精品解析：福建省福州市闽清县2024—2025学年七年级下学期4月期中数学试题

2024—2025学年第二学期期中适应性练习 七年级数学 （完卷时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置填涂．） 1. 下列各图中，和是同位角的是（ ） A. B. C D. 2. 四个实数：﹣1，﹣，0，1中，最小的实数是（ ） A. ﹣1 B. ﹣ C. 0 D. 1 3. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图，直线，相交于点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 二元一次方程组的解为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，点在的延长线上，下列条件能判定的是（ ） A. B. C D. 7. 在平面直角坐标系中，点，，若轴，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 若是有理数，则不可以是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 18 9. 如图，两个完全相同的直角梯形重叠在一起，将其中一个直角梯形沿的方向平移，点A，的对应点分别为，，根据图中所标数据，求得阴影部分的面积为（ ） A. 75 B. 100 C. 105 D. 120 10. 一食品原料厂某日用大小两种货车运货两次．第一次用2辆大货车和6辆小货车运货23吨；第二次用5辆大货车和6辆小货车运货35吨．小明比较这两次运货，知道3辆大货车一次可运货12吨．若设1辆大货车和1辆小货车一次分别运货x吨和y吨，根据该日两次运货的信息，可列方程组．若对该方程组进行变形，下列变形中可直接得到小明所说的“3辆大货车一次可运货12吨”的是（　　） A. ①+② B. ②﹣① C. ②﹣①×2 D. ①×5﹣②×2 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，请在答题卡相应位置作答．） 11. 计算：________． 12. 如图，已知，若，则 _____________ ． 13. 在平面直角坐标系中，点，，则线段的长为________． 14. 如图，四边形中，，，，，则点到的距离为______． 15. 已知是关于，的二元一次方程方程的解，则的值为________． 16. 在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b），B（a﹣1，b+2），C（c，d），D（c﹣1，d+2），其中a≠c且b≠d．下列结论正确有 _____．（只填序号） ①AC＝BD；②AB∥CD；③AB＝24；④a﹣c＝b﹣d． 三、解答题（本题共9小题，满分86分，请在答题卡相应位置作答．） 17. 计算：． 18. 解方程组：． 19 如图，已知，且．求证：． 20. 阅读以下材料并填空： 已知：如图1，，的平分线与的平分线交于点． 求证：． 证明：如图2，过点作， ∴． ∵， ∴ ① ，作． ∴ ③ ∵平分， ∴ ④ ． ∵平分， ∴． ∴ ⑤ °． ∴． ∴ ⑥ ． 根据以上材料，请用文字语言归纳一个真命题：________． 21. 如图，长方形面积为，其中长与宽的比为．小丽想利用此长方形裁出一个面积最大的正方形．请你帮小丽计算一下，该正方形的边长为多少？ 22. 已知，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，． （1）画出三角形； （2）求三角形的面积； （3）如果存在点，使得三角形和三角形的面积相等，求的值． 23. 南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数． 我们知道，是无限不循环小数，． （1）已知，根据“调日法”的规则，求出第一次使用“调日法”后的近似分数，判断该分数是的不足近似值还是过剩近似值？ （2）在（1）的条件下，再使用几次“调日法”后得到更为精确的近似分数为； （3）请说明使用“调日法”估计大小的有效性． 24. 如图，点在射线上，点在线段上，平分，， （1）当时，求； （2）连接，为的角平分线． ①探究与的位置关系； ②点是线段上一点，点是线段上一点，连接，．若，，判定直线上是否存在一点，使得． 25. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，将三角形进行平移，平移后点A，B，C的对应点分别是点，，．点，点，点，点． （1）若，则的坐标为_____；（用含的式子表示） （2）若，求的值； （3）若点，其中．直线交轴于点，且三角形的面积为1，试探究和的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第二学期期中适应性练习 七年级数学 （完卷时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置填涂．） 1. 下列各图中，和是同位角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了同位角，关键是掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可． 【详解】解：A. 不是同位角，不符合题意； B. 不是同位角，不符合题意； C. 不同位角，不符合题意； D. 是同位角，符合题意； 故选：D． 2. 四个实数：﹣1，﹣，0，1中，最小实数是（ ） A. ﹣1 B. ﹣ C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．根据实数大小比较的方法，可得﹣＜﹣1＜0＜1，所以最小的数是﹣． 考点：实数大小比较 3. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特点，掌握象限中点的符号是解题的关键． 【详解】解：∵第一象限的点的符号为，第二象限的点的符号为，第三象限的点的符号为，第四象限的点的符号为， ∴点在第二象限，   故选：B ． 4. 如图，直线，相交于点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查邻补角，根据邻补角可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 5. 二元一次方程组的解为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据加减消元法，即可得到二元一次方程组的解． 【详解】解：， 由①+②得：2x=4，解得：x=2， 由①-②得：2y=-2，解得：y=-1， ∴二元一次方程组的解为：. 故选：A． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组，是解题的关键． 6. 如图，点在的延长线上，下列条件能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握．根据平行线的判定对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．可判定，故此选项符合题意； B．可判定，不能判定，故此选项不符合题意； C．可判定，不能判定，故此选项不符合题意； D．可判定，不能判定，故此选项不符合题意； 故选：A． 7. 在平面直角坐标系中，点，，若轴，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题目考查了坐标与图形性质，点与坐标的对应关系，坐标轴上的点的特征，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由轴知点横坐标相等求出的值，从而得出点的坐标即可． 【详解】解：点，，轴， ， ， 点的坐标是， 故选：D． 8. 若是有理数，则不可以是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根，有理数，根据算术平方根的定义和有理数的定义即可求解． 【详解】解：A.当时，是有理数，不符合题意； B.当时，是无理数，符合题意； C.当时，是有理数，不符合题意； D.当时，是有理数，不符合题意； 故选：B． 9. 如图，两个完全相同的直角梯形重叠在一起，将其中一个直角梯形沿的方向平移，点A，的对应点分别为，，根据图中所标数据，求得阴影部分的面积为（ ） A. 75 B. 100 C. 105 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移性质，根据平移性质得，计算出即可，熟练掌握平移性质，梯形面积公式，是解题的关键． 【详解】由平移，得， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 10. 一食品原料厂某日用大小两种货车运货两次．第一次用2辆大货车和6辆小货车运货23吨；第二次用5辆大货车和6辆小货车运货35吨．小明比较这两次运货，知道3辆大货车一次可运货12吨．若设1辆大货车和1辆小货车一次分别运货x吨和y吨，根据该日两次运货的信息，可列方程组．若对该方程组进行变形，下列变形中可直接得到小明所说的“3辆大货车一次可运货12吨”的是（　　） A. ①+② B. ②﹣① C. ②﹣①×2 D. ①×5﹣②×2 【答案】B 【解析】 【分析】根据“3辆大货车一次可运货12吨”直接得到答案即可． 【详解】解：方程组中②①得：， 即：， 所以能得到小明所说的“3辆大货车一次可运货12吨”， 故选：B． 【点睛】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，解题的关键是了解二元一次方程组的解法，难度不大． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，请在答题卡相应位置作答．） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法计算即可． 本题考查了二次根式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 如图，已知，若，则 _____________ ． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，知道“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．根据平行线的性质得出，根据对顶角相等得出，进而可得出答案． 【详解】解： ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，点，，则线段长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了求平面直角坐标系中两点间的距离，解题关键是观察两坐标的特征再求解． 根据两点的纵坐标相同，可知两点间的距离为横坐标的差（大的减小的）． 【详解】解：∵点，，它们纵坐标相同， ∴， 故答案为：4． 14. 如图，四边形中，，，，，则点到的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离定义即可求解，正确理解点到直线的距离是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点到的距离为， 故答案为：． 15. 已知是关于，的二元一次方程方程的解，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解的含义，掌握“方程的解使方程的左右两边的值相等”是解本题的关键． 把代入方程，再解关于的方程，从而可得答案． 【详解】解：是关于，的二元一次方程方程的解， ， ， 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b），B（a﹣1，b+2），C（c，d），D（c﹣1，d+2），其中a≠c且b≠d．下列结论正确的有 _____．（只填序号） ①AC＝BD；②AB∥CD；③AB＝24；④a﹣c＝b﹣d． 【答案】①② 【解析】 【分析】由勾股定理得两点距离公式与点的平移规律逐一分析即可． 【详解】解：由勾股定理得出的两点间距离公式， 得：，， ，故①符合题意； 向左平移1个单位，向上平移2个单位得：， 向左平移1个单位，向上平移2个单位得：， ，故②符合题意； ， ，故③不符合题意； 表示、之间的左右平移的距离，表示、之间的上下平移的距离，毫无关联， 仅仅从题干中，得不出，故④不符合题意． 故答案为：①②． 【点睛】本题主要考查了两点距离公式与点的平移规律，熟悉并准确使用两点距离公式是本题的关键． 三、解答题（本题共9小题，满分86分，请在答题卡相应位置作答．） 17. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先根据立方根、平方根、绝对值分别化简再计算即可，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解题关键是掌握加减消元法． 直接利用加减消元法求解． 【详解】解： 由，得 ∴， 把代入①，得 ∴， ∴这个方程组的解为． 19. 如图，已知，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行线判定和性质证明即可． 本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵ ∴ 即， ∴． 20. 阅读以下材料并填空： 已知：如图1，，的平分线与的平分线交于点． 求证：． 证明：如图2，过点作， ∴． ∵， ∴ ① ，作． ∴ ③ ∵平分， ∴ ④ ． ∵平分， ∴． ∴ ⑤ °． ∴． ∴ ⑥ ． 根据以上材料，请用文字语言归纳一个真命题：________． 【答案】①，②，③，④，⑤90，⑥ 如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直． 【解析】 【分析】根据平行线的性质，角的平分线的定义，垂直的定义证明即可． 本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：如图2，过点作， ∴． ∵， ∴，． ∴ ∵平分， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴． 根据以上材料，请用文字语言归纳一个真命题：如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直． 21. 如图，长方形的面积为，其中长与宽的比为．小丽想利用此长方形裁出一个面积最大的正方形．请你帮小丽计算一下，该正方形的边长为多少？ 【答案】 【解析】 【分析】先根据长与宽的比例设未知数，再利用长方形面积公式列方程求出宽，而长方形中裁最大正方形的边长等于长方形的宽，从而得出正方形边长． 本题主要考查了长方形面积公式以及一元二次方程的应用，熟练掌握长方形面积公式并根据长与宽的关系设未知数列方程求解是解题的关键． 【详解】解：设长方形的长为，则宽为，依题意得 由边长的实际意义，得（负值舍去） ∴ ∴面积最大的正方形边长为 22. 已知，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，． （1）画出三角形； （2）求三角形的面积； （3）如果存在点，使得三角形和三角形的面积相等，求的值． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系，利用网格求三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键． （）在平面直角坐标系中描点，，，然后连接即可； （）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算三角形的面积； （）利用三角形面积公式得，然后解方程求出，从而得到点坐标． 【小问1详解】 解：画出三角形如图所示； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：依题意得， ∵， ∴， ∴或． 23. 南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数． 我们知道，是无限不循环小数，． （1）已知，根据“调日法”的规则，求出第一次使用“调日法”后的近似分数，判断该分数是的不足近似值还是过剩近似值？ （2）在（1）的条件下，再使用几次“调日法”后得到更为精确的近似分数为； （3）请说明使用“调日法”估计大小的有效性． 【答案】（1），是的过剩近似值 （2）再使用次“调日法”后得到更为精确的近似分数为； （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查简单的推理与证明，实数的运算，读懂题意，掌握“调日法”的计算方法是解题的关键． （1）先利用一次“调日法”得到的一个更为精确的近似分数是，与比较大小，即可得到答案； （2）利用“调日法”得到的近似分数，即可得到答案； （3）由，，，即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴第一次使用“调日法”后的近似分数为， ∵， ∴是的过剩近似值， 【小问2详解】 解：∵ ∴第二次使用“调日法”后的近似分数为， ∵， ∴， ∴第三次使用“调日法”后的近似分数为； 再使用次“调日法”后得到更为精确的近似分数为； 【小问3详解】 解：∵，， 又 ∴使用“调日法”估计的大小是有效的． 24. 如图，点在射线上，点在线段上，平分，， （1）当时，求； （2）连接，为的角平分线． ①探究与的位置关系； ②点是线段上一点，点是线段上一点，连接，．若，，判定直线上是否存在一点，使得． 【答案】（1） （2）①见解析；②不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）证明，利用平行线的性质解答即可． （2）①利用角的平分线，平角的定义，证明即可． ②根据平行线的判定和性质，垂线段最短． 本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线，垂线段最短，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵平分 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 ①解：∵平分， ∴， ∵平分 ∴， ∴， ∴． ②解：设，则 ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， ∵垂线段最短 ∴不存在点，使得． 25. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，将三角形进行平移，平移后点A，B，C的对应点分别是点，，．点，点，点，点． （1）若，则的坐标为_____；（用含的式子表示） （2）若，求的值； （3）若点，其中．直线交轴于点，且三角形的面积为1，试探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3），见解析 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．也考查了三角形的面积，有一定难度． （1）先通过点与点、点与点的坐标变化确定平移规律，再根据平移规律求出点平移后对应点的坐标； （2）当时，得出A、B、D、E四点的坐标，再根据平移的规律得到，即可求出m的值； （3）由平移的规律得出，变形整理得到，那么轴，根据三角形的面积，求出，．根据点与点是对应点，得出，求出． 【小问1详解】 已知平移后得到，的坐标的变化为，即向右平移个单位；纵坐标的变化为，即向下平移个单位， 同理，平移后得到，从到的坐标变化为，纵坐标变化为，结合到的平移规律，可知整体平移是向右个单位，向下个单位， 点，按照上述平移规律，向右平移个单位，的坐标变为；向下平移个单位，纵坐标变为， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：当时， 由三角形平移得到三角形， 的对应点分别为 ， 可得， 解得． ∴的值为6； 【小问3详解】 由三角形平移得到三角形， ，的对应点分别为 ，． 可得， 由②得③， 把③代入①，得， ∴， ∴点与点的纵坐标相等， ∴轴， ∴点， ∴三角形的面积， ∵， ∴，． ∴， ∴， ∴，，． 又∵在平移中，点与点是对应点， ∴， ∴ ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$