18.2.3正方形同步练习 2024-2025学年人教版八年级数学下册

18.2.3正方形 第 1课时 正方形的性质 自主预习 1.正方形的四个角都是 ,四条边 .如图18-2-3-1-1,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=3,四边形 ACEF 是正方形,则 EF的长为 . 2.正方形的对角线 且 .已知正方形 ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC=16cm,则BD= cm. 3.已知正方形的对角线长为 ，则它的面积为 . 基础优练 知识点 正方形的性质 1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是【点拨1】 ( ) A.四条边相等 B.对角线互相垂直且平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线相等 2.如图18--2--3--1-2,在正方形ABCD中,A,B,C三点的坐标分别是(-1,2)、(-1,0)、(-3,0),将正方形ABCD向右平移3个单位，则平移后点 D 的坐标是 ( ) A.(-6,2) B.(0,2) C.(2,0) D.(2,2) 3.如图18-2-3--1-3,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且BE=CF.连接AE,BF,AE与BF交于点G.下列结论错误的是 ( ) A. AE=BF B.∠DAE=∠BFC C.∠AEB+∠BFC=90° D. AE⊥BF 4.如图18-2-3--1-4,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AO=3,则AB的长为 .【点拨2】 5.如图18-2-3-1-5,已知 P 是正方形ABCD 的对角线BD 上的一点,且BP=BC,则∠ACP= . 6.如图18-2-3-1-6,已知正方形ABCD的对角线交于点O,过O点作OE⊥OF,分别交AB,BC于点E,F,若AE=4,CF=3,则EF等于 . 名师点拨。 点拨1正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有的性质. (1)边的性质：正方形的四条边都相等，对边平行，邻边垂直； (2)角的性质：正方形的四个角都是直角； (3)对角线的性质：正方形的对角线互相垂直平分且相等，并且每条对角线平分一组对角. 正方形还有自己的特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；正方形是轴对称图形，有四条对称轴. 点拨2 正方形的两条对角线分正方形成四个大等腰直角三角形和四个小等腰直角三角形，每条对角线的长度是边长的 倍，且对角线平分正方形的内角，这些在有关正方形的证明或计算中经常用到. 点拨3 因为等边△ADE与正方形ABCD 有一条公共边，所以边相等.本题分两种情况：等边△ADE 在正方形的外部或在正方形的内部. 整合集训★ 7.如图18-2-3--1-7,正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形 ECFG,且边 FG过点 D.在点 E从点A 移动到点 B 的过程中，矩形 ECFG的面积 ( ) A.先变大后变小 B.先变小后变大 C.一直变大 D.保持不变 8.如图18-2-3-1-8,正方形ABCD的边长为5,点M 是边 BC 上的点,DE⊥AM 于点 E,BF∥DE,交AM于点 F.若点 E 是AF 的中点,则 DE的长为 ( ) A. B.2 C.4 D.2 9.如图18--2--3--1--9,E为边长为2 的正方形ABCD的对角线上一点,BE=BC,P为CE 上任意一点,PQ⊥BC于点Q,PR⊥BE于R,则 PQ+PR的值为 ( ) A. B. D. 10.以正方形 ABCD 的边AD 作等边△ADE,则∠BEC 的度数是 .【点拨3】 11.如图18-2-3-1--10为某城市部分街道示意图，四边形ABCD 为正方形，点 G 在对角线 BD上,GE⊥CD,GF⊥BC,AD=1500 m,小敏行走的路线为 B→A→G→E,小聪行走的路线为 B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3100m,则小聪行走的路程为 m. 12.如图18-2-3--1--11,ABCD是正方形，E是CD 边上任意一点，连接AE,作 BF⊥AE,DG⊥AE,垂足分别为 F,G.求证:BF-DG=FG. 核心素养题——直观想象 13.如图18-2-3-1-12①,正方形ABCD的对角线AC,BD 相交于点O,E 是AC 上一点,连接EB,过点 A 作 AM⊥BE,垂足为 M,AM与 BD相交于点F. (1)求证:OE=OF; (2)如图18-2-3-1-12②,若点 E在 AC 的延长线上,AM⊥BE 于点 M,AM 交 DB 的延长线于点F，其他条件不变，结论“OE=OF”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由. 第 2课时正方形的判定 学科网（北京）股份有限公司 自主预习 1.只要矩形再有一组邻边 ，这样的特殊矩形是正方形.在矩形ABCD中，对角线 AC，BD交于点O，要使矩形 ABCD 成为正方形，应添加的一个条件是 . 2.只要菱形再有一个内角为 ，这样的特殊菱形是正方形.□ABCD的对角线 AC与 BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件： ,使得▱ABCD为正方形. 基础优练 知识点 正方形的判定 1.下列判断正确的是【点拨 1】 ( ) A.有一组邻边相等的平行四边形是正方形 B.对角线相等的菱形是正方形 C.两条对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D.有一个角是直角的平行四边形是正方形 2.在四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，能判定这个四边形为正方形的是【点拨2】 ( ) A. AD∥BC,∠B=∠D B. AC=BD,AB=CD,AD=BC C. OA=OC,OB=OD,AB=BC D. OA=OB=OC=OD,AC⊥BD 3.如图18-2-3-2--1,直线m∥n,直线l与m,n分别相交于点A 和点C,以AC为对角线作四边形ABCD，使点 B和点 D 分别在直线m 和n上，则不能作出的图形是 ( ) A.平行四边形ABCD B.矩形ABCD C.菱形ABCD D.正方形 ABCD 4.已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的有 (填序号). ①当AB=BC时,它是菱形;②当AC⊥BD时,它是菱形;③当∠ABC=90°时，它是矩形；④当AC=BD时，它是正方形. 5.李燕在商场里看到一条很漂亮的丝巾，非常想买.但她拿起来看时感觉丝巾不太方.商店老板看她犹豫不决的样子，马上过来拉起一组对角，让李燕看另一组对角是否对齐(如图18--2--3--2--2所示).李燕还有些疑惑，老板又拉起另一组对角让李燕检验.李燕终于买下这块纱巾.你认为李燕买的这块丝巾一定是正方形的吗? (填“一定”或“不一定”).【点拨3】 名师点拨 点拨1 正方形判定 (1)有一组邻边相等的矩形是正方形； (2)有一个角是直角的菱形是正方形； (3)对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形. 点拨2 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形. 因为平行四边形的对角线具有互相平分的性质，所以也可以这样判定： (1)先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是正方形(对角线互相垂直的矩形)； (2)先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是正方形(对角线相等的菱形)； (3)还可以先判定它是平行四边形，再判定矩形，最后判定这个矩形是正方形；或先判定菱形，然后判定这个菱形是正方形. 点拨3 根据老板的方法，只能说明这块丝巾的两组对角分别相等，四条边都相等，也就是说丝巾的两条对角线是对称轴，这只能保证丝巾是菱形，并不能保证它是正方形.因为正方形的对称轴共有四条，除了两条对角线外，还有两条是对边中点的连线.所以只要再拉起一组对边的中点将丝巾对折，看另一组对边是否重合.若另一组对边不能重合，那么此丝巾不是正方形；若另一组对边能重合，那么此丝巾一定是正方形. 学科网（北京）股份有限公司 整合集训 6.有下列四个条件：①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD.从中选取两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形(如图18-2-3-2-3).现有下列四种选法，其中错误的是 ( ) A.②③ B.②④ C.①② D.①③ 7.如图18-2-3-2-4,在四边形 ABCD中,∠ADC=∠ABC=90°,AD=CD,DP⊥AB于 P.若四边形ABCD的面积是18,则 DP 的长是 . 8.如图18-2-3-2-5,在矩形ABCD中,M,N分别是AD,BC的中点,E,F分别是边BM,CM的中点,当AB:AD= 时,四边形 MENF是正方形. 9.已知:如图18--2--3-2-6,E是正方形ABCD的对角线BD 上的点,连接AE,CE. (1)求证:AE=CE; (2)若将△ABE沿AB 翻折后得到△ABF,当点 E在 BD的何处时，四边形AFBE是正方形?请证明你的结论. 核心素养题——逻辑推理 10.如图18--2--3-2-7,已知四边形ABCD为正方形， 点 E 为对角线AC 上一动点，连接DE,过点 E作EF⊥DE,交射线 BC于点F,以 DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG. (1)求证:矩形 DEFG是正方形; (2)探究：CE+CG的值是否为定值?若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由. 18.2.3正方形 第1课时 正方形的性质 自主预习 1.直角相等 3 2.相等 互相垂直平分 16 3.1 基础优练 1. D 2. B 3. C 1.3 5.22.5` 6.5 整合集训 7.1) 8. B 9.1) 10.30°或150° 11.4 600 12.证明:∵四边形ABCD是正方形。 ∴AB-AD./DAB-90°. ∵BF⊥AE,DG⊥AE. ∴∠AFB-∠AGD-∠ADG+∠DAG-90°. ∵∠DAG÷∠BAF=90°.∴∠ADG=∠BAF. 在△BAF 和△ADG中 ∴△BAF≌△ADG(AAS).∴BF=AG. AF-DG.∵AG-AF-FG.∴BF-AG-DG+FG. ∴BF--DG=FG. 13.(1)证明:∵四边形 ABCD是正方形.∴∠BOE=∠AOF=90°. OB=OA.又∵AM⊥BE,∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+ ∠MAE,∴∠MEA=∠AFO. 在△BOE和△AOF中. ∴△BOE≌△AOF.∴()E-OF. (2)解:OE=OF成立。证明如下:∵四边形ABCD 是正方形。 ∴∠BOE-∠AOF-90°.()B-()A.又∵AM⊥BE,∴∠F+ ∠MBF-90°,∠E+∠OBE=90°.又∵∠MBF-∠OBE.∴ ∠F=∠E.在△BOE 和△AOF中 ∴△BOE≌△AOF.∴OE=OF. 第2 课时 正方形的判定 自主预习 1.相等 AB-BC(答案不唯…) 2.90° ∠BAD=90°(答案不唯一) 基础优练 1. B 2.1) 3.1) 4.④ 5.不一定 整合集训 6. A 7.3 8.1:2 9.(1)证明:∵四边形ABCD是正方形。 ∴AB=CB.∠ABE=∠CBE=45°. 在△ABE 和△CBE中 ∴△ABE≌△CBE(SAS).∴AE=('E. (2)解：点E 在BD的中点时，四边形AFBE 是正方形，证明如 学科网（北京）股份有限公司 下:由折叠的性质得∠F=∠AEB. AF =AE. BF= BE. ∵∠BAD=90°,E是BD的中点.∴ ∵AE=CE,∴AE=BE=CE=DE=AF=BF.∴四边形AFBE是菱形.∵E是正方形ABCD 对角线的交点.∴AE⊥BD.∴∠AEB=90°.∴四边形AFBE 是正方形. 10.(1)证明:如答图18-2-3-2-1.过E作EM⊥BC于点M.过E作EN⊥CD 于点 N,∵围边形 ABCD是正方形.∴∠BCD=90°,∠ECN=45°,∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°.且NE=NC.∴四边形EMCN为正方形. ∴EM=EN.∵四边形DEFG 是矩形。 ∴∠DEF=90°.∴∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°. ∴ ∠DEN = ∠FEM. 在 △DEN 和△FEM中。 ∴△DEN≌△FEM(ASA).∴ED)-EF. ∴矩形DEFG是正方形. (2)解:(E+(G的值为定值.理由如下: ∵矩形 DEFG为正方形.∴DE=DG.∠EDC+∠CDG=90°. ∵四边形ABCD 是正方形.∴AD=DC,∠ADE-∠EDC=90°.∴∠ADE=∠CDG. 在△ADE和△CIX;中 ∴△ADE2△CDG(SAS).∴AE-(C.∴CE'(C-(E·AE- 是定值. $$