课后作业46 向量法求距离及立体几何中的探索性、翻折问题-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word

课后作业(四十六)　向量法求距离及立体几何中的探索性、翻折问题 1．(2025·浙江金华模拟)已知在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，＝． (1)求点C到直线AE的距离； (2)求点C到平面AED1的距离； (3)在此正方体中，AB⊥BC，AB⊥AA1，则称线段AB的长为异面直线BC与AA1的公垂线段长，也称为异面直线BC与AA1的距离．试求异面直线CD与AE的距离． 2．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AB＝2，AD＝DC＝，如图1．现将△ADC沿对角线AC折成直二面角P-AC-B，如图2，点M在线段BP上． (1)求证：AP⊥CM； (2)若点M到直线AC的距离为，求的值． 3．如图，边长为4的两个正△ABC，△BCD所在平面互相垂直，E，F分别为BC，CD的中点，点G在棱AD上，AG＝2GD，直线AB与平面EFG相交于点H． (1)证明：BD∥GH； (2)求直线BD到平面EFG的距离． 4．如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝2，BC＝2，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在线段A1B1上，且＝λ，λ∈[0，1]． (1)证明：AM⊥PN； (2)当λ取何值时，直线PN与平面AMN所成角θ最小？ (3)是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角的正弦值为？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课后作业(四十六)　向量法求距离及立体几何中的探索性、翻折问题 [A组　在基础中考查学科功底] 1．解：(1)根据正方体性质，可以建立如图所示空间直角坐标系Dxyz． 则C(0，4，0)，A(4，0，0)，D1(0，0，4)，E(3，1，4)，D(0，0，0)． ＝(－1，1，4)，＝(4，－4，0)，令l＝＝＝， 则点C到直线AE的距离d1＝＝＝． (2)＝(4，－4，0)，＝(－1，1，4)，＝(－4，0，4)， 设平面AED1的法向量为m＝(x，y，z)， 则 令z＝1，则则m＝(1，－3，1)． 则点C到平面AED1的距离d2＝＝＝． (3)＝(4，－4，0)，＝(0，－4，0)，＝(－1，1，4)， 设CD与AE的公垂线的方向向量为n＝(a，b，c)． 则⇒ 令a＝4，则c＝1， 则n＝(4，0，1)． 则异面直线CD与AE的距离d3＝＝＝． 2．解：(1)证明：由已知可得AC＝BC＝2，又AB＝2，则∠ACB＝90°，即AC⊥CB， 又平面PAC⊥平面ACB，平面PAC∩平面ACB＝AC，CB⊂平面ACB，故CB⊥平面PAC， 又AP⊂平面PAC，则CB⊥AP， 又AP⊥PC，PC∩CB＝C，PC，CB⊂平面PCB，所以AP⊥平面PCB， 又CM⊂平面PCB，则AP⊥CM． (2)设AC中点为O，AB中点为D，由(1)知OA，OD，OP两两垂直，以OA，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示， 则A(1，0，0)，C(－1，0，0)，P(0，0，1)，B(－1，2，0)， 设＝λ(0≤λ≤1)，则＝λ， 设M(x，y，z)，则(x＋1，y－2，z)＝λ(1，－2，1)， 则M(λ－1，2－2λ，λ)，＝(2，0，0)，＝(λ，2－2λ，λ)，因为点M到直线AC的距离为，则 ＝， 即λ2＋(2－2λ)2＋λ2＝， 即25λ2－40λ＋16＝0，解得λ＝，所以＝． [B组　在综合中考查关键能力] 3．解：(1)证明：因为E，F分别为BC，CD的中点，所以EF∥BD． 又BD⊄平面EFG，EF⊂平面EFG，则BD∥平面EFG． 又BD⊂平面ABD，平面ABD∩平面EFG＝GH，所以BD∥GH． (2)由(1)知，BD∥平面EFG， 则点B到平面EFG的距离即为BD到平面EFG的距离，连接EA，ED，由△ABC，△BCD均为正三角形，E为BC的中点，得EA⊥BC，ED⊥BC． 又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AE⊂平面ABC，于是AE⊥平面BCD，又ED⊂平面BCD，则EA⊥ED． 以点E为原点，EB，ED，EA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则B，F，A，D(0，2，0)， 又＝2，可得G， 所以＝＝＝， 设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)， 则 令y＝1，得n＝是平面EFG的一个法向量， 设点B到平面EFG的距离为d，则d＝＝＝， 所以BD到平面EFG的距离为． 4．解：(1)证明：因为AB＝AC＝2，BC＝2，所以AB2＋AC2＝BC2，即AB⊥AC． 如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系， 则A1(0，0，2)，B1(2，0，2)，M(0，2，1)，N(1，1，0)， 可得＝λ＝(2λ，0，0)，＝＝(0，0，2)＋(2λ，0，0)＝(2λ，0，2)， 即P(2λ，0，2)，＝(1－2λ，1，－2)， 又因为＝(0，2，1)，可得＝0， 所以无论λ取何值，AM⊥PN． (2)由(1)可知，＝(0，2，1)，＝(1，1，0)， 设平面AMN的法向量为m＝(x，y，z)， 则 取y＝1，则x＝－1，z＝－2，可得m＝(－1，1，－2)是平面AMN的一个法向量， 可得sin θ＝＝ ＝， 令t＝λ＋2，因为λ∈[0，1]，所以t∈， 则sin θ＝ ＝， 所以当t＝2，即λ＝0时，θ取得最小值，此时sin θ＝． (3)假设存在，易知平面ABC的一个法向量为u＝(0，0，1)． 因为＝(1，－1，－1)，＝(1－2λ，1，－2)， 设n＝是平面PMN的法向量， 则 令a＝3，可得c＝2－2λ，b＝1＋2λ，可得n＝， 则＝ ＝＝， 化简得8λ2－22λ＋5＝0，解得λ＝或λ＝， 因为λ∈，可得λ＝， 所以存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成二面角的正弦值为，点P为线段A1B1上靠近A1的四等分点． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$