假期作业(2)复数-【快乐假期每一天】2024-2025学年高一数学暑假作业

第一部分假期作业 5.(2024·浙江高一校联考)如 (2)若测得a=60°，=30°，0=45°，6=75°，求缆 图所示，甲乙两人站在同一 车A,B之间的距离. 水平面上，与缆车A,B在同 一铅垂平面内且相距50米. C(甲)D乙) 假设甲、乙两人的视线处于同一水平线且缆车处 于静止状态，甲处观察缆车A的仰角为α，乙处 观察缆车A的仰角为B,甲处观察缆车B的仰角 为0，乙处观察缆车B的仰角为6. (1)求缆车A相对甲乙所在水平面的高度；（结 果用a,B表示) 假期作业（二） 复数 中中考点分折 必会知识\ 典 例剖析 知识点一复数的概念 1.复数的概念 典例@ (2024·湖北襄阳模拟)设z∈C,则在复 我们把形如a十bi,a,b∈R的数叫做复数，其中i 平面内3≤z≤5所表示的区域的面积是() 叫做虚数单位，满足2=一1.全体复数所构成的 A.5π B.9π 集合C={a十bia,b∈R}叫做复数集. 复数的表示：复数通常用字母之表示，即z=Q十 C.16π D.25元 bi,a,b∈R,其中的a与b分别叫做复数x的实部 【解题思路】在复平面内作出满足3≤|z|≤5 与虚部 的复数之对应的点的轨迹，可知所求区域为圆 2.复数相等 环，确定两圆的半径，结合圆的面积公式可求得 在复数集C={a十bia,b∈R}中任取两个数a十 bi,c+di,(a,b,c,d∈R),我们规定a+bi=c+ 结果。 diga=c 【解析】满足条件|=3的复数之在复平面内对 "b=d 应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为3的圆， 3i的幂运算的周期性 满足条件|z|=5的复数 y n+1=i:in+2=-1;i4n+3=-i;in=1(n∈N) 知识点二共轭复数的性质 x在复平面内对应的点 设z=a十bi,z=a-bi(a,b∈R)1,22,2g, 的轨迹是以原点为圆心， zn∈C 半径为5的圆， ①(z)=x;②x=z台x为实数；③z=一x且z≠0 则在复平面内3≤|z≤5 台x为纯虚数：④z=1曰1z=1:⑤x+之=2a,之 所表示的区域为圆环，如 -z=2bi,2·z=a2+b2 图中阴影部分区城所示： 假期作业·数学 所以，在复平面内3≤z≤5所表示的区域的面积 3.(2024·高一课时练习)任何一个复数x=a十bi 是π×(52-32)=16元.故选：C. (其中a,b∈R,i为虚数单位)都可以表示成：之= 【答案】C r(cos0十isin)的形式，通常称之为复数z的三 角形式.法国数学家棣莫弗发现：z”=[r(cos0+ 题 型练习八 isin)]=r"(cos ne-+isin ne)(n∈N+),我们称 题型一复数的分类 这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说 (2024·安徽合肥校考)若复数x=a2-4十(a 法中正确的个数是 2)i为纯虚数，则实数a的值为 ( (1)川221=|z2 A.2 B.2或-2 (2)当r=1,0=受时，23=1 C.-2 D.-4 题型二虚数单位讠的幂运算的周期性 8当=10=音时，-合 (2024·天津和平校考)已知之=-1 ,则1+ √2 (④)当=1，日=平时，若n为偶数，则复数2为 z50+z100= ( 纯虚数 A.3 B.1 A.1 B.2 C.2+i D.i C.3 D.4 题型三三角形式下的复数的乘、除运算 4.(2024·全国高一专题练习)棣莫弗公式(cosx (2024·全国高一专题练习)在复平面内，复数z= 十isin x)n=coS nx十isin nx(其中i为虚数单位) a十i(a,b∈R)对应向量为OZ(O为坐标原点)， 是由法国数学家棣莫弗(1667~1754年)发现的， 设|OZ=r,以射线Ox为始边，OZ为终边逆时 根据棣莫弗公式可知，复数(cas吾+血吾)》2@ 6 针旋转所得的角为0，则z=r(cos0+isin),法 在复平面内所对应的点位于 () 国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：1=n(cos0 A.第一象限 B.第二象限 +isin 6),z2=r2 (cos 02 +isin 02),z12= C.第三象限 D.第四象限 nr2[cos(0+02)+isin(0+2)],由棣莫弗定 5.已知i为虚数单位，若1=r1(cos01十isin0), 理导出了复数乘方公式：”=[r(cos0+isin)]"= z2=r2 (cos 02 +isin 2),,=rn (cos en +isin n), r"(cosn0+isin n0)(n∈N"),则(-1+√5i)1o= 则z2…zn=rnr2…rn[cos(0十02十…+0n)十 ( isin(0十02十…十0n)].特别地，如果1=z2= A.1024-1024√3i B.-1024+1024√3i …=zn=r(cos0+isin),那么[r(cos0+isin)]n= C.512-512√3i D.-512+5123i r”(cos ne十isin0),这就是法国数学家棣莫佛 (1667~1754年)创立的棣莫佛定理.根据上述 能力提升) 公式，可判断下列命题正确的是 ( 1.(2024·浙江杭州高一校考)若复数x=3一2i,则 A若=6os吾十n吾，则=-名+ x的实部与虚部的和为 A.-1 B.1 B,若x=cos号+isin号，则：5=1+i C.5 D.-5 2.(2024·天津-模)复数2022+2023+204 C.若1=2(cos7径+isin7）,=3(cos登+ 1-i sin）,则12=-6+6i A-- D.若x1=3(cos是-isin8)=4(cos至十 c D+ isin),则1x2=6+6i假期作业·数学 所以AD=2h=50w3. 4.C 在△BCD中，∠BDC=105°，∠BCD=45,则∠CBD=30°， 由球英条公式知.(ms吾+in吾)=os2023x+ 由正张龙理得90一D=50。 BD isin 2023x=cos(337x+吾）+isin(37x+看)=cos(x 6 在△ABD中，∠BDA=180-75°-30°，c0s75°=co5(45+ 30)=6-2 ++m(+)=-。 4 :复数(cos吾十isin云)在复平面内所对应的点的坐 由余弦定理，得AB2=2500X3十2500×2-2X50w3×50、2 ×cos75°=2500(2+/3)， 标为(-受-）：位于第三象限 AB=50B+1=25(W6+2(来). 故选：C V2 5AA若=os晋+in，=s+im名=一号 假期作业（二）复数 题型练习 十停所以孩选项运： 题型一 C因为复数=a2-4十(a一2)i为纯虚数，则有 B若x=c0s吾+isin晋，则。=cosx十isin--1,所以该 d-2≠0，解得a=-2,所以实数a的值为-2.故选：C 1a2-4=0 选项错误： C若=2(eos登+isin登）)=3(eos登+in),则 题型二 D由题意得2=(-1)”=i=一1，=1. 12=6(c0s元十isinπ)=一6，所以该选项错误： n=3(eos登+im登)=4(eos子+n子)，则 故1+x0+m=1十之25十2x0=1十+=1+i-1=i, 故选：D 1:=12(cos号x+in是x)=6+6所以接选项错误。 题型三 故选：A D由题意，得当=-1十i时，r=2.0=。 假期作业（三）立体几何初步 a(-1+3m”-[2(o等+im等)] 题型练习 题型一 =2(@s2g+in29) D对于A项，如图1，用平而ACD:栽长方体，得到的栽面 是三角形，故A项正确： 2 sn2g=m(x-音）=m音-号， 2(s警+m警)=2(-是+) =-512+512√/5i, 故选：D 能力提升 A 图1 1.B由=3-2i知实部为3，虚部为一2，故实部与虚部的和 对于B项，如图2，用平面PAB截圆 为1.故选：B. 雏，得到的戴面是三角形，故B项 2.C因为P=-1,2■-i,'=1, 所以尚周将位可生中=高 正确： 1-i 1一i 对于C项，三校雏各个面即为三角 形：除三棱锥外，过枚维底面不相邻 2 两顶点和棱锥顶，点的截而为三角形， 故逃选：C 故C项正确： 3.B对于(1)，因为：=r(cos0+isin),所以2=r2(cos20+ 对于D项，圆台的截面不可能为三 图2 isin 20). 角形，故D项错误。 所以2=r2,2=r2,所以1x2|=:,所以(1)正确， 故选：D, 题型二 对于(2)，当r=1,.0=受时=0s号+isin号，剥t=0sm D对于A,若m∥a,a∥B,则m∥月或mCB,故A不正确： 十isin=一1，所以(2)错误， 对于B,若m⊥a,a⊥B,则m∥B或mCB,故B不正确： 对于C,若m∥n,t∥a,则m∥a或m二a,故C不正确： 2 对于D,若m⊥a,a∥3，则m上B,故D正境. 则=号-受所以(3)正项， 故选：D, 题型三 对于(4)，当r=1,0=至时=c0s至+iin至，期当n=4 B如图，设AC,BD交于点E,BE=x,DE=PE=6-x, 要使三棱锥P一ABC体积最大，则PE⊥平面ABC,其体 时，=cos开十isin元=一1，所以(4)错误， 积为： 所以正确的有2个， 故逃：B 专sm·PE-言AC.BE.PE-=96-=9 6