课后作业22 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word

课后作业(二十二)　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共85分 一、单项选择题 1．cos2－cos2＝(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 2．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，角α的终边经过点(3，4)，则sin 的值是(　　) A． B． C． D． 3．(2025·广东江门模拟)如图，α，β是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则α＋β＝(　　) A． B． C． D． 4．(2024·河南开封二模)已知sin x＋cos x＝，则cos ＝(　　) A．－ B． C． D．－ 5．已知cos α＋cos β＝，sin α－sin β＝，则cos (α＋β)的值为(　　) A．－ B． C．－ D． 6．已知α，β∈，若tan α，tan β是方程x2－4x＋5＝0的两根，则α＋β＝(　　) A．－或 B．－ C． D． 二、多项选择题 7．已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是(　　) A．cos (β－α)＝ B．cos (β－α)＝ C．β－α＝－ D．β－α＝ 8．(2025·山东济南模拟)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则(　　) A．tan θ＝－ B．cos 2θ＝－ C．tan ＝2 D．cos ＝ 三、填空题 9．(2024·浙江宁波十校联考)若sin ＝，则cos ＝________． 10．(2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin (α＋β)＝________． 四、解答题 11．在①tan(π＋α)＝3；②sin (π－α)－2sin ＝cos (－α)；③3sin ＝cos 中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题． 已知0<β<α<，________，cos (α＋β)＝－. (1)求sin ； (2)求β. 12．已知cos ＝－，sin ＝，且α∈，β∈.求： (1)cos 的值； (2)tan (α＋β)的值． 13．在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高．如图为室内5人制足球场示意图，设球场(矩形ABCD)长BC大约为40m，宽AB大约为20 m，球门长PQ大约为4 m．在某场比赛中有一位球员欲在边线BC上的点M处射门(假设球贴地直线运行)，求当张角∠PMQ最大时， BM的长大约为多少(精确到1 m)． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课后作业(二十二) [A组　在基础中考查学科功底] 1．D　[因为cos＝sin ＝sin ， 所以cos2－cos2＝cos2－sin2 ＝cos＝cos ＝.故选D.] 2．C　[由三角函数定义得sin α＝＝，cos α＝＝， 所以sin ＝sin αcos －cos αsin ＝＝. 故选C.] 3．B　[由题意及题图得，tan α＝，tan β＝， ∴tan (α＋β)＝＝＝1. ∵α∈，β∈，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.故选B.] 4．D　[∵sin x＋cos x＝，∴(sin x＋cos x)2＝1＋sin 2x＝， ∴sin 2x＝－，∴cos ＝sin 2x＝－. 故选D.] 5．C　[(cos α＋cos β)2＝cos2α＋2cos αcos β＋cos2β＝， (sinα－sin β)2＝sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝， 两式相加得2＋2(cos αcos β－sin αsin β) ＝2＋2cos (α＋β)＝＝， ∴cos (α＋β)＝－.故选C.] 6．C　[由tan α，tan β是方程x2－4x＋5＝0的两根可得 tan α＋tan β＝4，tan α·tan β＝5. 所以tan α，tan β均为正数， 又α，β∈，故α，β∈， 所以tan (α＋β)＝＝＝－. 又α＋β∈(0，π)．故α＋β＝.故选C.] 7．AD　[由题意知，sin γ＝sin β－sin α， cos γ＝cos α－cos β， 将两式分别平方后相加， 得1＝(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2 ＝2－2(sin βsin α＋cos βcos α)， ∴cos (β－α)＝，即选项A正确，B错误； ∵γ∈， ∴sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，而α，β∈， ∴0<β－α<，∴β－α＝，即选项D正确，C错误．] 8．BC　[由sin θ＋cos θ＝得(sin θ＋cos θ)2＝， 则2sin θcos θ＝－. 因为θ∈(0，π)，2sin θcos θ＝－<0， 所以θ∈，所以sin θ－cos θ＝ ＝＝， 由解得 对于A，tan θ＝＝＝－，故A错误； 对于B，cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－＝－，故B正确； 对于C，因为θ∈，所以∈， 则tan>0， tan θ＝＝－， 即＝0， 解得tan ＝2或tan ＝－(舍去)，故C正确； 对于D，cos ＝cos θ·－sin θ·＝－＝－，故D错误．故选BC.] 9．　[令θ－＝α，则sin α＝， 所以cos ＝cos ＝cos ＝－cos 2α＝2sin2α－1＝2×－1＝.] 10．－　[法一：由题意得tan (α＋β)＝＝＝－2， 因为α∈，β∈，k，m∈Z，所以α＋β∈((2m＋2k)π＋π，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z， 又因为tan (α＋β)＝－2<0， 所以α＋β为第四象限角，则sin (α＋β)<0， 则＝－2，联立sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，解得sin(α＋β)＝－. 法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，所以cos α>0，cos β<0， cos α＝＝，cos β＝＝， 则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝cos αcos β(tan α＋tan β) ＝4cos αcos β＝ ＝＝＝－.] 11．解：(1)若选①，tan (π＋α)＝tan α＝＝3， 又因为sin2α＋cos2α＝1，0<α<， 所以sinα＝，cos α＝， 所以sin ＝sin αcos －cos αsin ＝＝. 若选②，因为sin (π－α)－2sin ＝cos (－α)，化简得sin α＝3cos α， 又因为sin2α＋cos2α＝1，0<α<，所以sinα＝，cos α＝， 所以sin ＝sin αcos －cos αsin ＝＝. 若选③，因为3sin ＝cos ，化简得3cos α＝sin α， 又因为sin2α＋cos2α＝1，0<α<，所以sinα＝，cos α＝， 所以sin ＝sin αcos －cos αsin ＝＝. (2)因为0<β<α<，且cos (α＋β)＝－，所以<α＋β<π， 所以sin (α＋β)＝＝， 所以sinβ＝sin [(α＋β)－α]＝＝， 又因为0<β<，所以β＝. 12．解：(1)∵α∈，β∈， ∴α－∈－β∈， ∵cos ＝－，sin ＝， ∴sin ＝＝， cos＝＝， ∴cos ＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝－＝－. (2)∵α∈，β∈， ∴α＋β∈，则∈， ∵cos ＝－， ∴sin ＝＝， ∴tan ＝－. ∴tan (α＋β)＝＝＝. [B组　在综合中考查关键能力] 13．解：由题意知，PB＝8，QB＝12，设∠PMB＝α，∠QMB＝β，BM＝x，则tan α＝，tan β＝，所以tan ∠PMQ＝tan (β－α)＝＝＝＝，当且仅当x＝，即x＝时取等号，又因为≈10，所以BM的长大约为10 m． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$