精品解析：山东省嘉祥县第一中学2024-2025学年高二下学期5月份月考数学试题.

2024—2025学年度第二学期5月份考试 高二数学试题 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若“”是“”的必要条件，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知变量x和y的统计数据如表，若由表中数据得到回归直线方程为，则时的残差为（ ） x 4 4.5 5 5.5 6 y 7 6 4 2 1 A. 0.2 B. C. 0.4 D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C. 正态分布的图象越瘦高，越大 D. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 4. 已知随机变量，设随机变量，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 在的展开式中，的幂指数是整数的各项系数之和为（ ） A. B. C. D. 7. 学校开设了游泳选修课.某教练为了解学生对游泳运动的喜好和性别是否有关，在全校学生中选取了男、女生各人进行调查，并绘制如下图所示的等高堆积条形图.则（ ） 参考公式及数据：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 A. 参与调查的女生中喜欢游泳运动的人数比不喜欢游泳运动的人数多 B. 全校学生中喜欢游泳运动的男生人数比喜欢游泳运动的女生人数多 C. 若，依据的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关 D. 若，依据的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关 8. 已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，下列结论正确的是（ ） A. 不同的站队方式共有种 B. 若甲和乙相邻，则不同的站队方式共有种 C. 若甲、乙、丙站一起，则不同的站队方式共有种 D. 甲不在两端，则不同的站队方式共有种 10. 设随机事件，，，，则（ ） A. 若与独立，且，，则 B. 若与互斥，且，，则 C. 若，则与独立 D. 若，则与互斥 11. 下列函数中，有两个零点的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 某校举行乒乓球比赛，决赛采用5局3胜制，甲、乙两名同学争夺冠亚军，如果每局比赛甲获胜的概率为，那么在甲获胜的条件下，第1局甲输的概率为_________． 13. 已知二项式，若，则______. 14. 人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化. 现假设人们经分析估计利率下调的概率为，利率不变的概率为. 根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为，则该支股票将上涨的概率为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）设全集，，. （i）求实数的值； （ii）记集合，求中元素的个数. 16. 某市为繁荣地方经济，大力实行人才引进政策，为了解政策的效果，统计了2018-2023年人才引进的数量（单位：万人），并根据统计数据绘制了如图所示的散点图（表示年份代码，年份代码1-6分别代表2018-2023年）． （1）根据散点图判断与（均为常数）哪一个适合作为关于的回归方程类型；（给出结论即可，不必说明理由） （2）根据（1）的结果及表中的数据，求出关于的回归方程，并预测该市2025年引进人才的数量； （3）从这6年中随机抽取4年，记引进人才数量超过4万人的年数为，求的分布列和数学期望． 参考数据： 5.15 1.55 17.5 20.95 3.85 其中． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：． 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若存在极大值，且极大值不大于，求实数a的取值范围. 18. 某学校组织知识竞赛，题库中试题分，两种类型，每个学生选择2题作答，第1题从，两种试题中随机选择一题作答，学生若答对第1题，则第2题选择同一种试题作答的概率为，若答错第1题，则第2题选择同一种试题作答的概率为.已知学生甲答对种试题的概率均为，答对种试题的概率均为，且每道试题答对与否相互独立. （1）求学生甲2题均选择种试题作答的概率； （2）若学生甲第1题选择种试题作答，记学生甲答对的试题数为，求的分布列与期望. 19. 已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数. （1）若在区间上不是单调函数，求的取值范围； （2）若方程有两个不等实根，求的取值范围； （3）当时，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期5月份考试 高二数学试题 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若“”是“”的必要条件，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式，由必要条件的定义即可判断的范围. 【详解】或， “或”是的必要条件，所以，即实数的最大值为. 故选：B. 2. 已知变量x和y的统计数据如表，若由表中数据得到回归直线方程为，则时的残差为（ ） x 4 4.5 5 5.5 6 y 7 6 4 2 1 A. 0.2 B. C. 0.4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得样本中心点的坐标，即可得到，得到线性回归方程，然后求得时的预测值，再由残差定义即可求解. 【详解】因为，， 则样本中心点为，代入可得， 所以回归直线方程为， 当时，， 所以时的残差为. 故选：D 3. 下列说法正确的是（ ） A. 线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C. 正态分布的图象越瘦高，越大 D. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 【答案】B 【解析】 【分析】值越大，模型的拟合效果越好可判断A；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，判断B；正态分布的图象越瘦高，越小可判断C；两个随机变量的线性相关性越强， 则相关系数的绝对值越接近于1，可判断D. 【详解】对于A：值越大，模型的拟合效果越好，故A错误； 对于B，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故B正确． 对于C，正态分布的图象越瘦高，越小，故C错误； 对于D， 两个随机变量的线性相关性越强， 则相关系数的绝对值越接近于1 ，故D错误. 故选：B． 4. 已知随机变量，设随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接由均值、方差的性质即可求解. 【详解】对于随机变量而言：它的，注意到， 所以对于随机变量而言：它的， 所以. 故选：A. 5. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，利用基本不等式，求得，得到，得到，令，得到，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由，可得， 因为，两边同除，可得，即， 又因为，可得，所以， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以， 所以， 令，其中，则，即，解得或（舍去）， 所以，即的最小值为，此时，. 故选：A. 6. 在的展开式中，的幂指数是整数的各项系数之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由二项式定理知与中的的整数次幂项之和相同，再利用赋值法求解. 【详解】设， 由二项式定理知与中的的整数次幂项之和相同，记作， 非整数次幂项之和互为相反数，相加后相互抵消. 故有. 令，则所求的系数之和为. 故选：D. 7. 学校开设了游泳选修课.某教练为了解学生对游泳运动的喜好和性别是否有关，在全校学生中选取了男、女生各人进行调查，并绘制如下图所示的等高堆积条形图.则（ ） 参考公式及数据：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 A. 参与调查的女生中喜欢游泳运动的人数比不喜欢游泳运动的人数多 B. 全校学生中喜欢游泳运动的男生人数比喜欢游泳运动的女生人数多 C. 若，依据的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关 D. 若，依据的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关 【答案】D 【解析】 【分析】根据等高堆积条形图即可判断A,B选项，计算出的值即可判断C,D选项. 【详解】对于A，由等高堆积条形图可知，参与调查的女生中喜欢游泳运动的人数比不喜欢游泳运动的人数少，故A错误； 对于B，全校学生中男生和女生人数比不确定，故不能确定全校学生中喜欢游泳运动的男生人数比喜欢游泳运动的女生人数多，故B错误； 对于C，结合等高堆积条形图可得： 性别 游泳 合计 喜欢 不喜欢 男生 0.6n 0.4n n 女生 0.4n 0.6n n 合计 n n 2n 故， 若，则， 故依据的独立性检验，不可以认为游泳运动的喜好和性别有关，故C错误； 对于D，若，则， 依据的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关，故D正确. 故选：D 8. 已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得，得到得单调性和，转化为成立，令，求得，令，求得，得到在上单调递减，进而得到在上单调递减，求得，即可求解. 【详解】由函数，可得， 当时，，此时在上单调递增， 所以在上的最小值为， 则，使得恒成立， 即，使得成立，即成立， 令，即， 因为， 令，可得， 所以在上单调递减，所以， 所以，可得在上单调递减，所以， 所以，即实数的取值范围为. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，下列结论正确的是（ ） A. 不同的站队方式共有种 B. 若甲和乙相邻，则不同的站队方式共有种 C. 若甲、乙、丙站一起，则不同的站队方式共有种 D. 甲不在两端，则不同的站队方式共有种 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据全排列数计算判断A；利用捆绑法求解判断B、 C；先排甲，再将其余四人全排列，即可判断D. 【详解】对于A，甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，不同的站队方式共有种，A正确； 对于B，甲和乙相邻的站队方式有种，B错误； 对于C，甲、乙、丙站一起的不同的站队方式有种，C正确； 对于D，甲不在两端的不同的站队方式有种，D正确. 故选：ACD 10. 设随机事件，，，，则（ ） A. 若与独立，且，，则 B. 若与互斥，且，，则 C. 若，则与独立 D. 若，则与互斥 【答案】AC 【解析】 【分析】根据相互独立事件、互斥事件的定义计算即可判断. 【详解】对于A，因为,所以 若与独立,则与也相互独立， 所以 , 所以 , 故A正确; 对于B，若A与B互斥,则全体样本空间， 所以 故 错误; 对于C，, 因为, 所以, 即 即 所以和相互独立， 所以和也相互独立，故C正确; 对于D， , 因为, 所以 当时， , 即, 此时未必互斥，故D错误. 答案为：AC. 11. 下列函数中，有两个零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，逐个分析，先对函数求导，利用导数分析函数的单调性，再结合零点存在性定理分析函数零点的个数即可. 【详解】对于A，由，得， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以，所以有且只有一个零点，所以A错误， 对于B，由，得， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以， 因为，， 所以在上有且只有一个零点，在上有且只有一个零点， 所以有两个零点，所以B正确， 对于C，由，得， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以， 因为当，， 所以在上有且只有一个零点，在上有且只有一个零点， 所以有两个零点，所以C正确， 对于D，由，得， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以， 因为，， 所以在上有且只有一个零点，在上有且只有一个零点， 所以有两个零点，所以D正确， 故选：BCD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 某校举行乒乓球比赛，决赛采用5局3胜制，甲、乙两名同学争夺冠亚军，如果每局比赛甲获胜的概率为，那么在甲获胜的条件下，第1局甲输的概率为_________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据最终比赛所进行局数进行讨论得到甲获胜的概率，和第一局甲输的概率，再根据条件概率公式即可得解. 【详解】甲获胜记为事件A，甲第一局输后获胜记为事件B， 甲获胜可以三局获胜概率为，四局获胜概率为，五局获胜概率为， 所以甲获胜概率为， 第一局甲输的概率是可以分为两种情况，最终甲四局获胜概率为，最终甲五局获胜概率为， 故第一局甲输最终甲获胜的概率， 则所求概率为. 故答案为： 13. 已知二项式，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由，利用二项式定理求解通项公式，利用，然后赋值进行求解结论. 【详解】由， 则二项式通项公式， 则，且, 解得，， 则令，则， 令，则， 故. 故答案为： 14. 人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化. 现假设人们经分析估计利率下调的概率为，利率不变的概率为. 根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为，则该支股票将上涨的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式直接计算可得结果. 【详解】记“利率下调”为事件，则“利率不变”为事件，“价格上涨”为事件， 由题意知：，，，， . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）设全集，，. （i）求实数的值； （ii）记集合，求中元素的个数. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用换元法与导数可求得集合，进而可求； （2）（i）由已知可得，所以，利用可得，可求解；（ii），由题意可得有两个实数，满足，进而可得结论. 【小问1详解】 由题意知，， 解得， 所以， 当时，， 设，则，，令，， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 可得， 所以. 【小问2详解】 （i）因为，所以，可得， 因为且， 可得， 所以，解得. （ii）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 因为，， 而， 所以由的图象可知，有且只有两个实数，满足， 可得或，解得或， 所以方程有两个解， 即中元素的个数为. 16. 某市为繁荣地方经济，大力实行人才引进政策，为了解政策的效果，统计了2018-2023年人才引进的数量（单位：万人），并根据统计数据绘制了如图所示的散点图（表示年份代码，年份代码1-6分别代表2018-2023年）． （1）根据散点图判断与（均为常数）哪一个适合作为关于的回归方程类型；（给出结论即可，不必说明理由） （2）根据（1）的结果及表中的数据，求出关于的回归方程，并预测该市2025年引进人才的数量； （3）从这6年中随机抽取4年，记引进人才数量超过4万人的年数为，求的分布列和数学期望． 参考数据： 5.15 1.55 17.5 20.95 3.85 其中． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：． 【答案】（1）选择更合适． （2），12.68万人 （3）分布列见解析，2 【解析】 【分析】（1）观察散点图结合增长速度情况即可求解； （2）两边取对数后，用最小二乘先得对应的线性回归方程； （3）的所有可能取值为1，2，3，由超几何分布概率公式先求得对应的概率，即可依次得分布列，数学期望. 【小问1详解】 根据散点图可知，选择更合适． 【小问2详解】 因为，所以两边同时取常用对数，得． 设，则，先求关于的线性回归方程． 因为， ， ， 所以． 把代入上式，得， 故预测该市2025年引进人才的数量为12.68万人． 【小问3详解】 这6年中，引进人才的数量超过4万人的年数有3个，所以的所有可能取值为1，2，3． ， 所以的分布列为 1 2 3 所以． 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若存在极大值，且极大值不大于，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线的斜率，由此可得结果. （2）讨论的范围，得到时，的极大值为，通过构造函数分析单调性可得结果. 【小问1详解】 当时，，故， ∴， ∴曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由题意得，，故函数的定义域为， ∵，∴， 当时，，，在上为增函数，无极值. 当时，由得， 由得，，由得，， ∴在上为增函数，在上为减函数， ∴当时，有极大值，极大值为， ∴，即， 令，则， ∵，∴， ∴在上为增函数， ∵， ∴要使，则， ∴实数a的取值范围是. 18. 某学校组织知识竞赛，题库中试题分，两种类型，每个学生选择2题作答，第1题从，两种试题中随机选择一题作答，学生若答对第1题，则第2题选择同一种试题作答的概率为，若答错第1题，则第2题选择同一种试题作答的概率为.已知学生甲答对种试题的概率均为，答对种试题的概率均为，且每道试题答对与否相互独立. （1）求学生甲2题均选择种试题作答的概率； （2）若学生甲第1题选择种试题作答，记学生甲答对的试题数为，求的分布列与期望. 【答案】（1） （2） 0 1 2 . 【解析】 【分析】（1）学生甲2题均选择种试题作答是指第1题选择种试题作答并且答对或答错的两种情况，由此利用事件的概率公式能求解即可． （2）由已知得的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列与数学期望． 【小问1详解】 若学生甲第1题选择种试题作答并且答对，则第2题选择种试题作答的概率， 若学生甲第1题选择种试题作答并且答错，则第2题选择种试题作答的概率， 故学生甲2题均选择种试题作答的概率. 【小问2详解】 由题可知，的取值可能为0，1，2， 且， ， ， 故的分布列为 0 1 2 则. 19. 已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数. （1）若在区间上不是单调函数，求的取值范围； （2）若方程有两个不等实根，求的取值范围； （3）当时，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求得，令，求得，对实数的取值进行分类讨论，由题意可知，函数在内存在极值点，可得出关于实数的不等式，解之即可； （2）分析可知，不满足，由可得，由题意可知，直线与的图象有个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）由已知不等式结合参变量分离法得出恒成立，令，利用导数分析函数的单调性与极值，求出函数的最小值，即可证得结论成立. 【小问1详解】 由，得， 记，所以， 当时，恒成立，为增函数，不符合题意； 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增， 因为在区间上不是单调函数，所以，解得， 即的取值范围为. 【小问2详解】 方程， 当时，显然方程不成立，所以，则. 方程有两个不等实根，即与的图象有个交点， 且，其中， 当或时，，在区间和上单调递减， 当时，，在区间上单调递增. 当时，，当时， 则当时，且当时，取得极小值， 作出函数的图象，如图所示： 因此与有个交点时，，即，故的取值范围为. 【小问3详解】 由题得在上恒成立，即恒成立， 即， 令， 则， 当时，，，则， 所以函数在上单调递增， 当时，令， 则，所以函数在上单调递增， 又，，则， 所以在区间上存在唯一零点， 且当时，，则， 当时，，则， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在上单调递增， 又，所以，所以. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $