精品解析：内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学2024-2025学年高一下学期第四次学业诊断考试数学试题

2024－2025学年第二学期高一年级第四次诊断考试 数学试题 考试时间：120分钟 考试分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知i为虚数单位，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算直接求解. 【详解】 故选：B 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示，向量垂直的坐标表示列式求解. 【详解】向量，，则，由， 得，所以. 故选：C 3. 如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，根据可求出的值，作出的图形，利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】设，过点作轴，垂足为点，设，如下图所示： 则，故，可得， 还原原的图形如下图所示，则，， 故. 故选：A. 4. 已知圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥表面积公式可求. 【详解】圆锥母线， 则圆锥的表面积， 故选：D. 5. 已知向量若则的值为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用平面向量的线性运算求出，再利用向量平行的条件列方程求解即可. 【详解】因为向量 所以， 又因为 所以， 解得， 故选：A. 6. 下列命题中正确的个数是（ ） ①若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥α； ②若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都平行； ③若直线a∥直线b，直线b∥平面α，则直线a∥平面α； ④若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】对于①，由线面位置关系的定义判断，对于②，由线面平行的性质判断，对于C，由线面平行的判定定理判断，对于D，由线面平行的定义判断 【详解】对于①，若直线a上有无数个点不在平面α内，则直线a可能与平面α相交，也可能与平面α平行，所以①错误， 对于②，当直线a∥平面α时，直线a与平面α内直线平行或异面，所以②错误， 对于③，当直线a∥直线b，直线b∥平面α，则直线a∥平面α，或直线a在平面α内，所以③错误， 对于④，当直线a∥平面α时，则直线a与平面α无公共点，所以直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点，所以④正确， 故选：B 7. “欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名.与黄鹤楼、岳阳楼、滕王阁齐名，是中国古代四大名楼之一、下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面点看楼顶点的仰角为，沿直线前进80米到达点，此时看点的仰角为，若，则楼高约为（ ）（，结果保留2位小数） A. 80.56米 B. 81.46米 C. 84.32米 D. 86.56米 【答案】B 【解析】 【分析】设，分别在与中利用正弦定理，列方程，解方程即可. 【详解】由已知设，则，， 在中，由正弦定理得， 即， 又在中，由正弦定理得， 即， 则， 则， 故选：B. 8. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不确定的 【答案】A 【解析】 【分析】根据，，利用余弦定理得到，再结合判断. 【详解】由余弦定理可得， 则. 因为，所以，所以是等腰三角形. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于平面向量，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量不能比较大小，即可判断A；根据向量相等即可判断BD；根据向量平行及零向量即可判断C． 【详解】对于A，因为向量不能比较大小，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，则，但与不一定平行，故C错误； 对于D，若，则，故D正确； 故选：BD． 10. 如图，在长方体中，，，E为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 四面体的体积等于 D. 经过AB的平面截该长方体的截面面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，连接，，，通过面面平行即可证得线面平行；B选项，由图可知，与BD不垂直，进而说明线面不垂直；C选项，通过线面平行结合等体积法求得体积；D选项，经过AB的平面截该长方体的截面面积最大时的截面为 【详解】如图，连接，，，易知平面平面，且平面，故有平面，A正确； 易知，为等腰三角形，为底边，故与BD不垂直，即平面不成立，B错误； 由平面知，，C正确； 经过AB的截面为矩形，截面与侧面的交线最长为对角线，故截面面积的最大值为，D正确. 故选：ACD． 11. 随着城市化进程的加速，通勤时间的长短直接影响到城市居民的生活质量．某调查研究机构随机采访了某市部分人群的通勤时长，共收到1000份调查回复，将所得数据绘制成如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. 在参与调查的人群中，通勤时长超过60分钟的人数为100人 B. 估计该市居民通勤时长不超过20分钟的人数约占 C. 估计该市居民通勤平均时长约为35分钟 D. 估计该市居民通勤时长的中位数约为30分钟 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，通勤时长超过60分钟的人数的频率乘以1000即可验算；对于B，算出，再算频率即可；对于C，D依次由平均数、中位数公式求解即可. 【详解】由图可知，在参与调查的人群中，通勤时长超过60分钟的频率为， 则通勤时长超过60分钟的人数为，A错误； 由，得． 因为，则该市居民通勤时长不超过20分钟的人数约占，B正确； 因为， 估计该市居民通勤平均时长约为33钟，C错误； 因为从左到右第1个小矩形的面积为0.25，第2个小矩形的面积为， 则中位数在区间内．设中位数为，令，得，D正确． 故选；BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某高中的三个年级共有学生1000人，其中高一300人，高二340人，高三360人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取50人进行访谈，若采取分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是________． 【答案】 【解析】 【分析】确定抽样比，即可求解； 【详解】由题意可知抽样比为：， 所以高一年级应抽取的人数是， 故答案为： 13. 某班成立了A，B两个数学兴趣小组，A组10人，B组30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A组的平均成绩为130分，方差为115，B组的平均成绩为110分，方差为215．则在这次测试中全班学生的平均成绩和方差分别为_________，_________． 【答案】 ①. 115 ②. 265 【解析】 【分析】利用各层平均数、方差与总体平均数、方差之间的关系式可求全班学生的平均数和方差. 详解】依题意， 所以（分），所以全班学生的平均成绩为115分． 全班学生成绩的方差为 ． 故答案为：115；265 14. 已知三棱锥的底面是等腰直角三角形，，且．，，则当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】先确定点的轨迹，再分析三棱锥体积最大时点的位置，结合勾股定理确定球心和半径，最后利用球的表面积公式求解即可. 【详解】因为，所以P在的中垂面上， 而，则的轨迹为中垂面与以A为球心，为半径的球的交线， 即的轨迹为如图以D为圆心，2为半径的圆，且是的中点，如图所示， 因为，，所以由勾股定理得， 由三角形面积公式得， 若三棱锥体积最大，则到面的距离最大即可，此时在最上面， 易得，，， 且由勾股定理得，此时， 则，即， 得到外接球球心为的中点，即球的半径为， 由球的表面积公式得球的表面积为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，为虚数单位，复数． （1）若，求m的值； （2）若复数z对应的点A在第三象限，求m的取值范围； （3）若复数z对应的点A关于实轴对称的点B位于曲线上，求m值． 【答案】（1）； （2）； （3）或. 【解析】 【分析】（1）利用复数是实数的充要条件列式求解. （2）求出点的坐标，再结合已知建立不等式组求解. （3）求出点的坐标，再代入曲线方程求解. 【小问1详解】 由复数是实数，，得， 所以. 【小问2详解】 依题意，点在第三象限，则，解得， 所以m的取值范围是. 【小问3详解】 由（2）得在曲线上，则， 所以或. 16. 已知向量与的夹角为，且. （1）求的值； （2）求的值； （3）求向量与向量的夹角. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用向量的数量积的定义即可求解； （2）根据题意，利用向量的数量积的运算律，直接计算，即可求解； （3）根据题意，利用向量的夹角公式，直接计算，即可求解. 【小问1详解】 因为向量与的夹角为，且， 则. 【小问2详解】 因为向量与的夹角为，且，且. 可得. 【小问3详解】 设向量与向量的夹角为， 可得， 因为，可得，所以向量与向量的夹角为. 17. 如图，在正方体中，、分别为、的中点. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用线面平行的判断，结合三角形中位线性质推理得证. （2）连接，连接，利用几何法求出线面角. 【小问1详解】 在正方体中，连接，由为的中点，得为的中点， 又为的中点，则，而平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 连接，连接，由平面，平面， 得，而，平面， 因此平面，是直线与平面所成的角， 在中，，又，则， 所以直线与平面所成角的大小为. 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）求A； （2）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式求出，即可得解； （2）利用余弦定理及基本不等式求出的取值范围，即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 即，解得， 又，所以 . 小问2详解】 由余弦定理， 即， 故，当且仅当时取等号， 又，故，即周长的取值范围是. 19. 已知如图甲，在梯形中，，，，E，F分别是，的中点，，沿将梯形翻折，使平面平面（如图乙）． （1）证明：平面； （2）求点E到平面的距离； （3）求二面角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理进行证明. （2）利用体积法求点到平面的距离. （3）构造二面角的平面角，利用三角形的边角关系求二面角的正切值. 小问1详解】 在直角梯形中，因为，故，. 又E，F分别是，的中点，所以，所以. 所以在折叠后的几何体中，有，， ，平面，所以平面. 【小问2详解】 如图： 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面. 因为平面，所以. 所以两两垂直，且，. 所以中，，. 所以. 又 设点到平面的距离为， 则. 即点到平面的距离为. 【小问3详解】 过作于点，过作于点，连接. 因为平面平面，所以平面，平面， 所以，又，是平面内的两条相交直线， 所以平面， 所以即为二面角的平面角. 因为，所以. 在中，. 即二面角的正切值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第二学期高一年级第四次诊断考试 数学试题 考试时间：120分钟 考试分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知i为虚数单位，（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A B. 1 C. D. 2 3. 如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量若则的值为（ ） A. B. 0 C. D. 6. 下列命题中正确个数是（ ） ①若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥α； ②若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都平行； ③若直线a∥直线b，直线b∥平面α，则直线a∥平面α； ④若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. “欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名.与黄鹤楼、岳阳楼、滕王阁齐名，是中国古代四大名楼之一、下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面点看楼顶点的仰角为，沿直线前进80米到达点，此时看点的仰角为，若，则楼高约为（ ）（，结果保留2位小数） A. 80.56米 B. 81.46米 C. 84.32米 D. 86.56米 8. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不确定的 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于平面向量，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，在长方体中，，，E为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 四面体的体积等于 D. 经过AB的平面截该长方体的截面面积的最大值为 11. 随着城市化进程的加速，通勤时间的长短直接影响到城市居民的生活质量．某调查研究机构随机采访了某市部分人群的通勤时长，共收到1000份调查回复，将所得数据绘制成如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. 在参与调查的人群中，通勤时长超过60分钟的人数为100人 B. 估计该市居民通勤时长不超过20分钟的人数约占 C. 估计该市居民通勤平均时长约为35分钟 D. 估计该市居民通勤时长中位数约为30分钟 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某高中的三个年级共有学生1000人，其中高一300人，高二340人，高三360人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取50人进行访谈，若采取分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是________． 13. 某班成立了A，B两个数学兴趣小组，A组10人，B组30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A组的平均成绩为130分，方差为115，B组的平均成绩为110分，方差为215．则在这次测试中全班学生的平均成绩和方差分别为_________，_________． 14. 已知三棱锥的底面是等腰直角三角形，，且．，，则当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，为虚数单位，复数． （1）若，求m的值； （2）若复数z对应点A在第三象限，求m的取值范围； （3）若复数z对应的点A关于实轴对称的点B位于曲线上，求m值． 16. 已知向量与的夹角为，且. （1）求值； （2）求的值； （3）求向量与向量的夹角. 17. 如图，在正方体中，、分别为、的中点. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的大小. 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）求A； （2）若，求周长的取值范围. 19. 已知如图甲，在梯形中，，，，E，F分别是，的中点，，沿将梯形翻折，使平面平面（如图乙）． （1）证明：平面； （2）求点E到平面的距离； （3）求二面角的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $