花卉和2株B种花卉共需要19元；购买5株A种花卉和4株B种花卉共需要35元． （1）求采购每株A，B两种花卉各多少元钱． （2）若该物管中心将小区花园分成若干区域，其中某一区域的两种花卉总费用恰好为60元，则该区域B种花卉有几株？ 【答案】（1）每株A种花卉3元，每株B种花卉5元 （2）该区域B种花卉可能有3或6或9株 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的整数解问题，解题的关键是根据已知条件列出方程组和方程并求解． （1）通过设每株A种花卉元，每株B种花卉元，根据两种购买组合的花费列出方程组求解A、B两种花卉单价； （2）根据总费用列出方程，结合正整数解确定B种花卉数量． 【小问1详解】 解：设每株A种花卉元，每株B种花卉元， 根据题意得， 解得， 答：每株A种花卉3元，每株B种花卉5元； 【小问2详解】 解：设该区域A种花卉有株，该区域B种花卉有株， 根据题意得， 因为均为正整数，所以一定为5倍数，且， 据此分情况讨论： 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述该区域B种花卉可能有3或6或9株． 23. 已知点，在直线l：的图象上，直线l和一次函数的图象交于点B． （1）求直线l的表达式； （2）若点B的横坐标是1，求点B的坐标．并直接写出关于 x，y 的方程组的解； （3）在（2）的条件下，若点A关于x轴的对称点为P，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 分析】（1）将点，代入得，计算求解，然后作答即可； （2）将代入得，，则，根据二元一次方程组的解是直线交点的坐标，进行作答即可； （3）如图，由轴对称的性质可知，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：将点，代入得， 解得，， ∴直线l的表达式为； 【小问2详解】 解：将代入得，， ∴， 由题意知，关于 x，y 的方程组的解为； 【小问3详解】 解：如图，点A关于x轴的对称点为， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，二元一次方程组的解与直线交点的关系，轴对称的性质，坐标与图形．熟练掌握一次函数解析式，二元一次方程组的解与直线交点的关系，轴对称的性质，坐标与图形是解题的关键． 24. 直线，与的角平分线交于点E，的延长线交于点F，过点F作，交延长线于点G． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点M在线段上，点N在线段上，且平分，连接．若，求的度数； （3）在（2）的条件下，以点G为顶点，为边，在下方作，交的延长线于点P，请直接写出与的关系． 【答案】（1）见解析 （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质的应用，角平分线的性质的应用，垂直的定义等知识点，三角形外角性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． （1）如图，过点E作，利用平行线的性质得出，再由角平分线的性质得出，然后可得，进而即可得证； （2）设，用含的代数式表示出，再由平行线得出，进而即可得证； （3）根据题意，作出图形，利用，得到，得到结果. 【小问1详解】 如图，过点E作， ． ∵， ∴，， ， 平分平分， ， ， ，即， ， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 设，如图， ∵平分，， ， ， ∵， ∴， ∵， ， ∴． 【小问3详解】 解：，理由如下： 以点G为顶点，为边，在下方作，交的延长线于点P，画图如下： 是的外角， ， ， 在中，， ， ， ， ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$