课后作业34 等差数列-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word

课后作业(三十四)　等差数列 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共90分 一、单项选择题 1．记等差数列的前n项和为Sn．若a5＝7，a10＝2，则S14＝(　　) A．49 B．63 C．70 D．126 2．(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5＝S10，a5＝1，则a1＝(　　) A． B． C．－ D．－ 3．已知数列为等差数列，且a1＝1，a4＝－，则a2 025＝(　　) A． B．－ C． D．－ 4．(2024·浙江绍兴二模)已知等差数列的前n项和为Sn，且＝6，则a7－a4＝(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 5．设Sn是等差数列{an}的前n项和．若＝，则＝(　　) A． B． C．2 D．3 6．若2a＝3，2b＝6，2c＝12，则(　　) A．a，b，c是等差数列 B．a，b，c是等比数列 C．是等差数列 D．是等比数列 7．(2025·湖南长沙模拟)设等差数列{an}的公差为d，则“0<a1<d”是“为递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　) A．3 699块 B．3 474块 C．3 402块 D．3 339块 二、多项选择题 9．公差为d的等差数列{an}，其前n项和为Sn，S11＞0，S12＜0，则下列说法正确的有(　　) A．d＞0 B．a7＞0 C．{Sn}中S6最大 D．|a4|＜|a9| 10．已知数列的首项a1＝1，an－an＋1＝anan＋1，则(　　) A．为等差数列 B．a10＝10 C．为递增数列 D．的前20项和为10 三、填空题 11．(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________． 12．在等差数列{an}中，a2＝，a3＋a4＝4，设bn＝[an]，[x]表示不超过x的最大整数，如[0.2]＝0，[3.5]＝3，则数列{bn}的前6项和S6＝________． 四、解答题 13． (2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1． (1)证明：{an}是等差数列； (2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值． 14．(2023·新高考Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d，且d＞1．令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和． (1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； (2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课后作业(三十四)　 [A组　在基础中考查学科功底] 1．B　[因为是等差数列，故a1＋a14＝a5＋a10＝9，所以S14＝＝63．故选B．] 2．B　[由S10－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝5a8＝0，则a8＝0， 则等差数列{an}的公差d＝＝－，故a1＝a5－4d＝1－4×＝． 故选B．] 3．D　[因为数列为等差数列，且a1＝1，a4＝－，所以＝1，＝4， 设该等差数列的公差为d，则3d＝4－1＝3，即d＝1， 则＝1＋2 024d＝2 025， 所以a2 025＝－．故选D．] 4．D　[由题意设等差数列的首项、公差分别为a1，d，因为＝(2a1＋d)＝d＝6，所以d＝4，从而a7－a4＝3d＝12．故选D．] 5．D　[∵＝，∴＝＝＝＝3．故选D．] 6．A　[因为2a＝3，2b＝6，2c＝12， 所以a＝log23，b＝log26，c＝log212， 则2b＝a＋c，故a，b，c是等差数列．故选A．] 7．A　[因为an＝a1＋(n－1)d，所以＝＋d， 当0＜a1＜d时，a1－d＜0，而＞，则＜，因此＜，所以为递增数列，故充分性成立；当为递增数列时，＜，即有＜，整理得a1＜d，不能推出0＜a1＜d，故必要性不成立，所以“0<a1<d”是“为递增数列”的充分不必要条件．故选A．] 8．C　[由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列，记为{an}，易知其首项a1＝9，公差d＝9，所以an＝a1＋(n－1)d＝9n．设数列{an}的前n项和为Sn，由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差数列，所以2(S2n－Sn)＝Sn＋S3n－S2n，所以(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝S2n－2Sn＝－2×＝9n2＝729，得n＝9，所以三层共有扇面形石板的块数为S3n＝＝＝3 402．故选C．] 9．CD　[由S11＝＝11a6＞0，得a6＞0，又S12＝＝6(a6＋a7)＜0，得a6＋a7＜0， ∴a6＞0，a7＜0，d＜0，∴数列{an}是递减数列，其前6项为正数，从第7项起均为负数，因此前六项和最大，∴a4＞0，a9＜0，|a4|－|a9|＝a4＋a9＝a6＋a7＜0，即|a4|＜|a9|，故A、B错误，C、D正确．] 10．AD　[A选项，因为an－an＋1＝anan＋1，所以＝1，所以是公差为1的等差数列，A正确； B选项，因为a1＝1，所以＝1，故＝1＋＝n，故an＝， 则a10＝，B错误； C选项，an＝，当n≥2时，an－an－1＝<0，为递减数列，C错误； D选项，当n为奇数时，＝－n，当n为偶数时，＝n， 所以的前20项和为－1＋2－3＋4－…－19＋20＝＋…＋＝10，D正确．故选AD．] 11．2　[由2S3＝3S2＋6可得2＝3·＋6，化简得2a3＝a1＋a2＋6， 即2＝2a1＋d＋6，解得d＝2．] 12．10　[设等差数列{an}的公差为d，则a3＋a4＝2a2＋3d＝＋3d＝4，即d＝，所以an＝a2＋(n－2)d＝n，故a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，a6＝3，所以b1＝b2＝b3＝1，b4＝b5＝2，b6＝3，则数列{bn}的前6项和S6＝10．] 13．解：(1)证明：因为＋n＝2an＋1， 即2Sn＋n2＝2nan＋n，① 当n≥2时，2Sn－1＋＝2an－1＋，② ①－②得，2Sn＋n2－2Sn－1－＝2nan＋n－2an－1－， 即2an＋2n－1＝2nan－2an－1＋1， 即2an－2an－1＝2， 所以an－an－1＝1，n≥2且n∈N*， 所以是以1为公差的等差数列． (2)由(1)可得a4＝a1＋3，a7＝a1＋6，a9＝a1＋8， 又a4，a7，a9成等比数列，所以＝a4 ·a9， 即＝，解得a1＝－12， 所以Sn＝－12n＋＝n2－n ＝－， 所以当n＝12或n＝13时，＝－78． [B组　在综合中考查关键能力] 14．解：(1)因为3a2＝3a1＋a3，所以3(a2－a1)＝a1＋2d，所以3d＝a1＋2d，所以a1＝d， 所以an＝nd． 因为bn＝，所以bn＝＝， 所以S3＝＝＝6d，T3＝b1＋b2＋b3＝＝． 因为S3＋T3＝21， 所以6d＋＝21，解得d＝3或d＝， 因为d＞1，所以d＝3． 所以{an}的通项公式为an＝3n． (2)因为bn＝，且{bn}为等差数列， 所以2b2＝b1＋b3，即2×＝， 所以＝， 所以－3a1d＋2d2＝0， 解得a1＝d或a1＝2d． ①当a1＝d时，an＝nd，所以bn＝＝＝， S99＝＝＝99×50d， T99＝＝＝． 因为S99－T99＝99， 所以99×50d－＝99， 即50d2－d－51＝0， 解得d＝或d＝－1(舍去)． ②当a1＝2d时，an＝(n＋1)d，所以bn＝＝＝， S99＝＝＝99×51d， T99＝＝＝． 因为S99－T99＝99， 所以99×51d－＝99， 即51d2－d－50＝0， 解得d＝－(舍去)或d＝1(舍去)． 综上，d＝． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$