课后作业18 导数与函数的单调性-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word

课后作业(十八) A组　在基础中考查学科功底 1．C　[f (x)＝x2－4ln x＋2x－3的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝2x－＋2＝，由f ′(x)＜0得0＜x＜1，所以函数f (x)＝x2－4ln x＋2x－3的单调递减区间是(0，1)．故选C．] 2．D　[f ′(x)>0的解集对应y＝f (x)的单调递增区间，f ′(x)<0的解集对应y＝f (x)的单调递减区间，验证只有D项符合．] 3．C　[因为f (x)＝aex－ln x，所以f ′(x)＝aex－．因为函数f (x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，所以f ′(x)≥0在(1，2)上恒成立，即aex－≥0在(1，2)上恒成立，易知a>0，则0<≤xex在(1，2)上恒成立．设g(x)＝xex，则g′(x)＝(x＋1)ex．当x∈(1，2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以在(1，2)上，g(x)>g(1)＝e，所以≤e，即a≥＝e-1，故选C．] 4．D　[由题意得a＝＝，b＝ln ＝＝，c＝． 设f (x)＝(x＞0)，则f ′(x)＝， 当0<x<e时，f ′(x)>0，所以f (x)单调递增；当x>e时，f ′(x)<0，所以f (x)单调递减． 又e<3<4<e2，所以f (3)>f (4)>f (e2)，即<<，所以a<b<c．故选D．] 5．A　[令g(x)＝f (x)－2x＋4，则g′(x)＝f ′(x)－2>0，所以g(x)在R上单调递增． 又g(2)＝f (2)－2×2＋4＝0，则不等式f (x)－2x＋4>0等价于g(x)>g(2)，所以x>2，故选A．] 6．D　[y＝x2，y′＝2x，当x＝1时，y′＝2>y＝1，则y＝x2不符合“导减函数”的定义； y＝cos x，y′＝－sin x，当x＝π时，y′＝0>y＝－1，则y＝cos x不符合“导减函数”的定义； y＝logπx，y′＝，当x＝时，y′＝>0>y＝－1，则y＝logπx不符合“导减函数”的定义； y＝2x，y′＝2x ln 2<2x，则y＝2x符合“导减函数”的定义．故选D．] 7．BD　[依题意知，f ′(x)＝3ax2＋6x－1＝0有两个不相等的实数根，故 解得a>－3且a≠0． 故选BD．] 8．BCD　[对于A，f ′(x)＝cos x＋sin x， g(x)＝－sin x＋cos x＝－sin ， 当x∈时，sin <0， g(x)＝－sin >0，故A错误； 对于B，f ′(x)＝－3，g(x)＝－<0在上恒成立，故B正确； 对于C，f ′(x)＝－3x2＋3，g(x)＝－6x<0在上恒成立，故C正确； 对于D，f ′(x)＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x，g(x)＝－e－x－(1－x)e－x＝－(2－x)e－x， 因为x∈，所以2－x>0， 所以g(x)＝－(2－x)e－x<0在上恒成立，故D正确．] 9．(－1，1)　f (x)＝x3－x(答案不唯一) [由>0可得f ′(x)(x2－1)>0， 所以 或 所以当x<－1或x>1时，f ′(x)>0；当－1<x<1时，f ′(x)<0， 所以f (x)的单调递减区间为(－1，1)， 所以满足条件的一个函数可以为f (x)＝x3－x(答案不唯一)．] 10．　[由题意得当x>0时，f ′(x)＝ax ln a＋(1＋a)x ln (1＋a)＝ax≥0，设g(x)＝ln a＋ ln (1＋a)，因为ax>0，所以g(x)≥0． 因为a∈(0，1)，所以ln (1＋a)>0，＋1>1，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故只需满足g(0)≥0，即ln a＋ln (1＋a)＝ln (a＋a2)≥0，所以a＋a2≥1，解得a≤－或a≥，又0<a<1，所以a的取值范围为．] 11．解：(1)当a＝1时，f (x)＝(x－2)ex－x2＋x，得f (2)＝0， f ′(x)＝(x－1)ex－x＋1，则k＝f ′(2)＝e2－1， 所以所求切线方程为y＝(e2－1)(x－2)， 即(e2－1)x－y－2(e2－1)＝0． (2)f (x)＝(x－2)ex－ax2＋ax的定义域为R，可得f ′(x)＝(x－1)ex－ax＋a＝(x－1)(ex－a)， 当a≤0，x∈(－∞，1)时，f ′(x)<0，f (x)在(－∞，1)上单调递减， x∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0，f (x)在(1，＋∞)上单调递增． 当a>0时，由f ′(x)＝0，解得x1＝ln a，x2＝1， ①当ln a＝1，即a＝e时，f ′(x)≥0，则f (x)在R上单调递增； ②当ln a<1，即0<a<e时，在区间(－∞，ln a)，(1，＋∞)上，f ′(x)＞0； 在区间(ln a，1)上，f ′(x)＜0， 所以f (x)在(－∞，ln a)，(1，＋∞)上单调递增，在(ln a，1)上单调递减； ③当ln a>1，即a>e时， 在区间(－∞，1)，(ln a，＋∞)上，f ′(x)＞0，在区间(1，ln a)上，f ′(x)＜0， 所以f (x)在(－∞，1)，(ln a，＋∞)上单调递增，在(1，ln a)上单调递减． 12．解：(1)函数g(x)的定义域为(0，＋∞)， 则g′(x)＝2x＋－1≥0在(0，＋∞)上恒成立， 即a≥(－2x2＋x)max． 设y＝－2x2＋x＝－2＋，则ymax＝， 所以a≥，即实数a的取值范围是． (2)h(x)＝x2＋a ln x－(a＋2)x且定义域为(0，＋∞)， h′(x)＝2x＋－(a＋2)＝＝， 令h′(x)＝0，解得x1＝，x2＝1， 若a≤0，则≤0， 当x∈(0，1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增． 若0<a<2，则0＜＜1， 当x∈时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增， 当x∈时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增． 若a＝2，则h′(x)≥0在定义域内恒成立， 函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增． 若a>2，则＞1， 当x∈(0，1)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增； 当x∈时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减； 当x∈时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增． 综上所述， 当a≤0时，函数h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 当0<a<2时，函数h(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 当a＝2时，函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增． 当a>2时，函数h(x)在(0，1)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． B组　在综合中考查关键能力 13．解：(1)由题意知f (x)的定义域为R，f ′(x)＝3x2－2x＋a，对于f ′(x)＝0，Δ＝(－2)2－4×3a＝4(1－3a)． ①当a≥时，f ′(x)≥0，f (x)在R上单调递增； ②当a＜时，令f ′(x)＝0，即3x2－2x＋a＝0，解得x1＝，x2＝， 令f ′(x)＞0，则x＜x1或x＞x2； 令f ′(x)＜0，则x1＜x＜x2． 所以f (x)在(－∞，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增． 综上，当a≥时，f (x)在R上单调递增；当a＜时，f (x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． (2)设曲线y＝f (x)过坐标原点的切线为l，切点为＋ax0＋1)， 因为f ′(x0)＝－2x0＋a，所以切线l的方程为＋ax0＋1)＝－2x0＋a)(x－x0)． 由l过坐标原点，得－1＝0，解得x0＝1，所以切线l的方程为y＝(1＋a)x． 令x3－x2＋ax＋1＝(1＋a)x，则x3－x2－x＋1＝0，解得x＝±1． 所以曲线y＝f (x)过坐标原点的切线与曲线y＝f (x)的公共点的坐标为(1，1＋a)和(－1，－1－a)． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课后作业(十八)　导数与函数的单调性 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共93分 一、单项选择题 1．函数f (x)＝x2－4ln x＋2x－3的单调递减区间是(　　) A．(1，＋∞)　　 B．(－2，1) C．(0，1) D．(－∞，－2)和(1，＋∞) 2．函数y＝f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数y＝f (x)的图象可能是(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D 3．(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为(　　) A．e2　　 B．e C．e-1 D．e-2 4．(2025·四川成都模拟)设a＝，b＝ln ，c＝，则a，b，c的大小顺序为(　　) A．b<c<a　　 B．a<c<b C．c<a<b D．a<b<c 5．已知定义在R上的函数f (x)的导函数为f ′(x)，且对任意x∈R都有f ′(x)>2，f (2)＝0，则不等式f (x)－2x＋4>0的解集为(　　) A．(2，＋∞)　　 B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，2) 6．函数f (x)的定义域为D，导函数为f ′(x)，若对任意x∈D，f ′(x)<f (x)恒成立，则称f (x)为“导减函数”．下列函数中，是“导减函数”的是(　　) A．y＝x2　　 B．y＝cos x C．y＝logπx D．y＝2x 二、多项选择题 7．若函数f (x)＝ax3＋3x2－x＋1恰有三个单调区间，则实数a的取值可以是(　　) A．－3　　 B．－1 C．0 D．2 8．给出定义：若函数f (x)在D上可导，即f ′(x)存在，且导函数f ′(x)在D上也可导，则称f (x)在D上存在二阶导函数，记g(x)＝(f ′(x))′，若g(x)<0在D上恒成立，则称f (x)在D上为凸函数，以下四个函数在上是凸函数的是(　　) A．f (x)＝sin x－cos x B．f (x)＝ln x－3x C．f (x)＝－x3＋3x－1 D．f (x)＝xe－x 三、填空题 9．已知奇函数f (x)的定义域为R，且>0，则f (x)的单调递减区间为________，满足以上条件的一个函数是________． (－1，1)　f (x)＝x3－x(答案不唯一) [由>0可得f ′(x)(x2－1)>0， 所以 或 所以当x<－1或x>1时，f ′(x)>0；当－1<x<1时，f ′(x)<0， 所以f (x)的单调递减区间为(－1，1)， 所以满足条件的一个函数可以为f (x)＝x3－x(答案不唯一)．] 10．(2023·全国乙卷)设a∈(0，1)，若函数f (x)＝ax＋(1＋a)x在(0，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________． 四、解答题 11．已知函数f (x)＝(x－2)ex－ax2＋ax(a∈R)． (1)当a＝1时，求曲线y＝f (x)在点(2，f (2))处的切线方程； (2)讨论函数f (x)的单调性． 12．(2025·江苏南通期中)已知函数f (x)＝x2＋a ln x，a∈R． (1)若函数g(x)＝f (x)－x在定义域上单调递增，求实数a的取值范围； (2)讨论函数h(x)＝f (x)－(a＋2)x的单调性． 13．(2021·全国乙卷)已知函数f (x)＝x3－x2＋ax＋1． (1)讨论f (x)的单调性； (2)求曲线y＝f (x)过坐标原点的切线与曲线y＝f (x)的公共点的坐标． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$