课后作业31 平面向量的数量积及其应用-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word

课后作业(三十一)　平面向量的数量积及其应用 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共72分 一、单项选择题 1．已知向量a，b夹角的余弦值为－，且|a|＝4，|b|＝1，则(a－b)·(b－2a)＝(　　) A．－36 B．－12 C．6 D．36 2．(2025·广东深圳模拟)已知向量a，b的夹角为45°，＝1，＝，则＝(　　) A． B． C． D．5 3．(2025·山东威海模拟)若平面向量a，b满足＝＝1，＝，则向量a，b夹角的余弦值为(　　) A． B．－ C． D．－ 4．(2024·浙江温州一模)已知向量a＝，b＝，则a在b上的投影向量的坐标是(　　) A． B． C． D． 5．(2025·广东深圳模拟)已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个不共线．若＝，则直线AD一定经过三角形ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 6．(2025·河北沧州模拟)已知e1，e2是单位向量，且它们的夹角是60°，若a＝2e1＋e2，b＝λe1－e2，且a⊥b，则λ＝(　　) A． B． C．1 D．2 二、多项选择题 7．(2024·山东聊城二模)已知向量a＝，b＝，若b在a上的投影向量为a，则(　　) A．λ＝3 B．a∥b C．a⊥ D．a与b的夹角为45° 8．已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos (α＋β)，sin (α＋β))，A(1，0)，则(　　) A．||＝|| B．||＝|| C．＝ D．＝ 三、填空题 9．已知O(0，0)，A(1，2)，B(3，－1)，若向量m∥，且m与的夹角为钝角，写出一个满足条件的m的坐标为________． 10．(2021·新高考Ⅱ卷)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝________． 11．如图，在菱形ABCD中，若AC＝4，则＝(　　) A．8 B．－8 C．4 D．－4 12．已知非零向量满足＝，且＝，则△ABC为(　　) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 13．(2024·四川成都诊断)已知平面向量a，b，c满足a·b＝0，|a|＝|b|＝1，(c－a)·(c－b)＝，则|c－a|的最大值为(　　) A． B．1＋ C． D．2 14．已知△ABC的面积S满足≤2S≤3，且＝3，与的夹角为θ，则与夹角的取值范围为________． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课后作业(三十一) [A组　在基础中考查学科功底] 1．A　[(a－b)·(b－2a)＝a·b－2a2－b2＋2a·b ＝3a·b－b2－2a2 ＝3×4×1×－1－2×16＝－36．] 2．A　[由题意知， ＝＝ ＝＝．故选A．] 3．A　[设向量a，b夹角为θ， ＝两边平方得a2＋b2＋2a·b＝5， 又＝＝1，即2＋1＋2××1×cos θ＝5，解得cos θ＝．故选A．] 4．B　[a在b上的投影向量为cos 〈a，b〉＝b＝b＝－b＝，故选B．] 5．D　[因为＝，所以＝＝＝0， 即⊥，所以AD⊥CB，即直线AD一定经过三角形ABC的边BC上的高，即直线AD一定经过三角形ABC的垂心． 故选D．] 6．B　[由a⊥b得，a·b＝(2e1＋e2)·(λe1－e2)＝＝0，即2λ＋－1＝0，解得λ＝，故选B．] 7．ACD　[对于A，因为b在a上的投影向量为a，即＝a，所以＝1，即＝1，解得λ＝3，故A正确；对于B，a＝，b＝，所以(－1)×3－2×1≠0，故B错误；对于C，a·＝(－1，2)·(2，1)＝－2＋2＝0，所以a⊥，故C正确； 对于D，cos 〈a，b〉＝＝＝，所以a与b的夹角为45°，故D正确． 故选ACD．] 8．AC　[由题可知，||＝＝1，||＝所以||＝||，故A正确； 取α＝，则P1，取β＝， 则P2，则||≠||，故B错误； 因为＝cos (α＋β)，＝cos αcos β－sin αsin β＝cos (α＋β)，所以＝，故C正确； 因为＝cos α，＝cos βcos (α＋β)－sin βsin (α＋β)＝cos (α＋2β)，取α＝，β＝， 则＝＝cos ＝－，所以≠，故D错误．故选AC．] 9．(－1，－2)(答案不唯一)　[根据题意可得：＝(1，2)，＝(3，－1)，设m＝(x，y)，因为向量m∥，且m与的夹角为钝角，所以所以x<0，不妨令x＝－1，所以y＝－2，m＝(－1，－2)．] 10．－　[法一：由a＋b＋c＝0⇒(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝0， ∴a·b＋b·c＋a·c＝－． 法二：由a＋b＝－c⇒a2＋b2＋2a·b＝c2⇒a·b＝－， 由a＋c＝－b⇒a2＋c2＋2a·c＝b2⇒a·c＝－， 由b＋c＝－a⇒b2＋c2＋2b·c＝a2⇒b·c＝－， ∴a·b＋b·c＋c·a＝－．] [B组　在综合中考查关键能力] 11．B　[法一：＝－＝－cos ∠CAB，因为四边形ABCD为菱形，所以2AO＝AC＝4，且AC⊥BO，所以cos ∠CAB＝AO＝2，所以＝×2＝－8．故选B． 法二：建系如图所示，由AC＝4，可知A(－2，0)，C(2，0)，设B(0，－b)，则＝(－4，0)，＝(2，－b)，∴＝－8．故选B． ] 12．D　[∵＝，∴＝，∴cos 〈〉＝cos 〈〉， ∴∠B＝∠C，∴△ABC为等腰三角形，又∵＝，∴cos 〈〉＝，∴cos A＝，又A∈(0，π)，∴A＝，∴△ABC为等边三角形．故选D．] 13．B　[依题意，不妨设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)， 则(c－a)·(c－b)＝(x－1，y)·(x，y－1)＝x2＋y2－x－y＝， 即(x，y)满足＋＝1． 而|c－a|可以看作圆＋＝1上的一点到点(1，0)的距离， 所以|c－a|的最大值即为＋1＝1＋，故选B．] 14． 　[∵＝3， ∴的夹角θ为锐角， 则||||cos θ＝3，∴||||＝， 又S∈，∴||||sin (π－θ)≤， ∴||||sin θ≤， ∴tan θ≤，∴≤tan θ≤1， ∴≤θ≤， ∴与夹角的取值范围为 ．] 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$