精品解析：广西部分学校2024-2025学年高二下学期6月联合摸底考试数学试卷

广西高二联合摸底考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷利和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，；命题，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 2. 已知，复数是纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 若向量，满足，，则（ ） A. B. C. 2 D. 5 4. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 6. 已知奇函数的定义域为，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别是，P是椭圆外一点，直线的倾斜角为，，线段的中点在C上，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 若将一块体积为的橡皮泥捏成一个圆柱，则圆柱的表面积最小为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数的最小正周期为，且在上单调递减，则的解析式可能为（ ） A. B. C D. 10. 为了解某新品种水稻的亩产量（单位：千克）情况，从种植区抽取样本，得到该新品种水稻的亩产量的样本均值，样本方差，已知原品种水稻的亩产量服从正态分布，假设新品种水稻的亩产量服从正态分布，则（ ） （若随机变量服从正态分布，则） A. B. C. D. 11. 已知直线分别与函数，的图象交于点，，直线分别与函数，的图象交于点，，则下列结论正确的是（ ） A. 记的最小值为，则 B. 记的最小值为，则 C. 的最小值为 D. 当取得最小值时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为坐标原点，是抛物线的准线，是与轴的交点，若是上的一点，则的最大值为_________． 13. 已知正四棱台的高为，上、下底面边长分别为2和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_________． 14. 某单位的某部门周一到周六每天晚上需要安排1人值班，该部门共4名员工，若每名员工至少安排1天值班，至多安排2天值班，且安排2天值班的员工必须是相邻的两天，则不同的排班方案有__________种.（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某农业研究部门在面积相等100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表. 亩产量 频数 10 11 22 30 20 7 记这100块稻田亩产量的平均值的估计值为，标准差的估计值为.（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （1）求，； （2）判断该新型水稻能否推广种植（在这100块稻田中，若超过90块稻田的亩产量在内，则认为该新型水稻能推广种植）. 16. 如图，在四棱锥中，平面，四边形正方形，． （1）证明：． （2）求平面与平面夹角的大小． 17. 已知函数，． （1）求的极值； （2）求的极值； （3）当时，恒成立，求的取值范围． 18. 已知双曲线右焦点为，点在上． （1）求的方程； （2）过点的直线与的左，右支分别交于两点，直线与轴交于点为线段的中点，直线与直线交于点，证明：轴． 19. 将随机排成一列，得到一个数列，若至多有项，即第，项均满足，则称为阶相邻递增数列，为相邻递增数列的阶数，若中不存在1项满足，则称为0阶相邻递增数列，其阶数为0.例如，数列为0阶相邻递增数列，数列为1阶相邻递增数列，数列1，2，3，4为3阶相邻递增数列. （1）求数列的相邻递增数列的阶数. （2）将随机排成一列，在得到数列中，1阶相邻递增数列的个数为. ①证明为等比数列，并求数列的通项公式； ②设，求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西高二联合摸底考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷利和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，；命题，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质得为p真命题，所以为假；找出实例证明q为真命题，所以为假；由此即可求解. 【详解】，，显然成立，所以p是真命题，是假命题． 当，时，，所以q是真命题，是假命题． 故选：A 2. 已知，复数是纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算及纯虚数的概念求解. 【详解】， 因为复数z是纯虚数，所以，，解得． 故选：C 3. 若向量，满足，，则（ ） A. B. C. 2 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据两个向量垂直其数量积为0及向量的数量积运算即可得解. 【详解】因为，则，则. 故选：A. 4. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】因为， 所以由正弦定理可得. 故选：C 5. 若，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式以及齐次化思想求解. 【详解】由题意得，． 故选：D 6. 已知奇函数的定义域为，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数的性质，即可求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以. 令，得. 故选：A 7. 已知椭圆的左、右焦点分别是，P是椭圆外一点，直线的倾斜角为，，线段的中点在C上，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合离心率的意义求解. 【详解】令椭圆半焦距为c,M为线段的中点，连接， 由,，得为等边三角形，则， 所以C的离心率为. 故选：B 8. 若将一块体积为的橡皮泥捏成一个圆柱，则圆柱的表面积最小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为r，高为h.表示出圆柱的表面积.，用导数分析函数的单调性，求函数的最小值 【详解】设圆柱的底面圆半径为r，高为h，则，即． 圆柱的表面积为． 令，． 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以． 故． 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若函数的最小正周期为，且在上单调递减，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三角函数性质，分别判断各选项函数的周期和单调递减区间，判断正误. 【详解】的最小正周期为，且在上单调递减，A符合题意； 的最小正周期为，B不符合题意； 最小正周期为，且当时，，函数单调递减，C符合题意； 的最小正周期为，在上单调递增，D不符合题意． 故选：AC 10. 为了解某新品种水稻的亩产量（单位：千克）情况，从种植区抽取样本，得到该新品种水稻的亩产量的样本均值，样本方差，已知原品种水稻的亩产量服从正态分布，假设新品种水稻的亩产量服从正态分布，则（ ） （若随机变量服从正态分布，则） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正态分布的性质及原则，以及条件一一判断即可. 【详解】依题可知，， ，C正确，D错误． 因为， 所以， ，A正确． 因为， 所以，B正确． 故选：ABC 11. 已知直线分别与函数，的图象交于点，，直线分别与函数，的图象交于点，，则下列结论正确的是（ ） A. 记的最小值为，则 B. 记的最小值为，则 C. 的最小值为 D. 当取得最小值时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】构造函数，根据所构造函数的单调性确定最小值. 【详解】令，． 令，，所以是增函数． 因为，，所以存在，使得． 当时，； 当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． ， 因为，所以，即，A正确，B错误． 设，，则， 所以，，． 令，． 当时，； 当时，． 所以上单调递减，在上单调递增． ，所以的最小值为， 即当取得最小值时，，C，D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为坐标原点，是抛物线的准线，是与轴的交点，若是上的一点，则的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定能够使得取得最大值的直线的位置，然后根据抛物线的性质求出最大值. 【详解】易知，当直线与相切时，取得最大值， 设此时直线的方程为，联立，得， 解得，即的斜率为，倾斜角为或，所以的最大值为． 故答案为：. 13. 已知正四棱台的高为，上、下底面边长分别为2和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正四棱台的结构特征和性质求出球的半径，进而可求出球的表面积. 【详解】设正四棱台上、下底面所在圆面的半径分别为， 所以．设球心到上底面的距离为，球的半径为， 所以球心到下底面的距离为， 解得，所以该球的表面积． 故答案为：. 14. 某单位的某部门周一到周六每天晚上需要安排1人值班，该部门共4名员工，若每名员工至少安排1天值班，至多安排2天值班，且安排2天值班的员工必须是相邻的两天，则不同的排班方案有__________种.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先找出所有的值班1天的情况，再将4名员工进行全排列即可. 【详解】由题意可得，有2名员工安排1天值班，另外2名员工安排2天值班． 先考虑哪几天由值班1天的员工值班，有6种情况，分别为（周一，周二），（周一，周六），（周五，周六），（周一，周四），（周三，周四），（周三，周六）． 确定了哪几天由值班1天的员工值班，即可确定哪几天由值班2天的员工值班， 再进行排列，可以得到不同的排班方案，有种． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表. 亩产量 频数 10 11 22 30 20 7 记这100块稻田亩产量的平均值的估计值为，标准差的估计值为.（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （1）求，； （2）判断该新型水稻能否推广种植（在这100块稻田中，若超过90块稻田的亩产量在内，则认为该新型水稻能推广种植）. 【答案】（1）1055kg，4700 （2）该新型水稻不能推广种植. 【解析】 分析】（1）代入样本平均数和方差公式，即可求解； （2）首先计算的范围，再根据样本数据比较，即可判断. 【小问1详解】 由频数分布表可得. . 【小问2详解】 因为， 所以，， 所以. 亩产量在内的稻田有10块，所以亩产量在内的稻田不超过90块，即亩产量在内的稻田不超过90块. 故该新型水稻不能推广种植. 16. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是正方形，． （1）证明：． （2）求平面与平面夹角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用线面垂直的性质得到即可. （2）首先建立空间直角坐标系，然后求出各点的坐标，然后求出平面与平面的法向量，最后根据向量夹角的余弦公式求出二面角即可. 【小问1详解】 连接．因为四边形正方形，所以， 因为平面，所以， 因，面，所以平面， 因为平面，所以． 【小问2详解】 因为平面，且四边形是正方形，所以两两垂直， 则以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，． 设平面的法向量为， 则，不妨令，则， 易知是平面的一个法向量， 得到，即， 故平面与平面的夹角为． 17. 已知函数，． （1）求的极值； （2）求的极值； （3）当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）直接求导，判断函数的单调性，结合极值的概念进行求解； （2）求导，判断出在上单调递增，在上单调递减，有极大值即可求解； （3）把问题转化为，列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：． 当或时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减． 所以当时，取得极大值，极大值为， 当时，取得极小值，极小值为． 【小问2详解】 ． 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以当时，取得极大值，极大值为．无极小值； 【小问3详解】 当时，和都在处取得最值， 要使得，则，即，解得． 故a的取值范围为． 18. 已知双曲线的右焦点为，点在上． （1）求的方程； （2）过点的直线与的左，右支分别交于两点，直线与轴交于点为线段的中点，直线与直线交于点，证明：轴． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标和双曲线经过的点坐标，联立方程组求出即可得到双曲线的方程. （2）要证明轴，可证明点的纵坐标相等即可.可联立直线与双曲线的方程组获得各点的坐标即得. 【小问1详解】 由题意可得，解得 所以C的方程为． 【小问2详解】 依题意，，直线的斜率必存在，可设． 由可得． ， 则 ，直线． 令，得，则， 由 ， 所以，即轴． 19. 将随机排成一列，得到一个数列，若至多有项，即第，项均满足，则称为阶相邻递增数列，为相邻递增数列的阶数，若中不存在1项满足，则称为0阶相邻递增数列，其阶数为0.例如，数列为0阶相邻递增数列，数列为1阶相邻递增数列，数列1，2，3，4为3阶相邻递增数列. （1）求数列的相邻递增数列的阶数. （2）将随机排成一列，在得到的数列中，1阶相邻递增数列的个数为. ①证明为等比数列，并求数列的通项公式； ②设，求数列的前项和. 【答案】（1）4 （2）①证明见解析，② 【解析】 【分析】（1）根据阶相邻递增数列定义可得答案； （2）①由正整数构成的数列中，恰为1阶相邻递增数列的情形可以由以下两种方法进行构造：（ⅰ）在递减数列中，任选一项的右边放，使此数列为1阶相邻递增数列；（ⅱ）在由正整数构成1阶相邻递增数列中，则将放在的右侧或者放在的左侧即可，得到，再由构造法可得答案； ②由①求出，利用裂项相消求和可得答案. 【小问1详解】 因为，，，， 所以存在，使得， 故所求数列的相邻递增数列的阶数为4； 【小问2详解】 ①在由正整数构成的数列中，恰为1阶相邻递增数列的情形可以由以下两种方法进行构造： （ⅰ）在递减数列中，任选一项的右边放，使此数列为1阶相邻递增数列，共有种排法； （ⅱ）在由正整数构成1阶相邻递增数列中，若只有第项满足， 则将放在的右侧或者放在的左侧即可，此时共有种排法. 故，. 易知，则， 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，即. ②由①知， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $