课后作业53 直线与椭圆(二)-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word

课后作业(五十三)　直线与椭圆(二) 1．已知动圆与圆C1：(x＋4)2＋y2＝1外切，同时与圆C2：(x－4)2＋y2＝81内切． (1)求动圆圆心M的轨迹Γ的方程，并说明它是什么曲线； (2)若直线l：4x－5y＋40＝0，求曲线Γ上的点到直线l的最大距离． 2．(2024·北京高考)已知椭圆E：＝1(a>b>0)，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形．过点(0，t)(t>)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和C(0，1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D． (1)求椭圆E的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 3．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右顶点分别是A1，A2，上顶点为B(0，b)，△A1A2B的面积等于2． (1)求椭圆C的方程； (2)设点Q(1，0)，P(4，m)，直线PA1，PA2分别交椭圆C于点M，N，证明：M，Q，N三点共线． 4．已知斜率为k的直线l与椭圆C：＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(n，m)． (1)若n＝1，m＝－1，求k的值； (2)若线段AB的垂直平分线交y轴于点P，且|AB|＝4|PM|，求直线l的方程． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课后作业(五十三) 1．解：(1)设动圆M的半径为r． 由动圆M与圆C1外切可知|MC1|＝r＋1，① 由动圆M与圆C2内切可知|MC2|＝9－r，② 则①＋②可得，|MC1|＋|MC2|＝10＞|C1C2|＝8． 所以动圆圆心M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为10，焦距为8的椭圆(不含顶点(－5，0))． 动圆圆心M的轨迹Γ的方程为＝1(x≠－5)． (2)设与直线l平行的直线l0：4x－5y＋m＝0(m≠40)． 由得25x2＋8mx＋m2－225＝0． 令Δ＝(8m)2－4×25×＝0． 当Δ＝0，即m＝±25时，直线与椭圆相切． 由图形(图略)可知，当m＝－25时，切点P到直线l的距离最大． 设最大距离为d，则d＝＝． 所以曲线Γ上的点到直线l的最大距离为． 2．解：(1)由题意可知b＝，c＝， 所以a＝＝2， 故椭圆E的方程为＝1，离心率e＝＝． (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋t(k≠0)， 联立得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－4＝0． 所以Δ＝(4kt)2－4(1＋2k2)(2t2－4)>0，即4k2－t2＋2>0， 由根与系数的关系得 由椭圆的对称性可得D(－x2，y2)， 因为A，C，D三点共线，所以kAC＝kCD， 所以＝，即x1y2＋x2y1－(x1＋x2)＝0． 由y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t，得x1(kx2＋t)＋x2(kx1＋t)－(x1＋x2)＝0， 整理得2kx1x2＋(t－1)(x1＋x2)＝0， 所以2k·＋(t－1)·＝0， 解得t＝2．即t的值为2． 3．解：(1)由离心率为得，＝，① 由△A1A2B的面积为2得，ab＝2．② 又a2＝b2＋c2，③ 联立①②③解得a＝2，b＝1， ∴椭圆C的方程为＋y2＝1． (2)证明：记点M，N的坐标分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)． 又A1(－2，0)，∴直线PA1的方程为y＝(x＋2)，与椭圆方程＋y2＝1联立并整理得(m2＋9)x2＋4m2x＋4m2－36＝0，Δ＝4×324＞0， 由－2＋x1＝得x1＝， 代入直线PA1的方程得y1＝， 即M， 同理可得N． 因为Q(1，0)，所以＝＝， 由＝知，∥，又有公共点Q，所以M，Q，N三点共线． 4．解：(1)由题设作差可得 ＝＝0， 又xA＋xB＝2n＝2，yA＋yB＝2m＝－2，故 ＝， 所以k＝＝． (2)由题意，直线l斜率一定存在，设直线l的方程为y＝k(x－n)＋m， 若k＝0，直线l：y＝m且M(0，m)，－＜m＜，此时中垂线PM与y轴重合， 与题设中，垂直平分线与y轴交于P矛盾，不满足题意； 若k≠0，由(1)知＝－，则k＝＝－， 则中垂线PM的方程为y＋＝x，即6mx－3ny－n＝0，又M(n，m)在该直线上， 所以3mn－n＝0，得n＝0或m＝，当n＝0时k＝0，不满足题意，故m＝， 故k＝－，即l：y＝n(x－n)，与椭圆方程联立得x2＋2＝6， 整理得 9(2＋9n2)x2－18n(2＋9n2)x＋81n4＋36n2－104＝0，Δ＞0， 所以xA＋xB＝2n，xAxB＝， 则|AB|＝ ＝，而|PM|＝， 由|AB|＝4|PM|，得＝8n2＋， 解得n＝±，所以l：y＝1±x． 综上，直线l的方程为y＝±x＋1． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$