课后作业27 三角形中的中线、高线、角平分线-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word

课后作业(二十七) [A组　在基础中考查学科功底] 1．C　[如图，＝)， ∴＝＋＋2)， ∴＝(c2＋9＋3c)， ∴c＝5(负值舍去)， 由余弦定理得，BC2＝b2＋c2－2bc cos ∠BAC ＝9＋25－2×3×5×＝19， ∴BC＝.] 2．D　[因为b＝3，c＝3，B＝30°， 所以由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B， 可得9＝a2＋27－2×a×3， 整理可得a2－9a＋18＝0，又a>b， 所以a＝6.S△ABC＝ac sin B＝， 所以AC边上的高线的长为＝3. 故选D.] 3．B　[因为S△ABC＝S△ABD＋S△ADC， 所以×AB×AC×sin 120°＝×AB×AD×sin 60°＋×AD×AC×sin 60°， 即AB×AC＝AB×AD＋AD×AC，代入AB＝2，AD＝，可得2×AC＝2×AC， 则×AC＝4，解得AC＝.故选B.] 4．B　[∵B＝，∴在△ABD中，由余弦定理得 c2＋－2c×cos ＝1，即a2＋4c2－2ac＝4， 又S△ABC＝ac sin B＝ac＝， 解得ac＝2①， ∴a2＋4c2－2ac＝4＝2ac，即4c2－4ac＋a2＝0， ∴(2c－a)2＝0，即a＝2c②， 将②代入①得2c2＝2，解得c＝1或c＝－1(不合题意，舍去)．故选B.] 5．A　[因为E是BC边的中点，所以＝)， 所以＝＋＋2)， 所以＝(||2＋||2＋2||·||·cos 120°)， 所以＝(4＋－2)， 即－2＋1＝0，得＝1， 因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD＝∠CAD＝60°， 因为S△ABC＝S△ABD＋S△ACD， 所以AB·AC sin ∠BAC＝AB·AD sin ∠BAD＋AC·AD sin ∠CAD， 所以×2×1×＝×2AD××AD×， 所以2＝3AD，得AD＝. 故选A.] 6．D　[法一：因为AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，由余弦定理可得 BC＝ ＝＝， 因为＝)，所以 ||＝＝＝， 由余弦定理的推论可得 cos ∠ABC＝＝＝－，由＝)，可得 ||＝ ＝＝， 由重心的性质可得AP＝AM＝， BP＝BN＝， 在△APB中，由余弦定理的推论可得cos ∠APB＝＝＝.故选D. 法二：以A为坐标原点，为x轴正方向，建立平面直角坐标系，得A(0，0)，C(5，0)，B(1，)． 由题意P为△ABC的重心，故P，所以＝＝，所以cos ∠APB＝＝＝.故选D.] 7．ABC　[对于A，由题意及余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos ∠BAC＝22＋32－2×2×3×＝7，BC＝，故A正确； 对于B，由A结合正弦定理可知△ABC的外接圆半径为R＝＝＝，故B正确； 对于C，当AD为∠BAC的角平分线时，则由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD， 得AB×AC sin ∠BAC＝AB×AD sin ∠BAD＋AD×AC sin ∠CAD，所以×2×3sin ＝×2×AD sin AD×3sin ， 即＝AD＋AD，AD＝，故C正确； 对于D，当D为BC中点时，有＝， 所以＝＝＋＋＝×22＋×32＋×2×3cos ＝1＋＝， 所以AD2＝⇒AD＝，故D错误． 故选ABC.] 8．AD　[对于A，由余弦定理的推论得cos A＝＝，即b2＋a2＝c2， 所以C＝，又cos B＝，B为三角形内角， 所以sin B＝，cos ∠BAC＝＝2cos2∠CAD－1，解得cos∠CAD＝(负舍)． 在Rt△ACD中，AC＝AD cos ∠CAD＝2，故A正确； 对于B，在Rt△ABC中，cos ∠BAC＝＝，代入AC＝2，解得AB＝，故B错误； 对于C，＝ ＝，解得＝＝，故C错误； 对于D，S△ABD＝AD·AB·sin ∠BAD＝＝，故D正确．故选AD.] 9．2　[由余弦定理的推论得cos 60°＝，整理得AC2－2AC－2＝0，得AC＝1＋(舍负)． 因为S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，所以×2AC sin 60°＝×2AD sin 30°＋AC·AD sin 30°，所以AD＝＝＝2.] 10．2 　[在△ABM中， AM2＝BA2＋BM2－2BA·BM cos 60°， ∴(2)2＝22＋BM2－2×2×BM×， ∴BM2－2BM－8＝0，解得BM＝4或－2(舍去)． ∵点M是BC中点，∴MC＝4，BC＝8，在△ABC中，AC2＝22＋82－2×2×8cos 60°＝52，∴AC＝2. 在△AMC中，cos ∠MAC＝ ＝.] 11．解：(1)因为＝，由正弦定理得＝，整理得a2－ac＝b2－c2，即a2＋c2－b2＝ac， 又由余弦定理的推论得cos B＝＝. 因为B∈(0，π)，所以B＝. (2)如图所示，因为S△ABC＝S△ABD＋S△BCD， 所以S△ABC＝BD·c sin BD·a sin ＝(a＋c)． 又因为S△ABC＝ac sin ＝ac，所以(a＋c)＝ac. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos ＝(a＋c)2－3ac＝6， 联立方程组可得3(ac)2－3ac＝6，即(ac)2－ac－2＝0， 解得ac＝2或ac＝－1(舍去)， 所以S△ABC＝ac sin B＝ac＝. 12．解：(1)由a2＋b2(1－4cos2B)＝－ab， 有a2＋b2－4b2cos2B＝－ab， 又c＝2b cosB，所以c2＝4b2cos2B， 即a2＋b2－c2＝－ab， 由余弦定理的推论，得 cosC＝＝＝－， 又C∈(0，π)，所以C＝， 由c＝2b cos B及正弦定理，得 sin C＝2sin B cos B， 所以sin 2B＝， 由B∈，得2B∈， 所以2B＝，解得B＝. (2)由(1)可知B＝，C＝， 所以A＝π－＝， 所以a＝b， 由c＝2b cos B，得c＝a. 因为△ABC的周长为4＋2， 所以a＋a＋a＝4＋2，解得a＝2. 设BC的中点为D， 则CD＝BC＝1， 如图所示． 在△ACD中由余弦定理，得 AD＝ ＝＝， 所以BC边上中线的长为. [B组　在综合中考查关键能力] 13．解：(1)在△ABC中，＝sin A tan ，由正弦定理和同角三角函数的关系， 得＝， 由倍角公式得＝. 又因为A，C为△ABC的内角， 所以A∈∈， 所以sin A≠0，cos ≠0. 所以sin2＝，sin＝， 则有＝，得C＝. (2)法一：因为a＝8，b＝5，C＝， 所以＝b2＝25，＝a2＝64， ＝·cos ∠ACB ＝ba cos ∠ACB＝5×8×cos ＝20， 由题意知CH⊥AB， 所以＝0， 即＝(m－n)()－m＋n＝20(m－n)－25m＋64n＝0. 所以5m＝44n，所以＝. 法二：在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos ∠ACB＝82＋52－2×8×5×＝49， 所以c＝7. 又因为S△ABC＝ab sin ∠ACB＝c·CH， 所以CH＝＝＝. 所以AH＝＝＝. 所以＝＝＝. 由平面向量基本定理知，m＝，n＝， 所以＝. 6 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课后作业(二十七)　三角形中的中线、高线、角平分线 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共93分 一、单项选择题 1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且∠BAC＝60°，b＝3，AD为BC边上的中线，若AD＝，则BC的长为(　　) A．7　　　 B．3　　　 C．　　　 D．3 2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＝3，c＝3，B＝30°，a>b，则AC边上的高线的长为(　　) A． B． C． D．3 3．(2024·辽宁丹东二模)在△ABC中，点D在BC边上，AD平分∠BAC，∠BAC＝120°，AB＝2，AD＝，则AC＝(　　) A．2 B． C．3 D．2 4．如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为BC的中点，AD＝1，B＝，且△ABC的面积为，则c＝(　　) A． B．1 C．2 D．3 5．(2025·湖北鄂州模拟)在△ABC中，AB＝2，E是BC边的中点，线段AE的长为 ，∠BAC＝120°，D是BC边上一点，AD是∠BAC的平分线，则AD＝(　　) A． B．1 C．2 D． 6．(教材改编)如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则∠APB的余弦值为(　　) A． B． C． D． 二、多项选择题 7．(2024·辽宁葫芦岛期末)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，A＝，D为边BC上一动点，则(　　) A．BC＝ B．△ABC的外接圆半径为 C．当AD为∠BAC的角平分线时，AD＝ D．当D为BC中点时，AD＝ 8．(2025·山东潍坊模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos A＝，∠BAC的平分线交BC于点D，AD＝，cos B＝，则下列说法正确的是(　　) A．AC＝2 B．AB＝ C．＝ D．△ABD的面积为 三、填空题 9．(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝________． 10．(2021·浙江高考)在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2，则AC＝________；cos ∠MAC＝________． 四、解答题 11．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝. (1)求B； (2)若b＝，∠ABC的平分线交AC于点D，BD＝1，求△ABC的面积． 12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＋b2(1－4cos2B)＝－ab，且c＝2b cosB. (1)求B； (2)若△ABC的周长为4＋2，求BC边上中线的长． 13．(2024·山东枣庄一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝sin A tan . (1)求C； (2)若a＝8，b＝5，CH是边AB上的高，且＝m＋n，求. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$