精品解析：广西贵港市平南县2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题

2025年春季期七年级期中教学质量检测 数学试题 （考试时间120分钟，赋分120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将班级、姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 下列实数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 若不等式“”可以表示“不超过3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. a2+a3＝a5 B. a2•a3＝a6 C. （2a）3＝6a3 D. （a2）3＝a6 4. 下列各数中，没有平方根的是（ ） A. B. C. D. 5. 实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各式中能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（　） A. B. C. D. 8. 若，，则的值是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 9. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 10. “白色污染”的主要来源有食品包装袋、泡沫塑料填充物等．已知一个塑料快餐盒的污染面积为．如果3万名游客每人丢弃一个快餐盒，那么造成污染的最大面积用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，将四个小正方形用两种不同方法放在大正方形的四个顶点处，则图2中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 12. 对于实数a，如果定义[]是一种取整运算新符号，即[a]表示不超过a的最大整数．例如：[1.3]＝1，[﹣1.3]＝﹣2，对于后面结论：①[﹣2.3]+[2]＝﹣1；②因为[1.3]+[﹣1.3]＝﹣1，所以[a]+[﹣a]＝﹣1；③若方程x﹣[x]＝0.1有解，则其解有无数多个；④若[a+2]＝2，则a的取值范围是0≤a＜1；⑤当﹣1≤a＜1时，则[1+a]﹣[1﹣a]的值为1或2．正确的是( ) A. ②③④ B. ①②④ C. ①③④⑤ D. ①③④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：______． 14. 比较大小：________．（填“>”“=”或“<”） 15. 不等式的最小整数解为__________． 16. 若，是从0，1，2，三个数中取值的一列数．已知，，则在，，，中取值为2的个数为______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 求不等式的正整数解． 19. 已知，，求的值． 20. 已知一个正数m的两个平方根是和，求m的值． 21. （一）【知识探究】求一个图形的面积，通过采用不同的计算方法可以得到一些数学等式，利用这些等式可以方便地解决某些数学问题． ①如图1，两个正方形、两个大小和形状相同的长方形拼成一个大正方形．如果能用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，那么可以得到的数学等式是______； ②如图2，三边长分别为的四个直角三角形（为直角边）和一个小正方形拼成一个大正方形，利用两种不同的方法表示大正方形的面积可得一个数学等式为：． （二）【知识应用】当直角三角形两直角边满足，时，利用①②中得到的数学等式，求斜边的值． 22. 下面是一位同学的学习与发现．请认真阅读，解答问题． 【发现问题】该同学把两个完全平方公式，相减得到．发现，，中任意知道两个式子的值，就能求出第三个式子的值． 【拓展应用】请利用以上该同学的发现，解决如下问题： （1）若一个长方形的周长为12，面积为5，长方形的长比宽多了多少？（长大于宽） （2）已知，利用该同学的发现，求出的值． 23. 为了让学生体验生活，学校计划把篮球的采购和销售的任务交给学生会去执行．学生会经过调查了解到：若采购3个排球和2个篮球需要220元；若采购1个排球和4个篮球需要290元． （1）求购买1个篮球和1个排球的价格． （2）学生会打算用2550元去采购篮球和排球共50个，最多可采购多少个篮球？ （3）在（2）的条件下，若学生会以排球58元/个和篮球98元/个的价格销售给大家，能否实现利润不少于1540元的目标？如果能，请给出相应的采购方案；如果不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季期七年级期中教学质量检测 数学试题 （考试时间120分钟，赋分120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将班级、姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 下列实数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：根据实数比较大小的方法，可得， 因此所给实数中，最小的数是， 故选A． 2. 若不等式“”可以表示“不超过3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是列不等式，理解语言表示不等关系的含义是关键，由不超过表示小于或等于可得答案． 【详解】解：不等式“”可以表示“不超过3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是：， 故选：A 3. 下列计算正确的是（　　） A. a2+a3＝a5 B. a2•a3＝a6 C. （2a）3＝6a3 D. （a2）3＝a6 【答案】D 【解析】 【分析】按照合并同类项、同底数幂的乘除法运算、幂的乘方的性质进行判断即可. 【详解】解：A、a2与a3不是同类项，故A不符合题意； B、a2∙a3＝a2＋3＝a5，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、(a2)3＝a2×3＝a6，故D符合题意． 故选． 【点睛】本题综合考查了整式运算的多个考点，包括合并同类项、同底数幂的乘法和除法、幂的乘方的性质，需熟练掌握并区分清楚，才不容易出错. 4. 下列各数中，没有平方根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，根据平方根的定义，负数没有平方根，因此只需找出选项中的负数即可，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：由平方根的定义，负数没有平方根， 选项符合题意， 故选：． 5. 实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键． 由题意可知，，故、异号，，且，根据有理数加减法得的值应取的符号“”，故；由，利用作差法求得． 【详解】解：依题意得：，， ，、异号，且． A，D错误，不符合题意； ； C正确，符合题意； ∵； B错误，不符合题意； 故选：C． 6. 下列各式中能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，熟记平方差公式的特征是解题的关键，根据平方差公式的结构特点，逐一分析各选项是否符合“两数和与两数差的乘积”形式． 【详解】解：选项A：，这是两个相同项的和相乘，不符合平方差公式． 选项B：，这是两个相同项的差相乘，不符合平方差公式． 选项C：，第一个括号为和的和，第二个括号为和的差．由于两括号中的变量不同（前者含，后者含），无法构成同一对数的和与差，因此不满足平方差公式的条件． 选项D：，第一个括号为和的和，第二个括号为和的差，完全符合平方差公式的结构． 综上，只有选项D满足平方差公式的条件． 故选：D 7. 若，则（　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变． 8. 若，，则的值是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方根、立方根的定义求出、的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ， 又， ， 当，时，， 当，时，， 故选：B． 【点睛】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的前提． 9. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，以及将不等式的解集在数轴上表示出来，解题的关键在于要注意x是否取得到，若取得到则x在该点是实心的，反之x在该点是空心的．先求出不等式的解集，然后把不等式的解集表示在数轴上即可． 【详解】解： ． 在数轴上表示为： ， 故选：B． 10. “白色污染”的主要来源有食品包装袋、泡沫塑料填充物等．已知一个塑料快餐盒的污染面积为．如果3万名游客每人丢弃一个快餐盒，那么造成污染的最大面积用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键，先计算总污染面积，再将其转化为科学记数法．科学记数法的形式为，其中，为整数． 【详解】每个快餐盒污染面积为，3万名游客丢弃的总污染面积为：． ∴总污染面积用科学记数法表示为， 故选：C． 11. 如图，将四个小正方形用两种不同方法放在大正方形的四个顶点处，则图2中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，先求小正方形的边长，再利用面积公式求解即可． 【详解】小正方形的边长为： 则阴影部分的面积可以看成一个边长为正方形和四三个长为，宽为的长方形的和 即： 故选：A． 12. 对于实数a，如果定义[]是一种取整运算新符号，即[a]表示不超过a的最大整数．例如：[1.3]＝1，[﹣1.3]＝﹣2，对于后面结论：①[﹣2.3]+[2]＝﹣1；②因为[1.3]+[﹣1.3]＝﹣1，所以[a]+[﹣a]＝﹣1；③若方程x﹣[x]＝0.1有解，则其解有无数多个；④若[a+2]＝2，则a的取值范围是0≤a＜1；⑤当﹣1≤a＜1时，则[1+a]﹣[1﹣a]的值为1或2．正确的是( ) A. ②③④ B. ①②④ C. ①③④⑤ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】①根据取整函数的定义，直接求出值； ②取特殊值验证，证实或证伪； ③在0到1的范围内，找到一个特殊值，进而可以找到无数个解； ④把方程问题转化为不等式问题； ⑤分情况讨论，验证[1+a]-[1-a的所有取值． 【详解】对于①，[-2.3]+[2]=-3+2=-1，故正确； 对于②，当a=1时，[a]+[-a]=0，故不正确； 对于③，当x=1.1，2.1，3.1，...时，方程均成立，故正确； 对于④，由[a+2]=2，得2≤a+2＜3，即0≤a＜1，故正确； 对于⑤，当a=-1时，[1+a]-[1-a]=0-2=-2； 当-1＜a＜0时，[1+a]-[1-a]=0-1=-1； a=0时，[1+a]+[1-a]=0； 当0＜a＜1时，[1+a]-[1-a]=1-0=1． 故[1+a]-[1-a]的值为-1或0或1或-2，故⑤不正确． 综上所述，正确的是①③④ 故选：D． 【点睛】本题考查取整函数与一元一次不等式．解题的关键在于能够把取整函数的等式，转化为一元一次不等式问题去解决． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的运算，掌握相关的运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的运算法则即可求解． 【详解】． 故答案为：． 14. 比较大小：________．（填“>”“=”或“<”） 【答案】< 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小和不等式的基本性质，先估算的大小，再根据不等式的基本性质求出的范围，进而即可得解． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 15. 不等式的最小整数解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解不等式、确定最大整数解等知识点，正确求解不等式是解题的关键．先解不等式求出不等式的解集，然后确定最大整数解即可得答案． 【详解】解： 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， ∴不等式的最小整数解为， 故答案为： 16. 若，是从0，1，2，三个数中取值的一列数．已知，，则在，，，中取值为2的个数为______． 【答案】500 【解析】 【分析】此题考查完全平方公式的应用，根据题意得到，，，中为1的个数是，然后结合求解即可． 【详解】解：，，，是从0，1，2，三个数中取的一列数，且， ∵，，， ，，，中为1的个数是， ， 的个数是， 故答案为：500． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式和平方差公式，掌握完全平方公式和平方差公式的计算法则是解题的关键． （1）根据平方差公式法则求解即可； （2）根据完全平方公式法则求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 18. 求不等式的正整数解． 【答案】正整数解为1，2 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 该不等式的正整数解：2，1． 19. 已知，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式变形求值．通过完全平方公式变形再整体代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴． 20. 已知一个正数m的两个平方根是和，求m的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根的概念，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 根据平方根的性质（一个正数的两个平方根互为相反数）求出a的值，进而求出m的值即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴． 21. （一）【知识探究】求一个图形的面积，通过采用不同的计算方法可以得到一些数学等式，利用这些等式可以方便地解决某些数学问题． ①如图1，两个正方形、两个大小和形状相同的长方形拼成一个大正方形．如果能用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，那么可以得到的数学等式是______； ②如图2，三边长分别为的四个直角三角形（为直角边）和一个小正方形拼成一个大正方形，利用两种不同的方法表示大正方形的面积可得一个数学等式为：． （二）【知识应用】当直角三角形两直角边满足，时，利用①②中得到的数学等式，求斜边的值． 【答案】（一）①； ②中间正方形的边长为c，面积为，也可以看作从边长为的正方形面积减去四个两条直角边分别a、b的面积，即， 化简得， 所以； （二）知识应用： 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，将公式进行适当的变形是解决问题的关键． （一）动手探究：（1）阴影部分是两个正方形的面积和，阴影部分也可以看出大正方形的面积减去两个长方形的面积即可得出答案； ②中间的是边长为c的正方形，因此面积为，也可以从边长为的正方形面积减去四个直角三角形的面积即可； （二）知识应用：利用（2）中的结论，代入计算即可． 【详解】解：（一）动手探究： ①方法一：阴影部分是两个正方形的面积和，即； 方法二：阴影部分也可以看作边长为的面积，减去两个长为a，宽为b的长方形面积，即， 由面积相等得， 故答案为：； ②略 （二）知识应用：，， ， ， 答：斜边． 22. 下面是一位同学的学习与发现．请认真阅读，解答问题． 【发现问题】该同学把两个完全平方公式，相减得到．发现，，中任意知道两个式子的值，就能求出第三个式子的值． 【拓展应用】请利用以上该同学的发现，解决如下问题： （1）若一个长方形的周长为12，面积为5，长方形的长比宽多了多少？（长大于宽） （2）已知，利用该同学的发现，求出的值． 【答案】（1）长方形的长比宽多4 （2）5或1 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的变形求值； （1）设长方形的长为、宽为，则，根据题意得，，然后根据完全平方公式的变形求解即可； （2）由变形得到，整理得到，进而求解即可． 【小问1详解】 设长方形的长为、宽为，则． 根据题意，得，， ． ， ． ． 长方形的长比宽多4； 【小问2详解】 ， ． ． ． ． 解得或1． 23. 为了让学生体验生活，学校计划把篮球的采购和销售的任务交给学生会去执行．学生会经过调查了解到：若采购3个排球和2个篮球需要220元；若采购1个排球和4个篮球需要290元． （1）求购买1个篮球和1个排球的价格． （2）学生会打算用2550元去采购篮球和排球共50个，最多可采购多少个篮球？ （3）在（2）的条件下，若学生会以排球58元/个和篮球98元/个的价格销售给大家，能否实现利润不少于1540元的目标？如果能，请给出相应的采购方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）购买1个排球需要30元，购买1个篮球需要65元 （2）最多可采购30个篮球 （3）能实现利润不少于1540元的目标，学生会共有3种采购方案．方案1：采购排球22个，篮球28个；方案2：采购排球21个，篮球29个；方案3：采购排球20个，篮球30个． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用： （1）设购买1个排球需要元，1个篮球需要元．根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设采购篮球个，则采购排球个，根据题意列出一元一次不等式求解即可； （3）根据题意列出不等式求出，然后根据，且为正整数求解即可． 【小问1详解】 解：设购买1个排球需要元，1个篮球需要元． 根据题意，得 解得 答：购买1个排球需要30元，购买1个篮球需要65元． 【小问2详解】 设采购篮球个，则采购排球个． 根据题意，得． 解得．所以的最大值为30． 答：最多可采购30个篮球． 【小问3详解】 根据题意，得． 解得． 又因为，且为正整数， 所以可取28，29，30． 所以能实现利润不少于1540元的目标，学生会共有3种采购方案． 方案1：采购排球22个，篮球28个； 方案2：采购排球21个，篮球29个； 方案3：采购排球20个，篮球30个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $