课后作业17 导数的概念及运算-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word

课后作业(十七)　导数的概念及运算 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共93分 一、单项选择题 1．已知直线l：y＝x＋1，且与曲线y＝f (x)切于点A(2，3)，则的值为(　　) A．－2　　 B．－1 C．1 D．2 2．(2024·全国甲卷)设函数f (x)＝，则曲线y＝f (x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A． C． 3．(2025·安徽合肥模拟)若函数f (x)＝与g(x)＝ex-a－b的图象在x＝1处有相同的切线，则a＋b＝(　　) A．－1　　 B．0 C．1 D．2 4．若过点P(m，0)与曲线f (x)＝相切的直线只有2条，则m的取值范围是(　　) A．(－3，1)　　 B．(－∞，－3)∪(1，＋∞) C．(－1，3) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 5．若P为函数f (x)＝ex－x图象上的一个动点，以P为切点作曲线y＝f (x)的切线，则切线倾斜角的取值范围是(　　) A． 　　 B． C． 6．(人教A版选择性必修第二册P82探究与发现改编)牛顿法是用导数求方程近似解的一种方法．如图，方程f (x)＝0的根就是函数f (x)的零点r，取初始值x0，f (x)的图象在横坐标为x0的点处的切线与x轴交点的横坐标为x1，f (x)的图象在横坐标为x1的点处的切线与x轴交点的横坐标为x2，一直继续下去，得到x1，x2，…，xn，它们越来越接近r．若f (x)＝x2－2(x>0)，x0＝2，则用牛顿法得到的r的近似值x2约为(　　) A．1.438　　 B．1.417 C．1.416 D．1.375 二、多项选择题 7．已知函数f (x)及其导函数f ′(x)，若存在x0，使得f (x0)＝f ′(x0)，则称x0是f (x)的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是(　　) A．f (x)＝x2　　 B．f (x)＝e－x C．f (x)＝ln x D．f (x)＝tan x 8．对于函数f (x)＝ln x－1，则下列判断正确的是(　　) A．直线y＝是f (x)过原点的一条切线 B．f (x)关于y＝x对称的函数是y＝ex-1 C．若过点(a，b)有2条直线与f (x)相切，则ln a＜b＋1 D．f (x)≤x－2 三、填空题 9．若直线x＋y＋m＝0是曲线y＝x3＋nx－52与曲线y＝x2－3ln x的公切线，则m－n＝________． 10．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：记y＝f ′(x)为y＝f (x)的导函数，y＝g′(x)为y＝f ′(x)的导函数，则曲线y＝f (x)在点(x，f (x))处的曲率为K＝．曲线f (x)＝ln x－cos (x－1)在点(1，f (1))处的曲率为 ________． 四、解答题 11．已知两曲线y＝x3＋ax和y＝x2＋bx＋c都经过点P(1，2)，且在点P处有公切线． (1)求a，b，c的值； (2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积； (3)若曲线y＝ln (bx－1)上的点M到直线2x－y＋3＝0的距离最短，求点M的坐标和最短距离． 12．已知函数f (x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)． (1)若函数f (x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值； (2)若曲线y＝f (x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围． 13．(2024·广东茂名一模)曲线y＝ln x与曲线y＝x2＋2ax有公切线，则实数a的取值范围是(　　) A． C． 14．(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝|ex－1|，x1<0，x2>0，函数f (x)的图象在点A(x1，f (x1))和点B(x2，f (x2))处的两条切线互相垂直，且分别与y轴交于M，N两点，则的取值范围是________． 15．已知符号“lim”代表极限的意思，现给出两个重要极限公式：①＝1；②＝e，则依据这两个公式，类比求＝_________；＝ ________． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课后作业(十七) A组　在基础中考查学科功底 1．C　[由直线l：y＝x＋1与曲线y＝f (x)切于点A(2，3)，知f ′(2)＝1． 由导数的定义知，limΔx→0＝f ′(2)＝1．故选C．] 2．A　[f ′(x)＝，所以f ′(0)＝3，所以曲线y＝f (x)在点(0，1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为(0，1)，，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×＝，故选A．] 3．D　[因为f (x)＝，g(x)＝ex－a－b， 则f ′(x)＝，g′(x)＝ex－a， 可得f (1)＝0，g(1)＝e1-a－b，f ′(1)＝1，g′(1)＝e1-a， 因为f (x)，g(x)的图象在x＝1处有相同的切线， 即切点为(1，0)，切线斜率k＝1， 所以解得所以a＋b＝2．故选D．] 4．D　[设过点P(m，0)的直线与曲线f (x)＝切于点Q， 由f (x)＝，可得f ′(x)＝－，所以切线PQ的斜率k＝－＝， 整理得t2＋(1－m)t＋1＝0， 因为切线有2条，所以切点有2个，即方程t2＋(1－m)t＋1＝0有2个不等实根， 则Δ＝(1－m)2－4>0，解得m>3或m<－1， 所以m的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．故选D．] 5．D　[设P点坐标为(x0，y0)， 由f (x)＝ex－x，x∈R，得 f ′(x)＝ex－， 则以P为切点的切线斜率为－>－， 令切线倾斜角为θ，θ∈[0，π)，则tan θ>－， 则θ∈．故选D．] 6．B　[f ′(x)＝2x，而x0＝2，则f ′(x0)＝4，又f (x0)＝2，所以函数f (x)的图象在横坐标为x0＝2的点处的切线方程为y－2＝4(x－2)， 令y＝0，得x1＝，则f ′(x1)＝3，f (x1)＝－2＝， 因此函数f (x)的图象在横坐标为x1＝的点处的切线方程为y－＝3，令y＝0，得x2＝≈1.417，所以x2约为1.417．故选B．] 7．AC　[若f (x)＝x2，则f ′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f (x)＝e－x，则f ′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；若f (x)＝ln x，则f ′(x)＝，令ln x＝，在同一直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝的图象(图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f (x)＝f ′(x)有解，故C符合要求；若f (x)＝tan x，则f ′(x)＝′＝，令tanx＝，化简得sinx cos x＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，故D不符合要求．故选AC．] 8．ACD　[对于A，设切点为(m，ln m－1)， 则k＝f ′(m)＝＝， ∴ln m－1＝·m，∴ln m＝2， ∴m＝e2，k＝． ∴过原点的切线方程为y＝，故A正确； 对于B，由反函数的概念可得y＋1＝ln x⇒ey+1＝x，故与f (x)关于y＝x对称的函数为y＝ex+1，故B错误； 对于C，若过点(a，b)有2条直线与f (x)相切，则点(a，b)在f (x)上方，如图所示， 即b＞f (a)，即b＞ln a－1，故C正确； 对于D，由于∀x＞0，设g(x)＝x－ln x－1⇒g′(x)＝， 令g′(x)＞0⇒x＞1，令g′(x)＜0⇒0＜x＜1， ∴g(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减， ∴g(x)≥g(1)＝0⇒ln x≤x－1⇒f (x)≤x－2， 故D正确．故选ACD．] 9．26　[设直线x＋y＋m＝0与曲线y＝x3＋nx－52切于点(a，－a－m)，与曲线y＝x2－3ln x切于点(b，－b－m)． 对于函数y＝x2－3ln x，y′＝2x－， 则2b－＝－1， 解得b＝1或b＝－(舍去)． 所以1－3ln 1＝－1－m，即m＝－2． 对于函数y＝x3＋nx－52， y′＝3x2＋n， 则3a2＋n＝－1，a3－(3a2＋1)a－52＝－a＋2，整理得a3＝－27，则a＝－3， 所以n＝－3a2－1＝－28， 故m－n＝26．] 10．0　[因为f (x)＝ln x－cos (x－1)， 所以f ′(x)＝＋sin (x－1)，g′(x)＝－＋cos (x－1)， 则f ′(1)＝＋sin 0＝1，g′(1)＝－＋cos 0＝0， 所以曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的曲率为K＝＝0．] 11．解：(1)由y＝x3＋ax，得y′＝3x2＋a，由y＝x2＋bx＋c，得y′＝2x＋b， 又两曲线都经过点P(1，2)，且在点P处有公切线， ∴解得a＝1，b＝2，c＝－1． (2)由y＝x2＋2x－1，得y′＝2x＋2， 则y′|x＝1＝4， ∴y＝x2＋2x－1在点P(1，2)处的切线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0． 则两曲线的公切线方程为4x－y－2＝0，取y＝0，得x＝，取x＝0，得y＝－2． ∴公切线与坐标轴围成的三角形的面积S＝×2＝． (3)由y＝ln (bx－1)＝ln (2x－1)，得y′＝，由＝2，得x＝1． ∴y＝ln (2×1－1)＝0，即M(1，0)，点M到直线2x－y＋3＝0的最短距离为＝． 12．解：f ′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)． (1)由题意得 解得b＝0，a＝－3或1． (2)因为曲线y＝f (x)存在两条垂直于y轴的切线， 所以关于x的方程3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0， 即4a2＋4a＋1＞0，所以a≠－． 所以a的取值范围为∪． B组　在综合中考查关键能力 13．B　[两个函数求导分别为y′＝，y′＝2x＋2a， 设y＝ln x，y＝x2＋2ax的图象上的切点分别为＋2ax2)，x1＞0， 则过这两点的切线方程分别为y＝x＋ln x1－1，y＝， 则＝2x2＋2a，ln x1－1＝，所以2a＝－2x2， 设f (x)＝ex2－1－2x，f ′(x)＝2(xex2－1－1)，f ′(1)＝0， 令g(x)＝f ′(x)＝2(xex2－1－1)，所以g′(x)＝2(2x2＋1)ex2－1>0， 所以g(x)在R上单调递增，且f ′(1)＝0， 则f (x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以2a≥f (1)＝－1，即a≥－．故选B．] 14．(0，1)　[当x＜0时，f (x)＝1－ex，f ′(x)＝－ex， f (x)在点)处的切线斜率为k1＝， 当x＞0时，f (x)＝ex－1，f ′(x)＝ex，f (x)在点－1)处的切线斜率为k2＝， 由f (x)的图象在A，B两点处的切线互相垂直⇒k1k2＝＝－1， ∴x1＋x2＝0，x1＜0，x2＞0， ∴＝＝＝∈(0，1)，故的取值范围是(0，1)．] 15．1　e2　[由极限的定义知，①＝1；②＝e， 因为＝，令t＝2x，可得＝， 则＝＝1； 又因为＝，令t＝sin 2x，可得＝， 所以＝＝]2＝e2．] 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$