精品解析：广西贵港市港南区2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题

2025年春季期期中教学质量检测试卷 七年级数学 （时间：120分钟满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 的相反数是（　　） A. 0 B. C. D. 2. 下列说法中正确的是（ ） A. 64的立方根是 B. 没有立方根 C. 是64的平方根 D. 的平方根是 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在，，，，，中，无理数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 5. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若是数的立方根，是数的一个平方根，则的值为（　　） A. 2 B. C. 1 D. 7. 下列能用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 8. 已知关于的多项式与的乘积的展开式中不含的二次项，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 9. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形，根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是()． A. B. C. D. 11. 小明购买了一本原价为x元的书，花费金额低于24元，他根据书店促销信息列出不等式为，关于这本书的促销信息最合适的是（ ） A. 原价基础上降价10元 B. 原价基础上先打八折，再降价10元 C. 原价基础上先降价10元，再打八折 D. 原价基础上打八折 12. 在矩形内，将一张边长为a的正方形纸片和两张边长为b的正方形纸片（），按图1，图2两种方式放置（两个图中均有重叠部分），矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，当时，的值是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案填在答题卡上．） 13. 若是关于x的一元一次不等式，则m的值为__________． 14. 若，则的值为________． 15. 已知，，则_____． 16. 如图，将面积为5的正方形放在数轴上，以表示-1的点为圆心，以正方形的边长为半径作圆，交数轴于点，两点，则点，表示的数分别为__________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解不等式组．把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解． 19. 先化简，再求值：当，时，求代数式的值． 20. 已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 21. 学校为了奖励初三优秀毕业生，计划购买一批平板电脑和一批学习机，经投标，购买1台平板电脑3 000元，购买1台学习机800元. (1)学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共100台，要求购买的总费用不超过168 000元，则购买平板电脑最多多少台？ (2)在(1)的条件下，购买学习机的台数不超过平板电脑台数的1.7倍.请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？ 22. 对于整数a，b定义运算：（其中m，n为常数），如． （1）若，，求的值； （2）若， ，求的值 23. 综合与实践 “数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘除”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了两数和的平方公式：（如图①）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】 （1）由图②可得等式：； （2）由图③可得等式：； 【解决问题】若，利用图③得到的结论，求的值； 【方法拓展】已知正数和满足，试通过构造边长为的正方形，利用图形面积来说明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季期期中教学质量检测试卷 七年级数学 （时间：120分钟满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 的相反数是（　　） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的性质，根据互为相反数的定义求出的相反数，然后判断即可．解题关键是熟练掌握互为相反数的定义． 【详解】解：的相反数是， A、C、D选项不符合题意，B选项符合题意， 故选：B． 2. 下列说法中正确的是（ ） A. 64的立方根是 B. 没有立方根 C. 是64的平方根 D. 的平方根是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了立方根、平方根，根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，任何一个数都有立方根逐一判断即可． 【详解】解：A. 64的立方根是，原说法错误； B. 的立方根是，原说法错误； C. 是64的平方根，说法正确； D. 的平方根是，原说法错误； 故选：C． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘，积的乘方，合并同类项，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项正确，符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘，积的乘方，合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 4. 在，，，，，中，无理数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数，也考查了求一个数的算术平方根． 【详解】解：，，是有理数；，，是无理数，共有3个． 故选：A． 5. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断选择即可．本题考查了不等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 故A不符合题意； ∴， 故B符合题意； ∴， 故C不符合题意； ∴， 故D不符合题意； 故选B． 6. 若是数的立方根，是数的一个平方根，则的值为（　　） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查立方根、平方根，先根据立方根、平方根的定义求出a、b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵是数的立方根，是数的一个平方根， ∴， 则， 故选：C． 7. 下列能用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式，判断各选项是否符合两项中一项相同，另一项互为相反数的结构． 【详解】解：A、可提取负号得，属于完全平方公式的变形，不符合题意； B、中两项分别为与、与，既不相同也不互为相反数，无法应用平方差公式，不符合题意； C、可改写为，属于完全平方公式的变形，不符合平方差公式，不符合题意； D、可整理为，符合（其中，），结果为，满足平方差公式，符合题意， 故选：D． 8. 已知关于的多项式与的乘积的展开式中不含的二次项，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式法则进行运算是关键． 根据多项式乘以多项式法则进行计算． 【详解】解： ∵多项式与的乘积的展开式中不含的二次项， ∴． 解得． 故选：C． 9. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别解出不等式组中的每一个不等式，再根据求不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”即得出其解集．最后在数轴上表示即可． 【详解】解不等式2x-1≥5，得：x≥3， 解不等式8-4x＜0，得：x＞2， ∴不等式组的解集为x≥3， 在数轴上表示为： 故选C． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．掌握求不等式组解集的口诀是解题关键． 10. 如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形，根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是()． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用几何方法验证平方差公式：根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．易求出图（1）阴影部分的面积为，图（2）中阴影部分进行拼接后，长为，宽为，面积等于，由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论． 【详解】解：图（1）中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为； 图（2）中阴影部分为矩形，其长为，宽为，则其面积为， ∵前后两个图形中阴影部分的面积， ∴． 故选：D． 11. 小明购买了一本原价为x元的书，花费金额低于24元，他根据书店促销信息列出不等式为，关于这本书的促销信息最合适的是（ ） A. 原价基础上降价10元 B. 原价基础上先打八折，再降价10元 C. 原价基础上先降价10元，再打八折 D. 原价基础上打八折 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的知识，解题的关键是正确理解题意，结合一元一次不等式的性质来解决生活中的实际问题． 【详解】“”表示在原价基础上先降价10元，“”表示在降价10元的基础上再打八折． 故选：C． 12. 在矩形内，将一张边长为a的正方形纸片和两张边长为b的正方形纸片（），按图1，图2两种方式放置（两个图中均有重叠部分），矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，当时，的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形和题目中的数据，可以表示出和，然后作差化简即可． 【详解】解：由图可得， ， , ∵， ∴， 即． 故选：C． 【点睛】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案填在答题卡上．） 13. 若是关于x的一元一次不等式，则m的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】考查了一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义得到且，即可求m的值． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且 ∴ 故答案是：． 14. 若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，先求出，再把所求式子变形为，进一步变形为，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 15. 已知，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方的展开式可到，从而得到． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了完全平方公式求代数式的值的知识点，熟练运用完全平方公式是解题的关键． 16. 如图，将面积为5的正方形放在数轴上，以表示-1的点为圆心，以正方形的边长为半径作圆，交数轴于点，两点，则点，表示的数分别为__________． 【答案】， 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义以及数轴的定义解答即可． 【详解】解：∵正方形的面积为5， ∴圆的半径为， ∴点A表示的数为，点B表示的数为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了实数与数轴，熟记算术平方根的定义是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法运算，立方根、算术平方根，整式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简乘方、立方根、再运算乘法和去绝对值，再运算加减，即可作答． （2）根据平方差公式、完全平方公式，单项式乘多项式进行去括号，再合并同类项，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解不等式组．把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解． 【答案】 在数轴上表示为： 不等式组的非负整数解为2，1，0． 【解析】 【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）．最后找出解集范围内的非负整数即可．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 【详解】解：， 解不等式①得：x≥﹣1， 解不等式②得：x＜3， ∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜3． 不等式组的非负整数解为2，1，0． 19. 先化简，再求值：当，时，求代数式的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式四则混合运算，完全平方公式，代数式求值等知识点，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 先将完全平方公式展开，然后按照整式的加减运算法则计算括号内的部分，得出结果后再计算整式的除法，最后将、的值代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 20. 已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 【答案】（1） ，， （2） 【解析】 【分析】（1）根据立方根和算术平方根的定义列方程求出和，再估算的大小得到它的整数部分，即可求出； （2）将，，的值代入计算出结果，再求这个结果的平方根即可． 【小问1详解】 解：的立方根是，的算术平方根是， ，， ， 将代入，得，解得， ， ， 是的整数部分， ； 【小问2详解】 解：将，，代入得：， 的平方根为， 即的平方根是． 21. 学校为了奖励初三优秀毕业生，计划购买一批平板电脑和一批学习机，经投标，购买1台平板电脑3 000元，购买1台学习机800元. (1)学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共100台，要求购买的总费用不超过168 000元，则购买平板电脑最多多少台？ (2)在(1)的条件下，购买学习机的台数不超过平板电脑台数的1.7倍.请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？ 【答案】(1)平板电脑最多购买40台；(2)购买平板电脑38台，学习机62台最省钱. 【解析】 【详解】试题分析：(1)设购买平板电脑台，则购买学习机台，根据购买的总费用不超过168000列出不等式，求出解集即可. (2)购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的1.7倍列出不等式，出不等式组的解集，即可得出购买方案，进而得出最省钱的方案． 试题解析：(1)设购买平板电脑台，则购买学习机台，由题意，得 解得 答：平板电脑最多购买40台. (2) 设购买平板电脑台，则购买学习机台，根据题意，得 解得 又∵为正整数且 ∴＝38，39，40，则学习机依次买：62台，61台，60台. 因此该校有三种购买方案： 平板电脑(台) 学习机(台) 总费用(元) 方案一 38 62 163 600 方案二 39 61 165 800 方案三 40 60 168 000 答：购买平板电脑38台，学习机62台最省钱. 22. 对于整数a，b定义运算：（其中m，n为常数），如． （1）若，，求的值； （2）若， ，求的值 【答案】（1）3 （2）1296 【解析】 【分析】本题考查了加减消元法解方程，有理数的乘方的混合运算，新定义，同底数幂相乘的逆运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合新定义的运算法则，把代入进行运算，即可作答． （2）结合， ，列出方程组，解得，，再代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵，且， ∴ ， 故答案为：3 【小问2详解】 解：∵， ，， ∴， 整理得， ∴， 即， ∴， 把代入， ∴， ∴ ． 23. 综合与实践 “数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘除”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了两数和的平方公式：（如图①）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】 （1）由图②可得等式：； （2）由图③可得等式：； 【解决问题】若，利用图③得到的结论，求的值； 【方法拓展】已知正数和满足，试通过构造边长为的正方形，利用图形面积来说明． 【答案】[解决问题] 155； [方法拓展]如图，构造了一个边长为k的正方形，在正方形的4条边上分别截取． ． ， ． ∴三个长方形的面积和为，大正方形的面积为． 根据图形可知，三个长方形的面积和小于大正方形的面积， ． 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法与图形面积，解题的关键是数形结合，熟练掌握整式乘法运算法则． [解决问题]结合（2）的公式变形，把字母的值代入可以得解； [方法拓展]拓展造一个边长为的正方形，并根据对各边进行分割，然后根据正方形、矩形的面积计算公式即可得解． 【详解】解：[解决问题]由图3得， ． 当时， ． [方法拓展]略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $