精品解析：广东省清远市英德市2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题

2024年第二学期初中期中学业水平质量监测 七年级数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 刻蚀机是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，中国自主研发的5纳米刻蚀机已获成功，5纳米就是0.000000005米．数据0.000000005用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 故选：B． 2. 某市天气预报如下图所示，下小雨的可能性是，则“下小雨”这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定性事件 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件，在一定条件下，可能发生也有可能不会发生的事件叫做随机事件，在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件，必然事件和不可能事件统称为确定性事件，据此求解即可． 【详解】解：“下小雨”这一事件是随机事件， 故选：C． 3. 二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在冬季的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，根据二十四个节气中，立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒，共六个节气在冬季，计算即可得解，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：∵二十四个节气中，立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒，共六个节气在冬季， ∴从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在冬季的概率为， 故选：A． 4. 如图，直线a，b与直线c相交，一定与相等的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，根据对顶角相等可得答案. 【详解】解：由题意可得：， 故选：A 5. 如图，课本上用直尺和三角尺画平行线的方法，其依据是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 同位角相等，两直线平行 C. 两直线平行，内错角相等 D. 内错角相等，两直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形可判断与为同位角．且，据此可求得答案． 【详解】解：如图所示，与为同位角． 由作法可得 ， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行），牢记平行线的判定定理是解题的关键． 6. 如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点，是解题的关键． 根据得到，再由平角即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 7. 下列运算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方进行计算，逐一判断即可． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，故D符合题意； 故选：D 8. 掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上次，则的值（ ） A. 一定是 B. 一定不是 C. 随着的增大，可能是 D. 随着的增大，稳定在附近 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系．解题的关键是理解随机事件是都有可能发生的事件． 根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可． 【详解】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性． 故选：D． 9. 如图将木条a，b与c钉在一起，，要使木条a与b平行，木条a顺时针旋转了35°，∠2是（ ） A. 25° B. 35° C. 40° D. 50° 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：如图， 根据题意得，∠1=75°，∠AOB=35°， ∴∠AOC=∠1-∠AOB=40°， 当∠2=∠AOB时，ab， ∴∠2=40°， 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 10. 已知，若a，b都是整数，则的值不可能是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的乘法法则，得到，，再根据和为整数，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 则，， ∵和均为整数， ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上：或， 故选：D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据单项式乘多项式的法则计算即可． 本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知与互为余角，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了余角和补角，根据互余的两个角的和是计算即可． 【详解】解：∵与互为余角， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，已知，当________时，． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了内错角相等，两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据 “内错角相等，两直线平行”进行求解即可． 【详解】解：∵只有当时，， 又∵， ∴当时，． 故答案为：． 14. 袋里有红、绿、黄三种颜色球共个，任意摸出一个球，摸到一个绿球的概率是，则袋子里绿球有 _____个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，根据个球中摸到绿球概率是，可知个球中绿球占总数的，从而可知袋子里绿球有个． 【详解】解：任意摸出一个球，摸到一个绿球的概率是， 袋子里绿球有（个）． 故答案为：． 15. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握，进行解答，即可． 【详解】解：． 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据负整数指数幂，有理数乘方，零指数幂运算法则进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，直线DE经过点A，DE//BC，∠B=44°，∠C=57°． （1）∠DAB等于多少度？为什么？ （2）∠EAC等于多少度？为什么？ （3）∠BAC等于多少度？ 【答案】（1）∠DAB =44°，见解析；（2）∠EAC=57°，见解析；（3）∠BAC=79°． 【解析】 【分析】（1）由“两直线平行，内错角相等”解答； （2）由“两直线平行，内错角相等”解答； （3）根据平角的性质解答． 【详解】解：（1）∠DAB=44°． 理由：∵DE∥BC， ∴∠DAB=∠B=44°（两直线平行，内错角相等）； （2）∠EAC=57°， 理由：∵DE∥BC， ∴∠EAC=∠C=57°（两直线平行，内错角相等）； （3）∠BAC=180°-∠B-∠C=79°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平角的性质．注意：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 16 14 25 20 12 13 （1）计算“点数1朝上”的频率和“点数6朝上”的频率； （2）小亮说：“若投掷1000次，则出现点数4朝上的次数正好是200次”，小亮的说法_________（填“正确”或“不正确”）； （3）小明将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数不小于4的概率． 【答案】（1）“点数1朝上”的频率0.16；“点数6朝上”的频率0.13 （2）不正确 （3） 【解析】 【分析】（1）由共做了100次试验，“1点朝上”和“6点朝上”的次数分别为16，13，即可求得“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率． （2）由一次试验中的频率不能等于概率，可得这位同学的说法不正确； （3）利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：“1点朝上”的频率为：； “6点朝上”的频率为； 小问2详解】 解：小亮的判断依据是：（次），此依据是错误的； 因为只有当试验的次数足够大时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近； 所以小亮的判断是错误的． 故答案为：不正确； 【小问3详解】 解：任意投掷一枚骰子，一共有6种等可能结果，其中不小于4一共有3种情况， ∴． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，概率公式，解题的关键是掌握试验中的概率等于所求情况数与总情况数之比；实际概率是经过多次试验后得到的一个接近值． 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算和化简求值，熟练掌握乘法公式是解题关键． 先利用平方差公式、单项式乘多项式进行化简，再把，代入计算即可． 详解】解：原式 ， 将，代入，得：原式． 21. 作图和说理 （1）如图，在公路的两侧各有一所学校，一辆拖拉机沿着（从到）方向行驶．请在公路上作一点，使得拖拉机行驶到该点时在学校听到的拖拉机噪声最大；在公路上作一点，使得拖拉机行驶到该点时在学校听到的拖拉机噪声最大．你的依据是________： （2）如图，已知． ①利用无刻度的直尺和圆规，过点作的平行线（不写作法保留作图痕迹）． ②这样作出的两条直线平行的理由是：________． 【答案】（1）作图见解析，垂线段最短 （2）①作图见解析；②同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】（）根据垂线段最短，作图即可； （）①在直线的右侧作，直线即为所求；②根据同位角相等，两直线平行，即可得出结论； 本题考查了垂线段最短，利用尺规作一个角等于已知角，平行线的判定，掌握基本作图方法是解题的关键 【小问1详解】 解：如图，点即为所求，理由是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短； 【小问2详解】 解：①如图所示，直线即为所求； ②这样作出的两条直线平行的理由是：同位角相等，两直线平行， 故答案为：同位角相等，两直线平行． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 问题解决 问题 三角形内角和为什么等于 问题提出 如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想；然而实验会存在误差，不符合数学的严谨性．是否可以通过逻辑推理来说明三角形内角和等于呢？ 思路启迪 从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以“移动”，组成一个平角呢？ 思考·尝试 请过三角形的顶点A添加辅助线，使角“移动”到合适位置，便于说明三角形内角等于，要求如下： 1．用两种不同方法对图2、图3添加辅助线； 2．用简短、专业的数学语言对添加辅助线的操作进行描述． 逻辑说理 在上述图形中，选择其中一种方法，说明三角形内角和等于的理由． 触类旁通 小华同学通过思考，发现在边上任意取一点P（不与点A重合），如图4，添加合适的辅助线，也能说明“三角形内角和定理”． （1）完成“思考·尝试”中的操作与描述； （2）写出“逻辑说理”中的说理过程； （3）写出“触类旁通”中的说理过程． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理的证明，熟练掌握利用平行线的性质证明三角形的内角和定理是解答的关键． “逻辑论证”： 方法一：过点A作，利用平行线的性质得到，即可求解． 方法二：过点A作，利用平行线的性质得到，，再利用平角定义和等量代换可得结论； “触类旁通”：过点作交于点，过点作交于点，由两直线平行，同位角相等，内错角相等易证． 【小问1详解】 1．解： 2．图2：延长至点，过作． 图3：过点作． 【小问2详解】 选择图2，证明过程如下： ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即内角和为； 选择图3，证明过程如下： ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即内角和为； 【小问3详解】 证明：过点作交于点，过点作交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴ ∵， ∴ 即内角和为． 23. 如图，型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长和宽分别为，的长方形． （1）选取1张型卡片，2张型卡片，1张型卡片，请在下面图①的方框中画出拼得的正方形示意图（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分），并完成填空． 你画的正方形的面积既可以表示为________，又可以表示为________，所以可得等式________． （2）请利用型，型，型若干张拼出一个面积为的长方形，并在图②的方框中画出示意图．研究拼图发现等式________． （3）选取1张型卡片，3张型卡片按图③的方式不重叠地放在长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，则当与满足________时，为定值________． 【答案】（1）图见解析，，， （2）图见解析， （3）， 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式． （1）先画出正方形，再用两种方法表示所画正方形的面积，即可得出等式； （2）先根据题意画出方长形，再用两种方法表示出长方形的面积，即可得出等式； （3）设长为x，先表示出，即可得，再根据为定值，得，即可解决问题． 【小问1详解】 解：所画正方形如图所示： 正方形的面积既可以表示为，又可以表示为， 所以可得等式， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：利用型，型，型若干张拼出一个面积为的长方形，如图所示： 研究拼图发现等式， 故答案为：； 【小问3详解】 解：设长为x， ∵，， ∴， 由题意得，若S为定值，则S将不随x的变化而变化， 可知当时，即时，为定值， 故答案为：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年第二学期初中期中学业水平质量监测 七年级数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 刻蚀机是芯片制造和微观加工最核心设备之一，中国自主研发的5纳米刻蚀机已获成功，5纳米就是0.000000005米．数据0.000000005用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 2. 某市天气预报如下图所示，下小雨的可能性是，则“下小雨”这一事件是（ ） A 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定性事件 3. 二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在冬季的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线a，b与直线c相交，一定与相等的角是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，课本上用直尺和三角尺画平行线的方法，其依据是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 同位角相等，两直线平行 C. 两直线平行，内错角相等 D. 内错角相等，两直线平行 6. 如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 下列运算正确的是（    ） A. B. C. D. 8. 掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上次，则的值（ ） A. 一定是 B. 一定不是 C. 随着的增大，可能是 D. 随着的增大，稳定在附近 9. 如图将木条a，b与c钉在一起，，要使木条a与b平行，木条a顺时针旋转了35°，∠2是（ ） A. 25° B. 35° C. 40° D. 50° 10. 已知，若a，b都是整数，则的值不可能是（ ） A. 1 B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：______． 12. 已知与互为余角，若，则________． 13. 如图，已知，当________时，． 14. 袋里有红、绿、黄三种颜色的球共个，任意摸出一个球，摸到一个绿球的概率是，则袋子里绿球有 _____个． 15. 计算______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 计算：． 18. 如图，直线DE经过点A，DE//BC，∠B=44°，∠C=57°． （1）∠DAB等于多少度？为什么？ （2）∠EAC等于多少度？为什么？ （3）∠BAC等于多少度？ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下： 朝上点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 16 14 25 20 12 13 （1）计算“点数1朝上”的频率和“点数6朝上”的频率； （2）小亮说：“若投掷1000次，则出现点数4朝上的次数正好是200次”，小亮的说法_________（填“正确”或“不正确”）； （3）小明将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数不小于4的概率． 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 作图和说理 （1）如图，在公路的两侧各有一所学校，一辆拖拉机沿着（从到）方向行驶．请在公路上作一点，使得拖拉机行驶到该点时在学校听到的拖拉机噪声最大；在公路上作一点，使得拖拉机行驶到该点时在学校听到的拖拉机噪声最大．你的依据是________： （2）如图，已知． ①利用无刻度的直尺和圆规，过点作的平行线（不写作法保留作图痕迹）． ②这样作出的两条直线平行的理由是：________． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 问题解决 问题 三角形内角和为什么等于 问题提出 如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想；然而实验会存在误差，不符合数学的严谨性．是否可以通过逻辑推理来说明三角形内角和等于呢？ 思路启迪 从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以“移动”，组成一个平角呢？ 思考·尝试 请过三角形的顶点A添加辅助线，使角“移动”到合适位置，便于说明三角形内角等于，要求如下： 1．用两种不同的方法对图2、图3添加辅助线； 2．用简短、专业的数学语言对添加辅助线的操作进行描述． 逻辑说理 在上述图形中，选择其中一种方法，说明三角形内角和等于的理由． 触类旁通 小华同学通过思考，发现在边上任意取一点P（不与点A重合），如图4，添加合适的辅助线，也能说明“三角形内角和定理”． （1）完成“思考·尝试”中的操作与描述； （2）写出“逻辑说理”中的说理过程； （3）写出“触类旁通”中的说理过程． 23. 如图，型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长和宽分别为，的长方形． （1）选取1张型卡片，2张型卡片，1张型卡片，请在下面图①的方框中画出拼得的正方形示意图（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分），并完成填空． 你画正方形的面积既可以表示为________，又可以表示为________，所以可得等式________． （2）请利用型，型，型若干张拼出一个面积为的长方形，并在图②的方框中画出示意图．研究拼图发现等式________． （3）选取1张型卡片，3张型卡片按图③的方式不重叠地放在长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，则当与满足________时，为定值________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$