课后作业37 数列的综合应用-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word

课后作业(三十七)　数列的综合应用 1．(2025·福建福州期中)记数列的前n项和为Sn，Sn＝(n＋1)an－n(n＋1)． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为Tn，证明：≤Tn<． 2．(2021·新高考Ⅱ卷)记Sn为公差不为零的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4．求： (1)数列{an}的通项公式； (2)使得Sn>an成立的n的最小值． 3．容器A内装有6 L质量分数为20%的盐水溶液，容器B内装有4 L质量分数为5%的盐水溶液，先将A内的盐水倒1 L进入B内，再将B内的盐水倒1 L进入A内，称为一次操作．这样反复操作n次，A，B容器内的盐水的质量分数分别为an，bn． (1)求a1，b1，并证明{an－bn}是等比数列； (2)至少操作多少次，A，B两容器内的盐水浓度之差小于1%？(取lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) (3)求an，bn的表达式． 4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－an． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且2bn＝(n－2)·(an－1)，若Tn≥λbn对于n∈N*恒成立，求λ的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课后作业（三十七） [A组在基础中考查学科功底] 1.解：(1)因为Sm=(n+1)an一nn十1)， 当n≥2时，Sm-1=nan-1一n(n-1), an=S-Sn-1=(n+1)an-n(n+1)-nan-1+n(n-1)=(n+1)an-nan-1-2n, 故naw=nan-1+2n,即an-an-1=2, 当n=1时，有a1=S=(1+1)a-1×2,即a4=2, 故{am}是首项、公差均为2的等差数列，故an=2+2(n-1)=2n. (2)证明：由(1)得am=2n, 故本=2=（贵本）， 则1=(1支+含-专+号含++合市)=(1本） 国为T=(1动)，故I 又y=市在1，十∞)上单调递减， 故I=(1本)随n的增大而增大， 故Tm≥T=(1克)=音， 综上，合≤Tn 2.解：(1)设等差数列{a}的公差为dd≠0)， a+2d=5a+d1 六(a+d)(a+3d)=4a+4d,@ 由①得a十2d=0→a=-2d,代入②得(-)·d=-8d+6cd=-2d=0, d≠0，∴.d=2,∴.a=-4,.a,=-4+2(n-1)=2n-6. 2S,=-4n+49.2=2-5n, 2 由Sm>aw→n2-5n>2n-6,∴.m2-7n+6>0,(n-1n-6)>0, ∴n>6,,n∈N,故n的最小值为7. B组在综合中考查关键能 3.解：1)由题意，1=专（专+4×六）=务 1/3 ·独家授权侵权必究· 学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 a=含（元+5×）=. b+1=2地，am+1=吉5an十b+）=262地 ∴am+1-bm+1=号(an一b),又a一b1=0,∴{a一bn}是以b为首项，号为公比的 等比数列 2)由()加a-b=t×()1, “b×()1<1%, ∴n-1>1gg2≈5.7， .n≥7，故至少操作7次 6:b+1=号[b+六×(3)2+4h], b+1b,=品x()只， ∴.bm=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bm-bm-1) =亲+品×[+()+…+（仔）1] =-品×()”+. ∴a=b+市×()=最×（居）”+0. 4.解：(1).Sn=n-an, ∴.Sm-1=(n-1)-am-1(n≥2)， 两式作差得2an=am-1十1(n≥2)， ∴an-1=(am-1-10n≥2)， 当n=1时，S1=1一a, am-1=-, 六a,一1}是首项为-克，公比为的等比数列，故a=1-(生)” (2).2bw=(n-2)(am-1), 6=2-0()1, T=+b+…+bm=1×()2+0×(3)3+(-1)×(3)+…+(2-m (经)1，① 2/3 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 含，=1×()+0×（生）+(-1)×(3)°+…+2-m(经) ② 两式作差得江。=1×（生）2-[（经）3+（佳）++（生）肿]-2-m()2, 化简得Tw=品， :Tw≥bn恒成立， 2帝≥2-m）2南，n≥1(2-m, 当n=1时，1≤1： 当n=2时，1∈R: 当n≥3时，≥费=-=-(1+品)， 而-（1+)<-1，≥-1， 综上所述，一1≤≤1. 3/3 ·独家授权侵权必究·