精品解析：广西北海市合浦县2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题

2024—2025学年度第二学期期中九年级数学教学质量检测卷 （考试用时120分钟，满分120分） 一、选择题（每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 剪纸是中国传统的民间艺术，下列各剪纸图案中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 截至年月日时分，中国动画电影哪吒之魔童闹海全球票房含预售及海外已破亿元，登顶中国影史票房榜，暂列全球票房榜第位将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，直线a、b被直线c所截，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的值（ ） A. B. C. D. 7. 一个不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数是（　　） A. 156° B. 78° C. 39° D. 12° 9. 某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2020年投入3000万元，预计2022年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 11. 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，函数（x＞0）和（x＞0）的图象将第一象限分成三个区域，点M是②区域内一点，MN⊥x轴于点N，则△MON的面积可能是（ ） A. 0.5． B. 1． C. 2． D. 3.5． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 分解因式：x2-16= ________________． 14. 合浦汉代文化博物馆的“海上丝绸之路”灯塔巍然矗立．小亮在距离灯塔基座12米处测得塔顶的仰角为，则该灯塔的高度为_____米．（结果保留根号） 15. 任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次操作后变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ____ ． 16. 如图，合浦汉代文化博物馆的建筑模型中，有一正方形展板，边长为6，与x轴负半轴夹角为（象征海上丝绸之路15个沿线国家），点B在抛物线上，求a的值_____． 三、解答题（第17题8分，第18至21题每题10分，第22、23题每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：． （2）解方程组：． 18. 某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图中的信息解答以下问题： （1）本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A 所对应扇形的圆心角是_______，并把条形统计图补充完整； （2）若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_______人； （3）A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率． 19. 如图，中，，，． （1）用直尺和圆规作的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若（1）中所作的垂直平分线交于点，求的长． 20. 合浦某珍珠加工厂需采购两种型号的珍珠筛选设备，型设备单价比型贵200元，用2000元购买型设备数量与用1200元购买型设备数量相同． （1）求型设备单价分别是多少元？ （2）工厂计划采购40台设备，型数量不超过型的3倍，且两种设备均享受“合浦产业扶持补贴”（原价打8折），问购买型和型两种设备各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 21. 如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，过点作，垂足为点，的延长线交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 22. “跳大绳”是中国历史悠久的运动，一直受到青少年儿童的喜爱．通过跳绳运动可以促进学生心肺功能的提高，培养学生良好的意志品质，还可以培养学生团结协作的精神．某校在大课间活动中开展了“跳大绳”活动．如图，小明和小亮分别抓住大绳的两端转动大绳，他们转动大绳的手距离水平地面均为1m，大绳在距离他们5m处有最高点，距水平地面3.5m．建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是大绳距小明的水平距离，是大绳距水平地面的高度． （1）求抛物线的表达式； （2）小红在跳绳时，距离小明的水平距离2m（即与点O的水平距离），当绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶正上方1m处，求小红的身高； （3）身高为1.9m的体育老师刘老师也参加了活动，当刘老师跳进大绳，直立落地时，绳子甩到最高处，且正好扫过刘老师的头顶，求刘老师与小红间的水平距离． 23. 问题背景：在将合浦古地图中的三角形地块划分综合实践活动课上，小云发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图，已知是的角平分线，可证．小云的证明思路是：如图，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明． （1）尝试证明：请参照小云的思路，利用图证明：； （2）基础训练：如图，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，，求的长； （3）拓展升华：如图，中，，，，的中垂线交延长线于点，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期期中九年级数学教学质量检测卷 （考试用时120分钟，满分120分） 一、选择题（每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 剪纸是中国传统的民间艺术，下列各剪纸图案中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故符合题意； C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 3. 截至年月日时分，中国动画电影哪吒之魔童闹海全球票房含预售及海外已破亿元，登顶中国影史票房榜，暂列全球票房榜第位将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：140亿 ， 故选：D． 4. 如图所示，直线a、b被直线c所截，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的性质，由平行线的性质可得，再由对顶角相等求出的度数，掌握平行线和对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算性质、属于常考题型，熟练掌握幂的运算性质．分别根据同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方和积的乘方等运算法则逐项判断即得答案． 【详解】解：A、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 6. 若，则的值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，先得到，然后代入计算解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 7. 一个不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，解答此题的关键是熟知实心圆点与空心圆圈的区别．根据在数轴上表示不等式组解集的方法求出不等式组的解集即可． 【详解】解：由数轴知，这个不等式组的解集为， 故选：D． 8. 如图，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数是（　　） A. 156° B. 78° C. 39° D. 12° 【答案】C 【解析】 【详解】∵∠BOC=78°， ∴∠BAC=∠BOC=39°． 故选：C． 9. 某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2020年投入3000万元，预计2022年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）列出方程即可． 【详解】解：设教育经费的年平均增长率为x， 则2021的教育经费为：万元， 2022的教育经费为：万元， ∴可得方程：． 故选C． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关键． 10. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质可得出BO=DO，AB=BC=CD=DA，再根据中位线的性质可得，结合菱形的周长公式即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴BO=DO，AB=BC=CD=DA， ∵OE=3，且点E为CD的中点， 是的中位线， ∴BC=2OE=6． ∴菱形ABCD的周长为:4BC=4×6=24． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及中位线的性质，解题的关键是求出BC=6． 11. 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用.用一根绳子去量一根长木，绳子剩余4.5尺可知：；绳子对折再量长木，长木剩余1尺可知：；从而可得答案. 【详解】解：由题意可得方程组为： ， 故选：A. 12. 如图，函数（x＞0）和（x＞0）的图象将第一象限分成三个区域，点M是②区域内一点，MN⊥x轴于点N，则△MON的面积可能是（ ） A. 0.5． B. 1． C. 2． D. 3.5． 【答案】C 【解析】 【分析】分别假设点M在和上，即可得出△MON面积可能的值． 【详解】解：∵点M是②区域内一点，且MN⊥x轴于点N， 假设点M落在上， 根据反比例函数的性质，可得：△MON的面积为1， 假设点M落在上， 根据反比例函数的性质，可得：△MON的面积为3， ∴△MON的面积可能是2， 故选C． 【点睛】考查了反比例函数的图象的知识，解题的关键是了解系数k的几何意义． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 分解因式：x2-16= ________________． 【答案】（x-4）（x+4） 【解析】 【分析】利用平方差公式进行分解即可 【详解】解：x2-16=（x-4）（x+4） 故答案为（x-4）（x+4） 14. 合浦汉代文化博物馆的“海上丝绸之路”灯塔巍然矗立．小亮在距离灯塔基座12米处测得塔顶的仰角为，则该灯塔的高度为_____米．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图： 在中，， ∴， ∴该灯塔的高度为 故答案为：． 15. 任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次操作后变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ____ ． 【答案】255 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用． 根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴对255只需进行3次操作后变为1， 从后向前推，找到需要4次操作得到1的最小整数， ∵ ，，，， ∴对256只需进行4次操作后变为1， ∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255， 故答案为：255． 16. 如图，合浦汉代文化博物馆的建筑模型中，有一正方形展板，边长为6，与x轴负半轴夹角为（象征海上丝绸之路15个沿线国家），点B在抛物线上，求a的值_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质以及用待定系数法确定函数解析式的方法，求出是解答本题的关键． 连接，过点B作轴于点D，根据正方形的性质可得，，然后再由直角三角形的性质可得点B的坐标为，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点B作轴于点D， ∵四边形是正方形，边长为6， ∴，是等腰直角三角形，， ∴， ∵与x轴负半轴夹角为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， 把代入得： ， 解得：． 故答案为： 三、解答题（第17题8分，第18至21题每题10分，第22、23题每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：． （2）解方程组：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘方，再运算乘除，最后运算加法，即可作答． （2）运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2）， ，得， 即， 把代入②得，， 即， 故方程组的解为 18. 某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图中的信息解答以下问题： （1）本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A 所对应扇形的圆心角是_______，并把条形统计图补充完整； （2）若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_______人； （3）A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率． 【答案】（1），， 补全条形统计图如下： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由等级人数除以其人数占比即可得出本次抽取的学生总人数，用乘以等级人数占比即可得出扇形统计图中所对应扇形圆心角的度数，用本次抽取的学生总人数减去其他各等级人数即可得出等级人数，然后补全条形统计图即可； （2）利用样本估计总体即可； （3）先画出树状图，展示从这人中随机抽取人所有等可能的结果，再找出被抽取的人恰好是名男生名女生的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． 【小问1详解】 解：本次抽取的学生人数共有： （人）， 扇形统计图中所对应扇形圆心角的度数是： ， 等级人数为： （人）， 故答案为：，， 【小问2详解】 解：书写能力等级达到优秀的学生大约有： （人）， 故答案为：； 【小问3详解】 解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中被抽取的人恰好是名男生名女生的结果有种， 被抽取的人恰好是名男生名女生的概率． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，由扇形统计图求总量，求扇形统计图的圆心角，求条形统计图的相关数据，画条形统计图，用样本估计总体，列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握条形统计图和扇形统计图信息关联及列表法或树状图法求概率是解题的关键． 19. 如图，中，，，． （1）用直尺和圆规作的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若（1）中所作的垂直平分线交于点，求的长． 【答案】 （1）如图直线即为所求． （2）． 【解析】 【分析】（1）分别以，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，，作直线即可． （2）设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）∵垂直平分线段，∴， 设，在中， ∵，∴， 解得，∴． 【点睛】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 20. 合浦某珍珠加工厂需采购两种型号的珍珠筛选设备，型设备单价比型贵200元，用2000元购买型设备数量与用1200元购买型设备数量相同． （1）求型设备单价分别是多少元？ （2）工厂计划采购40台设备，型数量不超过型的3倍，且两种设备均享受“合浦产业扶持补贴”（原价打8折），问购买型和型两种设备各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】（1）种型号设备单价是500元，种型号设备单价是300元 （2）购买型设备10台和型设备30台时花费最少，最少花费11200元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程和一次函数解析式是解题的关键． （1）设种型号设备单价是元，种型号设备单价是元，列方程求解即可； （2）设购买种型号设备台，购买种型号设备台，列不等式求出， 根据题意得到，根据一次函数的性质，计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：设种型号设备单价是元，种型号设备单价是元 根据题意：． 解得： 经检验，是原方程的根 答：种型号设备单价是500元，种型号设备单价是300元． 【小问2详解】 解：设购买种型号设备台，购买种型号设备台， 购买型和型设备共花费w元 由题意得：， 解得：， ， 由可知，随的增大而增大． 当时，取得最小值，最小值为， 答：购买型设备10台和型设备30台时花费最少，最少花费11200元 21. 如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，过点作，垂足为点，的延长线交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴  ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，弧长公式，正确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，由圆周角定理得到，然后证明，由，得到，即可证明； （2）先证明，则可求，则，可证明为等边三角形，则，可求，那么，则半径，再由弧长公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 22. “跳大绳”是中国历史悠久的运动，一直受到青少年儿童的喜爱．通过跳绳运动可以促进学生心肺功能的提高，培养学生良好的意志品质，还可以培养学生团结协作的精神．某校在大课间活动中开展了“跳大绳”活动．如图，小明和小亮分别抓住大绳的两端转动大绳，他们转动大绳的手距离水平地面均为1m，大绳在距离他们5m处有最高点，距水平地面3.5m．建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是大绳距小明的水平距离，是大绳距水平地面的高度． （1）求抛物线的表达式； （2）小红在跳绳时，距离小明的水平距离2m（即与点O的水平距离），当绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶正上方1m处，求小红的身高； （3）身高为1.9m的体育老师刘老师也参加了活动，当刘老师跳进大绳，直立落地时，绳子甩到最高处，且正好扫过刘老师的头顶，求刘老师与小红间的水平距离． 【答案】（1） （2）1.6 m （3）1 m或7 m 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的函数值，进一步求出小红的身高即可， （3）求出时的的值，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，抛物线顶点坐标为， 则抛物线的表达式为， 将点代入得，解得， ． 即抛物线的表达式为． 【小问2详解】 把代入 得，（m）， 即小红的身高是1.6 m； 【小问3详解】 当时，， 解得或， 刘老师与小红之间的水平距离为（m）或（m）， 答：刘老师与小红间的水平距离是1 m或7 m． 23. 问题背景：在将合浦古地图中的三角形地块划分综合实践活动课上，小云发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图，已知是的角平分线，可证．小云的证明思路是：如图，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明． （1）尝试证明：请参照小云的思路，利用图证明：； （2）基础训练：如图，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，，求的长； （3）拓展升华：如图，中，，，，的中垂线交延长线于点，当时，求的长． 【答案】（1） 证明： ， 是的角平分线， ， ； （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）利用小云作平行线构造相似三角形的思路，通过平行线性质找角相等，证明三角形相似，再结合角平分线性质，实现线段比例关系的转化，从而证明结论． （2）先根据折叠性质得到角和线段的等量关系，再运用（1）中证明的线段比例关系，结合勾股定理求出长，进而算出长，得出长． （3）依据角平分线条件，用（1）的比例关系算出长，结合中垂线性质得到角相等，推导新的相似三角形，利用相似三角形性质列方程求解 ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处， 由（）可知， 又，， ，即 ， 在中，由勾股定理得：， ，即 ，即 【小问3详解】 解：，即是的角平分线， ∴由（）可得 ，，， ，即 的中垂线交延长线于， ，即， ， ，即 又， ，即 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、折叠的性质以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质，灵活运用角平分线、折叠等条件转化线段和角的关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $