18.2.2 菱形 同步练习 2024-2025学年人教版八年级数学下册

18.2.2 菱形 第1课时 菱形的性质 自主预习 1.有一组邻边 的平行四边形叫做菱形.如图18-2-2--1--1，四边形ABCD是平行四边形，补充一个条件使其成为菱形，你补充的条件是 (只需填一个即可). 2.菱形的四条边都 .如图18-2-2--1-2所示,菱形 ABCD的周长为24,∠ABC=60°,则AC= . 3.菱形的两条 互相垂直，并且每一条对角线 .菱形ABCD的对角线 AC,BD相交于点O,AC=10,BD=24,则菱形 ABCD的周长为 4.菱形的面积=底×高 = 乘积的一半.在菱形ABCD中，AD=10,AC=12,则菱形 ABCD的面积是 . 基础优练 知识点1 菱形的性质 1.如图18-2-2-1-3,对菱形ABCD的叙述正确的是【点拨1】 ( ) A. AC=BD B.∠OAB=∠OBA C. AC⊥BD D.有4条对称轴 2.如图18--2--2--1--4,菱形ABCD中,∠D=150°,则∠1= ( ) A.30° B.25° C.20° D.15° 3.如图18--2--2--1--5,已知菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,E为BC 的中点,若OE=3,则菱形的周长为 . 知识点2 菱形的面积 4.在菱形 ABCD中,∠ABC=60°,若AB=3,则菱形ABCD 的面积是【点拨2】 ( ) 5.已知菱形的周长为24，一条对角线的长为8，则该菱形的面积是 ( ) A.40 D.8 6.菱形ABCD中,∠A=60°,其周长为24 cm,则菱形的面积为 cm².【点拨3】 名师点拨 点拨1菱形的性质 菱形具有平行四边形的所有性质，除此之外它也具有自己特殊的性质： (1)菱形的四条边都相等； (2)菱形的两条对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角； (3)菱形是轴对称图形，有两条对称轴，即每条对角线所在的直线. 点拨2 菱形的面积计算有如下方法： (1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积； (2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)； (3)两条对角线长乘积的一半. 点拨❸ 菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形，当菱形中有一个角是 60°时，菱形被分为两个等边三角形. 点拨4 在解决有关菱形问题时，要熟练掌握菱形的性质，联系其他知识、结合图形，从而解决问题. 整合集训合 7.如图18-2-2-1-6,在菱形ABCD中,AB=5,∠ABC=2∠A,则对角线 BD等于 ( ) A.5 B.10 C.15 D.20 8.如图18-2-2-1-7,在菱形ABCD中,AB=2,∠B=60°,E,F 分别是边 BC,CD 的中点,则△AEF 的周长为 ( ) A.2 C.4 D.3 9.如图18-2-2-1-8,在菱形ABCD中,∠A=60°,AD=8,F 是 AB 的中点.过点 F 作FE⊥AD,垂 足 为 E. 将△AEF 沿点 A 到点 B 的方向平移,得到△A'E'F'.设 P,P'分别是EF,E'F'的中点,当点 A'与点 B 重合时,四边形 PP'CD 的面积为【点拨4】 ( ) A.28 10.四边形ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=6,对角线 AC与BD 相交于点O,点 E 在AC 上,若 则CE的长为 . 11.如图18-2-2-1-9所示,菱形 ABCD 的对角线的长分别为3和6，P是对角线AC 上任一点(点 P 不与点 A,C 重合),且PE∥BC交AB 于E,PF∥CD交AD 于F，则阴影部分的面积是 . 12如图18-2-2--1--10,在菱形ABCD中,点 E,F 分别为AD,CD边上的点,DE=DF,求证:∠1=∠2. 核心素养题——直观想象 13.在菱形ABCD中,P是直线BD 上一点,点 E在射线AD上,连接 PC. (1)如图18-2-2--1-11①,当∠BAD=90°时,连接 PE,交 CD于点 F,若∠CPE=90°,求证:PC=PE; (2)如图18-2-2-1-11②,当∠BAD=60°时,连接 PE,PC交AE 于点 F,若∠CPE=60°,设AC=CE=4,求 BP 的长. 第2课时 菱形的判定 学科网（北京）股份有限公司 自主预习 1.有一组邻边 的 是菱形. 2.对角线 的平行四边形是菱形.如图18--2--2-2--1，四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，若要添加一个适当的条件使它成为菱形，则这个条件可以是 (只填一个即可). 3.四条边 的四边形是菱形.已知四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB,BC,CD,DA的中点,当对角线 AC,BD满足条件 时,四边形 EFGH 是菱形. 基础优练 知识点 菱形的判定 1.下列条件中，能判断四边形是菱形的是【点拨1】 ( ) A.对角线相等的平行四边形 B.对角线互相垂直且相等的四边形 C.对角线互相平分且垂直的四边形 D.对角线互相垂直的四边形 2.已知在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC与BD 相交于点O,AO=CO，添加下列一个条件后，就能判定这个四边形是菱形的是 ( ) A. BO=DO B. AB=BC C. AB=CD D. AB∥CD 3.(2018·广西河池中考)如图18-2-2--2-2,要判定□ABCD是菱形,需要添加的条件是 ( ) A. AB=AC B. BC=BD C. AC=BD D. AB=BC 4.如图18-2-2-2-3,已知AD是△ABC的角平分线,点E,F分别是边AB,AC的中点，连接DE，DF，要使四边形AEDF为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是 .【点拨2】 5.如图18-2-2-2-4,在△ABC中,AB=AC,D,E,F分别为AB,BC,AC的中点,则下列结论:①△ADF≌△FEC,②四边形ADEF 为菱形, .其中正确的结论是 .(填写所有正确结论的序号) 名师点拨 点拨1 菱形的判定方法 (1)方法一(定义法)：一组邻边相等的平行四边形是菱形. (2)方法二：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. (3)方法三：四边都相等的四边形是菱形. 注意：一组对角线平分一组对角的四边形不一定是菱形，也可能是筝形(有一条对角线所在直线为对称轴的四边形). 点拨2 判定一个四边形是菱形时，一定要注意判定前提，即在什么条件下判定.若在四边形的条件下判定，则可证其四边相等或对角线互相垂直平分，也可先判定其是平行四边形，再证一组邻边相等或对角线互相垂直；若在平行四边形的条件下判定，则证其一组邻边相等或对角线互相垂直即可. 点拨3 依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形.不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形.菱形的中点四边形是矩形(对角线互相垂直的四边形的中点四边形一定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形一定为菱形). 学科网（北京）股份有限公司 整合集训 年 6.如图18--2--2--2--5,在▱ABCD中,对角线AC，BD 相交于点O，添加下列条件不能判定□ABCD是菱形的是 ( ) A. AC⊥BD B. AB=BC C. AC=BD D.∠1=∠2 7.如图18-2-2-2-6,四边形 ABCD中,对角线相交于点O,E,F,G,H 分别是AD,BD,BC,AC的中点，要使四边形 EFGH 是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是【点拨3】 ( ) A. AB=AD B. AC=BD C. AD=BC D. AB=CD 8.四个点A,B,C,D在同一平面内,从①AB∥CD;②AB=CD;③AC⊥BD;④AD=BC;⑤AD∥BC，这五个条件中任选三个，能使四边形 ABCD是菱形的选法有 ( ) A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 9.如图18-2-2-2-7,在四边形ABCD中,BD平分∠ABC,E为AB 的中点,DE∥CB,∠ACB=90°，下面的结论中，正确的有 .(填序号) ①△BDE为等腰三角形,②∠AED=∠AOD, ③∠CAB=30°时,四边形 BCDE为菱形. 10.如图18-2-2-2-8,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D为斜边AB 上一点,以CD,CB为边作平行四边形 CDEB,当 AD= 时，平行四边形 CDEB为菱形. 11.如图18-2-2-2-9,在□ABCD中，作对角线 BD的垂直平分线EF，垂足为O,分别交AD,BC于E,F,连接BE,DF,求证:四边形 BFDE 是菱形. 核心素养题——直观想象 12.如图18-2-2-2-10,在 Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60 cm,∠A=60°,点 D 从点C 出发沿CA 方向以4 cm/s的速度向点 A 匀速运动，同时点 E从点A 出发沿AB 方向以2cm/s的速度向点 B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点 D，E运动的时间是t s(0<t≤15).过点 D 作 DF⊥BC于点 F,连接DE,EF. (1)四边形 AEFD 能够成为菱形吗?如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (2)当t为何值时，△DEF 为直角三角形?请说明理由. 18.2.2 菱形 第1课时菱形的性质 自主预习 1.相等 AB=BC'(答案不唯一) 2.相等 6 3.对角线 平分一组对角 52 4.对角线长 96 基础优练 1.( · 2.1) 3.24 4.^ 5.( · 6.18 整合集训 7. A 8. B 9. A 10.1 或2 1 1. 12.证明:∵四边形ABCD是菱形.∴AD=('1). 在△ADF 和△CDE中 ∴△ADF≌△CDE(SAS). ∴∠1=∠2. 13.(1)证明:如答图18-2-2-1-1①,连接PA. 在菱形ABCD中,AD=DC,∠ADP=∠CDP. 在△ADP和△CDP中 ∴△ADP≌△CDP(SAS). ∴PA=PC,∠DAP=∠DCP. ∵/CPF-∠EDF-90°,∠PFC-∠EFD. ∴∠PCF=∠E.∴∠PAD=∠E. ∴PA=PE.∴PC=PE. (2)解:①如答图18-2-2-1-1②,设AC交BD 于().连接AP.由(1)可知PC=PE=PA.∵∠CPE=60°.∴△PCE为等边三角形.∴PC-PE=CE. 又AC=CE.∴PC=PE=CE=AC=1. ∵四边形ABCD是菱形.∴AC⊥BD. ②利用①中方法可知 综上所述，满足条件的BP的值为 或 第2课时菱形的判定 自主预习 1.相等 平行四边形 2.互相垂直 AC⊥BD(答案不唯一) 3.相等 AC-BD 基础优练 1.( 2.1 3 3.1) 1. AB=AC,∠B=∠C或AE=AF(答案不唯一) 5.①②③ 整合集训 6. C 7. D 8. D 9.①③ 10. 11.证明:∵在▱ABCD中,O为对角线BD的中点,∴BO=DO.AD∥BC.∴∠EDB=∠FBO. 在△EOD和△FOB中 ∴△DOE≌△BOF(ASA).∴OE=OF. 乂∵OB=()|).∴四边形EBF1)是平行四边形. ∵EF⊥BD,∴四边形 BFDE 为菱形. 12.解:(1)能.理由如下:在△DFC中,∠DFC=90°,∠C=90°-∠A=30°,1X'=41,∴DF=2t.又∵AE=2t,∴AE=DF.∵AB⊥BC,DF⊥BC.∴AE∥DF.∴四边形AEFD为平行四边形. 当AE=AD时,四边形AEFD为菱形,即60-1t=2t,解得t=10.∴当t=10s时,四边形AEFD为菱形. (2)①当∠DEF=90°时,由(1)知四边形AEFD 为平行四边形.∴EF∥AD. ∴∠ADE=∠DEF=90°.∵∠A = 60°. 又AD=60-41.∴60-11=1.解得t=12: ②当∠EDF=90°时,四边形 EBFD为矩形,在 Rt△AED中.∠A=60°,则∠ADE=30°.∴AD=2AE,即 60-11=41.解得 ③若∠EFD=90°.则E. F与B 重合. D与A 重合,此种情况不存在. 综上所述.当 或12s时.△DEF 为直角三角形. $$