专题4 解答题-【快乐假期每一天】2024-2025学年高一数学暑假作业

第二部分专题特训 13.(2024·重庆联考)在△ABC中，角A,B,C的 17.(2024·上海浦东校考)已知平面向量a,b,且 对边分别为a,b,c,b=2√2且△ABC面积为 la=|b=2,a·b=2,向量c满足|c-2a-2b S=3(a2+2-),则△ABC面积S的最大 =|a一b1,则当|c一b|(入∈R)成最小值时A= 4 值为 18.(2024·黑龙江哈尔滨校考)在长方体ABCD一 14.(2024·陕西渭南统考)某班40名学生，在一次 A1B1C1D1中，AB=2,BC=CC1=1;点E,F 考试中统计所得平均分为80分，方差为70，后 分别为AB、CD中点；那么长方体ABCD一 来发现有两名同学的成绩有损，甲实得80分错 A1B1CD1外接球表面积为 ；三棱锥 记为60分，乙实得70分错记为90分，则更正 的D1一BEF外接球的体积为 后的方差为 D 15.(2024·陕西渭南统考)已知A,B,C均是单位 圆O上的点，且OA⊥OB,则(OC-OA)· B (OC-OB)的最大值为 16.(2024·湖北十堰校考)记△ABC的内角A,B, C的对边分别为a,b,c,若O为△ABC的重心， OB⊥OC,3b=2c,则cosA= 专题四 解答题 1.(2024·甘肃张掖统考)已知函数f(x)=2+1 2.(2024·云南文山统考)如 图，在四棱锥P一ABCD (x≠0) 中，底面ABCD为直角梯 (1)证明函数f(x)为奇函数： 形，AD∥BC,∠ADC=90°， (2)若x∈[-3，一2]，求函数的最大值和最 平面PAD⊥底面ABCD, 小值. Q,M分别为AD,PC的中点.PA=PD=√2， BC-AD-1.CD-/3. (1)求证：直线BC⊥平面PQB: (2)求三棱锥A-BMQ的体积. 假期作业·数学 3.(2024·陕西榆林校考)已知sin +a)=2 5.(2024·上海浦东校考)某小 区规划时，计划在周边建造一 且角a在第四象限，计算： 片扇形绿地，如图所示已知扇 (1)sin(2π-a): 形绿地的半径为50米，圆心 sin [a+(2n+1)x]+cos(2+a) (2)sin (a)cos (a+2n)tan (xa) (n∈Z). 角∠AOB=行从绿地的圆弧 边界上不同于A,B的一点P处出发铺设两条道 路PO与PC(均为直线段)，其中PC平行于绿 地的边界OB.记∠POC=0(其中0<0K): (1)当0=平时，求所需铺设的道路长： (2)若规划中，绿地边界的OC段也需铺设道路， 且道路的铺设费用均为每米100元，当0变化 时，求铺路所需费用的最大值（精确到1元）. 4.(2024·陕西渭南统考)如图，已 D 知正方形ABCD中，E,F分别是 CD,AD的中点，BE,CF交于点 P.求证： (1)BE⊥CF; (2)AP=AB. 6.(2024·湖北十堰校考)某校在一次校考中使用 赋分制给高三年级学生的化学成绩进行赋分，具 体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按 比例划定A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应 赋分区间内利用转换公式进行赋分.A等级排名 占比为15%，赋分分数区间是86~100；B等级 排名占比为35%，赋分分数区间是71~85；C等 级排名占比为35%，赋分分数区间是56~70：D 等级排名占比为13%，赋分分数区间是41~55； E等级排名占比为2%，赋分分数区间是30~40. 第二部分专题特训 现从全年级的化学成绩中随机抽取100名学生： 7.(2024·湖北十堰校考)如 的化学成绩原始分进行分析，其频率分布直方图 图，在四棱锥P一ABCD 如图所示： 中，底面ABCD是边长为2 频率 的菱形，∠BCD=60°，PDL 组距 0.025 AD.PB=总，E是BC边 的中点。 0.015 0.010 (1)求证：AD⊥平面PDE; 0.0 040506070809010分数 (2)若直线PB与底面ABCD所成的角为60°，求 二面角P-AD一C的大小. (1)求图中a的值； (2)根据频率分布直方图，估计该次校考中化学 成绩原始分的平均数； (3)用样本估计总体的方法，估计该校本次校考 化学成绩原始分不少于多少分才能达到C等级 及以上（含C等级）？（结果保留整数） 8.(2024·陕西渭南统考)某快递公司招聘快递骑 手，该公司提供了两种日工资方案：方案(1)规定 每日底薪50元，快递骑手每完成一单业务提成3 元；方案(2)规定每日底薪150元，快递业务的前 44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提 成5元.该快递公司记录了每天骑手的人均业务 量.现随机抽取100天的数据，将样本数据分为 [25,35),[35,45),[45,55),[55,65),[65,75), 假期作业·数学 [75,85),[85,95]七组，整理得到如图所示的频 (1)第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的 率分布直方图. 学生中各抽取多少人？ 频率： (2)现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生 组距 中抽取2人粘贴宣传标语，求抽取的两人都是高 0.03 二学生的概率. a 0.015 0.005--- 0253545556的758595业务量（单 (1)求直方图中a的值： (2)以样本数据的平均业务量为标准，该快递骑 手应选择哪个方案？（同组中的每个数据用该组 区间的中点值代替)： 10.(2024·安徽滁州校考)已知△ABC的内角A、 B、C的对边分别为a、b、c,设√7(acos B+ bcos A)=ac,sin 2A=sin A. (1)求A及a: (2)若b一c=2,求BC边上的高. 9.(2024·陕西渭南统考)2020年8月，习近平总书 记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一 步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会 营造浪费可耻、节约光荣的氛围，为贯彻总书记 指示，某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食 堂宣传节约粮食的相关活动，现有高一63人、高 二42人、高三21人报名参加志愿活动，根据活 动安排，拟按年级采用分层抽样的方法，从已报 名的志愿者中抽取12名志愿者，参加为期20天 的第一期志愿活动。 18 第二部分专题特训 11.(2024·湖北十堰校考)已知函数f(x)= (3)若B驴=BC,DQ=λDC,A>0,>0,G为 1og2(4十1)一kx(k∈R)为偶函数. △APQ的重心，若D,G,B在同一条直线上，求 (1)求k的值； 4的最大值. (2)设g(x)-2f(2x)-m·2fx+1,h(x) 2cos(x+5）,若Vx1∈[-1,0]，Vx∈[0，] 总有g(x1)≥h(x2),求m的取值范围. 13.(2024·辽宁沈阳统考)已知函数f(x)=x+4 -5(x>0) (1)证明：函数f(x)在(2，十∞)上单调递增； (2)讨论关于x的方程|f(x)|=k(k∈R)的实 数解的个数（直接写出结论即可）. 12.(2024·上海浦东校考)在 D QC 梯形ABCD中，AB∥CD, AB=BC=2,CD=1, ∠BCD=120°，P,Q分别 为直线BC,CD上的动点. (1)当P,Q为线段BC,CD 上的中点，试用AB和AD 来表示QP; (2)若B驴-BC,求A户， 19假期作业·数学 专题四解答题 则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2).F(0,1) (1)B=O求-0i=(1,2)-(2,0)=(-1.2), 1.解：(1)证明：f(x)的定义域为{xx≠0》，关于原点对称， f-)--+1--+1--f C求=0亦-0元=0,1)-(2,2)=(-2.-1)， 一x x :BE.C求=(-1)×(-2)+2×(-1)=0. 所以f(x)在定义域上为奇函数： BE⊥CF,即BE⊥CF (2)在[-3，-2]上任取x1x,且x1<x, 则f,)-fr,)=+1+1-(x-)(x-1D (2)设P(xy),则FP=(xy-1),CF=(-2,-1). xif: :Fp/C市，-x=-2(y-1),即x=2y-2. x1x∈[-3，-2]1<r, 同理由B求∥B正，得y=-2x十4，代入x=2y-2, x1-xg<0,x1x-1>0rx>0, :-4)x-D<0. 解得x=号y=中P(g,) TyT: .fx1)<fx), a产=(g)广'+(8)广=4=， ∴fx)在[-3，-2]上单调递增， AP1=AB1,即AP=AB. “最小值为1(-3)=-号晨大值为八-2)=-号 5.解：1)在△POC中，0=平，∠CP0=子-=是， 2解：1)证明：周为AD∥BC,Q为AD的中点，BC=号AD, 所以BC=QD, 别∠P00=x-晋-经， 又围为BC∥QD,所以四边形BCDQ为平行四边形， 因为∠ADC=90°，所以平行四边形BCDQ是矩形，所以BC 由正孩定理可得OP=PC,可得PC= 60Xy BQ. /3 因为PA=PD,AQ=QD.所以PQ⊥AD. 又周为平而PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD= =506 AD,PQC平面PAD, 所以PQ⊥平面ABCD,因为BCC平面ABCD,所以PQ m. ⊥BC. 所需铺设的道路长为50+50面， 3 又周为PQ∩BQ=Q,PQ、BQC平面PQB,所以BC⊥平 (2)在△POC中，可得 面PQB. OP PC OC (2)因为PA-PD=2,AD=2. sin 0 sim(号-0） 1005,0<0<5 3 所以PQ=AQ=1, 由PQ⊥平面ABCD,M为PC中点，所以点M到平面ABCD 可释Pc=1003im9.0C=1005,im(停-0）， 3 3 的距离等于2PQ, 则铺路所需费用为f(0) 1o[30+105ing+1o03m(停-p)] 3 -56o0+100g03(on9+9osg-号n0）-500+ 3 3解：1：m(竖+a）= 3 又角a在第四象限， =50o0+10003in(停+9： 3 sin a=- oa-竖 当吾+0=受，0=吾，sin(等+0)取得最大值1， 'sin (2x-a)=sin [2x+(-a)]=sin (-a)=-sin a 则辅路所雪费用的最大值为5000+1000y区≈1074元 3 2 6.解：(1)由题意，10(0.010+0.015+0.015十a+0.025十 sin[a+(2n+1)x]+cos(受+a)】 0.005)=1,所以a=0.030: (2)sin (a)cos (a2n)tan (a) (2)该次校考中化学成續（原始成绩）的平均数为 10×(45×0.010+55×0.015+65×0.015+75×0.030+85 -sin a-sin a sin aXeos ax (tan a)-sin a 3 ×0.025+95×0.005)=71(分)： 4.解：如图建立平面直角坐标系xOy,其中A为原点，不妨设 (3)由已知等级达到C及以上所占排名等级占比为15%十 AB=2, 35%十35%=85%， 假设原始分不少于x分可以达到赋分后的C等级及以上， 易得50<x<60, 则有(0.005+0.025+0.030+0.015)×10+(60-x)× 0.015=0.85, 解得x≈53.33（分），所以原始分不少于54分才能达到赋分 A(O) 后的C等级及以上. 36 参考答案 7.解：(1)证明：连接BD,底面ABCD是菱形，∠BDC=60°， △BCD是正三角形， >0,则cosA= :点E是BC边的中点，∴DE⊥BC,:AD∥BC,DE 所以，A=吾 ⊥AD. DP⊥AD,DP∩AD=D,AD⊥平而PDE (2)由1)知，a=7,A=号.由余孩定理得a2=+c2 (2)过P在平面PDE内做PK⊥DE于K,连接BK, 由(1)知AD⊥PK.∴.PK⊥而ABCD. 2bccosA ∴.BK为BP在面ABCD内的射影..直线PB与平面AB 即7=b十e2-bc=(b-c)2+bc=4+c,所以bc=3. CD所成角的大小为∠PBK=吾 设BC边上的高为点，所以，S医=号csnA=号X3X PB=g,∠PKB=号BK=2gPK=2 =3 3 4 :△BCD为正三角形，BC=AB=2,.DE=3. 周为Sr-,即号Xh=3,解得h=3,即 4 14 在△KEB中，BK-,BE-1,kE-停DK-25 3 3 PD⊥AD,.ED⊥AD∠PDE为二面角P-AD-C的 BC边上的高为2 平面角， 11.解：(1)，函数f(x)=log:(4十1)一kx(k∈R)为偶函数， 在△PKD中，m∠PDK- f(一x)=f(x)恒成立， =√3，.∠PDE=60. 脚lg(4+1)+kr=lkg(+1)-r→2r=l6g+ 4+1 故二面角P-AD-C的大小为60 =log24=2x恒成立， .k=1. (2):Hx1∈[-1,0]，∈[0，π]总有g(x1)≥h(x:), 所以g(x)n≥h(x)aax. “[0,所以r+晋∈[晋号] 8.解：(1)依题意，各纽的频率之和为： ÷-1长s(+号)≤号所以-2)<1.所以A0) 10×0.005+10×0.005+10×a+10×0.03+10×a+10× =1. 0.015+10×0.005=1 故0.6十20a=1,解得a=0.02: 又)=6g(+)-rg+D-62=gf (2)快递公司人均每日完成快递数量的平均数是： log(2+2) 30×0.05+40×0.05+50×0.2+60×0.3+70×0.2+80× g(x)=2+2-2m(2+2)=(2+2)2-2m(2+2) 0.15+90×0.05=62, -2 ,.方案(1)日工资为50十62×3=236， 令1=2+2，x∈[-1,0]，由(1)可知1在[-1.0]上单 方案(2)日工资釣为150+(62-44)×5=240>236，故骑手 调递减， 应选择方案(2)。 9.解：(1)报名的学生共有63十42+21=126人，抽取的比例为 、 所以∈[2，] 122 126=2元 设g)=)=-2mi-21∈[2，号]，对称轴为1=m, 则高一抽取63×号-6人，高二抽取2×员-4人，高三抽 2 当m∈（一∞，2）时，当t=2时，yn=一4m十2，所以一4m 取21×号-2人 +2>1,解得m< (2)令高二抽取的四位学生为1、2、3、4，高三抽取的两位学 当m∈[2，号]时，当1=m时y=一m-2,所以-m2 生为5,6， 2>1,此不等式无解： 则抽取两人的所有的可能事件为： (1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(2 当m∈（侵+）时，喜1=号时y=-5m+号，所以 6)、(3,4)、(3.5)、(3.6)、(4,5)、(4,6)、(5.6)共15种. 满足抽取两人都是高二学生的所有的可能事件为： -6m十号≥1，此不等式无解， (1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,3)、(2,4)、(3,4)共6种， 故持取两人部是高二学生的概率P一后一号 综上所送，m的取值范周为（一©，] 12.解：(1D因为P,Q为线段BC,CD上的中点，所以QP 10.解：(1)由w7(acos B十bcos A)=ac及正弦定理可得 asin C-√7(sin Acos B+cos Asin B)=√7sin(A+B) D成，驴/D成.又驴，成方向相网， 7sin C, 所以Q=D成.所以Q=号D成=号（亦-AD)=号A店 因为C∈(0，r),则sinC>0,所以，a=v7, 因周为sin2A=2 sin Acos A=sinA,A∈(0，r),所以，sinA 2AD: 假期作业·数学 0 价于函数y=|f(x)川与常函数y=k的交点个数， 由1)可得：fx)-fx)=21-)(x-4 TIT: 令x1x∈(0,2)，且x1<r2, 则x1一x2<0,0<x1x2<4,x1x3一4<0. 所以f(x1)-f(x2)>0.即f(x1)>f(x:), 故函数f(x)在(0,2)上单调递减， 结合(1)可得：函数f(x)在(0,2)上单调递减，在 (2)国为B前-C,所以A泸=A店+前=A店+BC,图 (2,十∞)上单调递增，故f(x)≥f(2)=-1, 为AB∥CD,∠BCD=120°，所以∠ABC=60°，所以(AB. 令x+-5>0,且>0，整现得2-5x+4>0,解释> BC)=120°， 4或0<x<1, 又AB=BC=2,所以AB.BC=AB·|ACI cos(AB. 故函数f(x)的图象如图所示： BC)=2x2x(-号)=-2 z+t-5>0 又A-A+成√(A+C】 34 √+2A.成+B心， -“ 所以1+= 可得函数y=|f(x)的图象如图所示： (3)设线段PQ的中点为E,连接AE,交BD与点G,由已知 y=lf) G为△APQ的重心， =】 由重心性质可得AG-号A店， 01 又A正=A0+苑-A0+号前=A0+号(AP-AQ) 对于函数y=|f()川与常函数y=k的交，点个数， 号a+2Ad, 则有：当k<0时，交点个数为0个： 当k=0或>1时，交，点个数为2个： AP=AB+BP=AB+BC=AB+(BA+AD+DC)= 当k=1时，交，点个数为3个： 当0<k<1时，交点个数为4个。 (1-号)AB+uAi, A夜=A+D成=A市+xDC=AD+冬A弦. 第三部分 九省联考题型特训 所以G-号市+号aà-2g中2成+“市 专题一 选择题 设BG=1BD,A花=AB+BC=A店+1BD=AB+1: 题型 (AD-AB)=(1-1)AB+AD 1.C将这12个数据从小到大排序得：7.8,7.9,8.0,8.3,8.4， 8.5,8.5,8.5,8.6,8.9.9.0,9.9, 所以2+1=1-，=4十以=2， 6 3 由12×25%=3，可知这组数据的第25百分位数为 由基本不等式可得入十红≥21，所以红≤1，当且仅当入 8.0+8.3=8.15 2 -=1时等号成立，所以4的最大值为1. 由12×50%=6，可知这组数据的第50百分位数为 O C 8.5+8.5=8.5 2 由12×75%=9.可知这组数据的第75百分位数为 8,6十8.9=8.75，所以这组数据的四分位数不可能是9.9. 2 故选：C 2,C根据题意，数据按从小到大的顺序排列为2,4，n,12, 16,17. 13.解：(1)证明：任取x12∈(0，十o), 则f)-x)=(+4-5）-(+4-5) 剥板差为17-2=15，故孩组：据的中位教是15×号=9， =（x-r)(x2-4) 教据共6个，故中住数为m12=9,解得m=6, 》 因为6×40%=2.4，所以该组数据的第40百分位数是第3 令E4x∈(2，+∞)，且x<x4, 个数6， 则1-x3<0,x12>4>0,x1x-4>0, 故选：C 所以f(x1)-f(x)<0,即f()<f(x), 3.D由题意得(0.005十0.03十a十0.015)×10=1，解得4 故函数f(x在(2，十∞)上单调递增. 0.05, (2)关于x的方程|f(x)=k(k∈R)的实数解的个数，等 因为0.05+0.3=0.35,0.05+0.3+0.5=0.85，则0.35 38