课后作业23 简单的三角恒等变换-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word

课后作业(二十三)　简单的三角恒等变换 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共85分 一、单项选择题 1．(2024·湖南邵阳二模)已知α为锐角，若sin α＝，则cos2＝(　　) A． B． C． D． 2．(2025·河北张家口模拟)已知cos ＝－，θ是第四象限角，则tan ＝(　　) A． B．－ C． D．－ 3．(2025·湖南长沙模拟)已知cos ＋sin α＝，则cos ＝(　　) A．－ B．－ C． D． 4．(2025·山东济南模拟)已知α，β为锐角，tan＝，sin αsin β＝，则sin ＝(　　) A． B． C． D． 5．(2024·河南驻马店期末)已知tan α＝2，则＝(　　) A．－ B． C．－ D． 6．公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割比约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°，若4m2＋n＝16，则的值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 二、多项选择题 7．已知sin α＝－，π＜α＜，则下列选项正确的是(　　) A．sin 2α＝－ B．sin ＝ C．cos ＝－ D．tan ＝－2 8．(2025·山西大同模拟)若0<α<β<，且cos αcos β＝，tan αtan β＝，则(　　) A．cos ＝ B．sin ＝－ C．cos 2α＝ D．β< 三、填空题 9．已知α，β∈(0，π)，tan ＝，sin (α－β)＝，则cos β＝________． 10．已知函数f (x)＝sin x－2cos x，设当x＝θ时，f (x)取得最大值，则cos θ＝________． 四、解答题 11．已知α∈，β∈，cos β＝，且tan (2α＋β)＝3. (1)求tan 2α的值； (2)求α＋β的值． 12．已知6sin2α＋sin αcos α－2cos2α＝0，α∈.求： (1)tan α； (2)sin . 13．(2025·广东肇庆模拟)通过两角和的正、余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式．例如：cos 3α＝4cos3α－3cos α. (1)根据上述结论，推导出sin 3α关于sin α的表达式； (2)求sin 18°的值； (3)求sin3126°＋sin36°－sin366°的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课后作业(二十三) [A组　在基础中考查学科功底] 1．A　[已知α为锐角，若sin α＝， 则cos α＝＝， 所以cos2＝＝＝. 故选A.] 2．D　[由cos ＝－可得－cos θ＝－，故cos θ＝，由于θ是第四象限角，故sin θ＝－， ∴tan ＝＝＝＝－. 故选D.] 3．B　[由cos ＋sin α＝， 可得cos α－sin α＋sin α＝， 即sin α＋cos α＝，可得sin ＝， 所以cos ＝cos ＝－cos ＝2sin2－1＝－. 故选B.] 4．D　[因为α，β为锐角，所以α－β∈，α＋β∈∈， 又tan ＝＝， 所以cos＝＝cos αcos β＋sin αsin β， 而sin αsin β＝，所以cos αcos β＝， 所以cos ＝cos αcos β－sin αsin β＝＝－＝1－2sin2， 因此sin＝＝.故选D.] 5．A　[＝ ＝＝ ＝ ＝＝－.故选A.] 6．C　[因为m＝2sin18°， 所以由4m2＋n＝16，可得n＝16－4(2sin 18°)2＝16cos218°， 因此＝＝＝＝4.] 7．BCD　[因为sin α＝－，π＜α＜，所以cos α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×＝，故A错误；因为＜＜，所以sin ＝＝＝， cos ＝－＝－＝－， tan ＝＝－2， 故BCD均正确．] 8．BD　[由题意可得sin αsin β＝cos αcos β tan αtan β＝， 所以cos ＝cos αcos β－sin αsin β＝，故A错误； cos ＝cos αcos β＋sin αsin β＝， 因为0<α<β<， 所以－<α－β<0， 所以sin (α－β)＝－＝－，故B正确； 因为0<α<β<，且cos(α＋β)＝， 所以sin ＝＝， 所以cos 2α＝cos ＝cos (α＋β)cos (α－β)－sin (α＋β)sin (α－β)＝，故C错误； cos 2β＝cos ＝cos cos ＋sin sin (α－β)＝， 即cos 2β＝>>－＝cos ， 因为0<β<，所以0<2β<π， 故2β<，所以β<，故D正确．故选BD.] 9．　[∵tan ＝， ∴sin α＝＝＝， cos α＝＝＝， ∵α，β∈(0，π)，cosα＞0，∴α∈， ∴α－β∈， ∵sin (α－β)＝＞0，∴α－β∈， ∴cos (α－β)＝， ∴cos β＝cos (－β)＝cos [(α－β)－α] ＝cos (α－β)cos α＋sin (α－β)sin α ＝＝.] 10．－　[f (x)＝sin x－2cos x＝sin (x－φ)， 其中cos φ＝，sin φ＝， 则f (θ)＝sin (θ－φ)＝， 因此θ－φ＝＋2kπ，k∈Z， 则cos θ＝cos ＝－sin φ＝－.] 11．解：(1)∵β∈(0，π)，且cos β＝， ∴sin β＝＝＝， ∴tan β＝＝. 又∵tan (2α＋β)＝3， ∴tan 2α＝tan [(2α＋β)－β]＝＝＝. (2)∵tan 2α＝＝，∴2tan2α＋3tan α－2＝0， ∴tan α＝或tan α＝－2， ∵α∈，∴tan α＝， 又∵tan β＝， ∴tan (α＋β)＝＝＝1， ∵tan β＝，且β∈(0，π)，∴β∈， 又∵α∈，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝. 12．解：(1)∵6sin2α＋sin αcos α－2cos2α ＝＝＝0， 即6tan2α＋tan α－2＝0，解得tan α＝－或tan α＝，∵α∈，∴tan α＝－. (2)∵sin 2α＝＝＝－， cos 2α＝＝＝， ∴sin＝sin 2αcos ＋cos 2αsin ＝－＝. [B组　在综合中考查关键能力] 13．解：(1)sin3α＝sin ＝sin α·cos 2α＋cos α·sin 2α ＝sin α·＋cos α·2sin α·cos α ＝2sin α·cos2α－sinα＋2sin α·cos2α ＝4sin α·cos2α－sinα ＝4sin α·－sinα ＝－4sin3α＋3sin α. (2)∵36°＋54°＝90°，∴sin 36°＝cos 54°， 即sin ＝cos ， ∴2sin 18°·cos 18°＝4cos318°－3cos 18°， ∵cos 18°≠0，∴2sin 18°＝4cos218°－3， 即2sin 18°＝4－3， 整理得4sin218°＋2sin18°－1＝0，∵sin 18°>0， ∴sin 18°＝. (3)由(1)得sin3α＝sinα－sin 3α， ∴sin3126°＋sin36°－sin366° ＝sin126°－sin 378°＋sin 6°－sin 18°－sin 66°＋sin 198° ＝(sin 378°＋sin 18°－sin 198°) ＝ ＝ ＝－sin 18°＝. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$