辽宁省鞍山市第二十四中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

机密★启用前 2024—2025 学年度下学期期末考试高二试题 数 学 命题人：鞍山二十四中 东靖翔 审题人：鞍山二十四中 刘曾文 考试时间：120分钟 满分：150分 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。） 1．设集合，，则 A. B. C. D. 2．“”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3．已知，则 A. B. C. D. 4．表示三个数中的最小值，则函数的最大值为 A. B. C. D. 5．若定义在上的函数满足：对于任意，有，则下列说法一定正确的是 A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 6．已知函数，若且，则的范围是 A. B. C. D. 7．已知函数在上仅有一个零点，则的取值范围为 A. B. C. D. 8．已知单调递增数列的通项公式为，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。） 9．已知函数，则下列说法正确的是 A. B. C. 两个幂函数的图像最多只有5个交点，且交点关于原点中心对称 D. 当时，越小，越大 10．已知函数和其导函数的定义域均为,若函数是偶函数,是奇函数,则 A. B. 的一个周期为32 C. D. 11．已知，则下列不等式正确的是 A. B. 若，则 C. D. 若，则 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。） 12．已知函数为函数的导函数，且，则 ． 13．已知正项等比数列，，则 ． 14．已知函数，若恒成立，则 ． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（本题满分13分） 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，，恒成立，求的取值范围. 16．（本题满分15分） 已知数列首项为，且，，成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 17．（本题满分15分） 自2021年起，我国居民的储蓄存款逐年增长。设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表所示： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 时间代号 1 2 3 4 5 储蓄存款（千亿元） 4.76 4.61 5.32 5.41 5.38 9 25.9692 130.4246 78.48 1554.2872 （表中部分数据已精确至0.0001，表中数据可直接代入公式进行运算） 可能用到的估计值： （1）求关于的回归方程； （2）用（1）所求回归方程预测该地2027年（）的人民币储蓄存款额； （3）求样本的相关系数．（精确至0.01） 附：，， 18．（本题满分17分） 已知函数，． （1）证明：在上存在唯一极值点； （2），恒成立，求实数的取值范围． 19．（本题满分17分） 为实数，无穷数列为数列时满足：；； ． （1）若数列前四项分别为，，，，判断数列是否有可能为数列； （2）若数列为数列，求的值； （3）数列前项和为，则是否存在值，，恒成立。如果有，求出所有符合要求的值；如果没有，请说明原因． 高二数学 共 4 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$2024—2025 学年度下学期期末考试高二试题 数学 答题卡 满分 150分，考试时间 120分钟 姓 名 学 校 准 考 证 号 0000000000 1111111111 2222222222 3333333333 4444444444 5555555555 6666666666 7777777777 8888888888 9999999999 条 形 码 粘 贴 区 （正立贴放，切勿贴出虚线框） 注 意 事 项 1. 答题前，考生先将自己的姓名、学校和准考证号填写清楚，并认真核对条 形码上的姓名、学校和准考证号。 2. 选择题必须使用 2B铅笔填涂，非选择题必须使用 0.5毫米的黑色笔记签字 笔书写，字体工整、笔迹清晰。 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无 效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4. 保持清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸 刀。 正确填涂 ▆ 错误填涂 w ` 缺考标记 ` （由监考员填涂，严禁考生填） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第Ⅰ卷 选择题（共 58 分） 一、单项选择题（共 8 小题；每小题 5 分，共 40 分） 1 A B C D 5 A B C D 2 A B C D 6 A B C D 3 A B C D 7 A B C D 4 A B C D 8 A B C D 二、多项选择题（共 3 小题；每小题 6 分，共 18 分） 9 A B C D 10 A B C D 11 A B C D 第Ⅱ卷 非选择题（共 92 分） 三、填空题（共 3 小题；每小题 5 分，共 15 分） 12 13 14 15．（13 分） 16 题续 16．（15 分） 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18 题续 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17 题续 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（17 分） 18．（17 分） 2024—2025 学年度下学期期末考试高二试题 数 学 数学答案 共 6 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 第I卷 （选择题 共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D D A B C A 二、多项选择题（本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分） 题号 9 10 11 答案 AD BC ACD 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 11. 12. 58 13. 4 四、解答题:（本题共6小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （本题满分13分） （1），，，，故切线方程：. （2）恒成立，即恒成立。令，求导得，因为，故解得.当时，导函数递增，，，所以必存在唯一使得。故在上递减，在上递增。又因为，所以在上恒成立，所以的取值范围为. 16. （本题满分15分） （1）且，，成等差数列，则 令，得：.由−，得. （i）令，则，，即. （ii）令，则，，即. 综上所述，数列的通项公式为. （2）令， ，即，令，则，即. 综上所述，数列的前项和. 17. （本题满分15分） 同理，，. （1），，.所以. （2）当时，. （3）. 18. （本题满分17分） （1）证明：，易知且为单调递增函数，故在上存在唯一极值点。 （2）在上恒成立。原问题等价于在上恒成立，故成立. 【解法一】原问题等价于，其中. （i）当时，在上单调递增，故： 令，则，对分子化简得： 分子 当时：，则，故在上单调递减，即，故成立。 （ii）当时，，显然恒成立。 （iii）当时，，令，在上单调递增，且，；，故在上存在唯一零点，设该零点为.若，则，此时，成立结论与（i）中过程相仿，这里不过多赘述。 若，此时，证明：证明：，变形得：，令，求导得：成立，显然，即：.接下来证明，即证明，即证明，因为，且.故成立。综上所述，的取值范围为. 【解法二】原问题等价于， 其中. （i）当时，此时为开口向上的二次函数，对称轴为，故在上单调递增，即： 令，求导可得：，对分子化简得： 分子 . 当时：，则，故在上单调递减，即，故成立。 （ii）当时，，显然恒成立。 （iii）当时，此时开口向下，对称轴为.令，求导可得，故在上单调递增，且，，故在上存在唯一零点，设该零点为.若，则,此时，成立结论与（i）中过程相仿，这里不过多赘述。若，此时证明证明：，变形得：，令，求导得：成立，显然，即：.接下来证明，即证明，即证明，因为，且.故成立。综上所述，的取值范围为. 【解法三】原问题等价于，其中，令，.需证明在上恒成立。因为的对称轴为，开口向下且. （i）若，即，此时在处取得最大值，即，令，求导得：，对分子化简得： 分子 . 当时：，则，故在上单调递减，即，故成立。 （ii）若，即，此时在在处取得最大值，即 .令，求导得：，故在上单调递增，故 .因为，且.故成立。综上所述，的取值范围为. 19. （本题满分17分） （1）数列不可能为数列，理由如下： 因为，，，所以，。因为，所以，所以数列不可能为数列。 （2）由数列定义，可知满足：，；；或。由或以及，可知，所以。由或，或，以及，可得，。由或，以及，可知，同理，由或，以及，可知。 （3）假设数列是满足“恒成立”的数列。 因为或，且，所以，由，可知，从而或。又因为，所以。因为，且，所以，又因为 ，所以。因为，且，所以。因为，所以。由可知，所以，由及，可知。由可知，所以。综上可知，若数列是满足“恒成立”的数列，则。当时，考虑数列：。 下面验证数列满足数列的要求： 由，可知。因为，，所以。，，使得，，所以，，所以，，又，所以： 当时，；当时，。所以。由通项公式可知，当时，；当时，，所以恒成立。综上所述，存在数列，使得恒成立，此时. $$