课后作业13 对数与对数函数-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word

课后作业(十三)　对数与对数函数 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共93分 一、单项选择题 1．若xlog34＝1，则4x＋4－x的值为(　　) A．　　　B．3　　　C．4　　　D． 2．若函数f (x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1，b∈R)的大致图象如图所示，则函数g(x)＝a－x－b的大致图象是(　　) A　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D 3．(2024·天津滨海新区三模)已知a＝，b＝log0.42，c＝，则(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．a>c>b 4．(2024·江苏宿迁三模)已知函数f (x)为R上的奇函数，且当x>0时，f (x)＝log2x－1，则f (－)＝(　　) A． B．－ C． D．－ 5．(2024·辽宁丹东期末)已知函数f (x)＝logax(a>0，a≠1)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，且g(－1)＝，则函数y＝loga(x2－2x)的单调递减区间是(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，0) D．(2，＋∞) 6．若函数f (x)＝loga在区间内恒有f (x)＞0，则f (x)的单调递增区间为(　　) A．(0，＋∞) B．(2，＋∞) C．(1，＋∞) D． 二、多项选择题 7．(2025·河南郑州模拟)关于函数f (x)＝log3，下列结论正确的是(　　) A．定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．f (x)是偶函数 C．f (x)的图象关于点(1，0)对称 D．f (x)在(3，＋∞)上单调递增 8．(2025·湖北重点高中联考)已知实数x，y，z满足2x＝3，3y＝4，4z＝5，则下列结论正确的是(　　) A．y< B．xyz>2 C．y<z D．x＋y>2 三、填空题 9．(2024·河南郑州三模)已知logab＋4logba＝4，则的值为________． 10．(2025·安徽宣城模拟)已知实数x满足不等式2(log2x)2－5log2x＋2≤0，则函数f (x)＝log2·log2的最大值是________． 四、解答题 11．已知f (x)＝. (1)若a＝2，求f (x)的值域； (2)若f (x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围． 12．(2025·江苏盐城模拟)已知函数f (x)＝log4. (1)解关于x的不等式f (x)>3； (2)若存在x∈[2，4]，使得不等式f (2x)－a·log2x＋1≥0成立，求实数a的取值范围． 13．已知函数f (x)＝2lg (10x＋a)－x，a∈R. (1)当a＝1时，判断函数f (x)的奇偶性并证明； (2)给定实数a>0且a≠1，问是否存在直线x＝x0，使得函数f (x)的图象关于直线x＝x0对称？若存在，求出x0的值(用a表示)；若不存在，请说明理由． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课后作业(十三) [A组　在基础中考查学科功底] 1．A　[∵xlog34＝1，∴log34x＝1，∴4x＝3， ∴4x＋4－x＝3＋3-1＝.故选A.] 2．C　[根据函数f (x)＝loga(x＋b)的图象，可得0<a<1，0<b<1，根据指数函数y＝a－x(0<a<1)的图象与性质，结合图象变换向下平移b个单位长度，可得函数g(x)＝a－x－b的图象大致为C选项．] 3．C　[a＝＝0.4， b＝log0.42<log0.41＝0， 0＝log0.31<log0.30.4<log0.30.3＝1，则c>1， 故c>a>b. 故选C.] 4．A　[f (－1＝－1＝－1＝－， 因为f (x)为R上的奇函数，所以f (－)＝. 故选A.] 5．C　[因为函数f (x)＝logax(a>0，a≠1)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，所以g(x)＝ax(a>0，a≠1)， 因为g(－1)＝，所以＝a-1，解得a＝3. 所以y＝loga(x2－2x)＝log3(x2－2x)， 由x2－2x>0，可得y＝log3(x2－2x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)， 令t＝x2－2x，则t＝x2－2x在(－∞，0)上单调递减， 而y＝log3t在定义域上单调递增， 由复合函数的单调性可知，y＝log3(x2－2x)在(－∞，0)上单调递减．故选C.] 6．A　[令M＝x2＋x，故x∈时，M∈(1，＋∞)，恒有f (x)＞0，所以a＞1，所以函数y＝logaM为增函数，又M＝－，所以M的单调递增区间为.又x2＋x＞0，所以x＞0或x＜－，所以函数f (x)的单调递增区间为(0，＋∞)．故选A.] 7．ACD　[对于A，由>0得x<－1或x>3，故定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，A正确； 对于B，因为定义域不关于原点对称，故f (x)不是偶函数，B错误； 对于C，因为f (1－x)＋f (1＋x)＝log3＋log3 ＝log3＋log3＝log3＝log31＝0， 所以f (x)的图象关于点(1，0)对称，C正确； 对于D，f (x)＝log3＝log3， 因为函数t＝1－在区间(3，＋∞)上单调递增，且y＝log3t在(0，＋∞)上单调递增， 所以f (x)在(3，＋∞)上单调递增，D正确．故选ACD.] 8．ABD　[因为2x＝3，3y＝4，4z＝5， 所以x＝log23，y＝log34，z＝log45， 对于A，因为43<34，则log343<log334，即3log34<4， 所以y＝log34<，故A正确； 对于B, xyz＝log23·log34·log45＝log25>log24＝2，故B正确； 对于C，y－z＝log34－log45＝＝， 因为0<lg 3<lg 4<lg 5， 所以lg 3lg 5<＝， 又(lg 4)2＝＝>， 所以(lg 4)2－lg 3lg 5>0，即y－z>0，所以y>z，故C错误； 对于D，因为x＝log23>1，y＝log34>1， 所以x＋y＝log23＋log34>2＝2＝2，故D正确．故选ABD.] 9．　[因为logab＋4logba＝4， 所以logab＋＝4，可得 (logab)2－4logab＋4＝0， 即(logab－2)2＝0，所以logab＝2，即a2＝b， 所以＝＝.] 10．　[由2(log2x)2－5log2x＋2≤0， 解得≤log2x≤2， f (x)＝log2·log2＝(log2x－1)(log2x－2)＝－， 当log2x＝时，f (x)取得最大值.] 11．[解]　(1)当a＝2时，f (x)＝， 令t＝x2－2x＋10＝(x－1)2＋9， ＝－2， ∴f (x)的值域为(－∞，－2]. (2)令u＝x2－ax＋5a， ∵y＝为减函数，f (x)在(1，＋∞)上单调递减， ∴u＝x2－ax＋5a在(1，＋∞)上单调递增， ∴解得－≤a≤2， ∴a的取值范围是. 12．[解]　(1)因为f (x)的定义域为(0，＋∞)，则 f (x)＝log2·2log2＝(log2x－2)(log2x－4)＝(log2x)2－6log2x＋8， 设log2x＝t(t∈R)，则不等式可化为t2－6t＋8>3， 即t2－6t＋5>0， 解得t<1或t>5，即log2x<1或log2x>5， 解得0<x<2或x>32. 所以不等式的解集为{x|0<x<2或x>32}． (2)因为f (2x)－a·log2x＋1≥0， 所以(log2x－1)·(log2x－3)－alog2x＋1≥0， 设log2x＝t，则t∈[1，2]， 原问题化为：存在t∈[1，2]，t2－4t＋4－at≥0. 即a≤t＋－4在t∈[1，2]上有解． 因为y＝t＋－4在[1，2]上单调递减， 所以＝1，所以a≤1. 即实数a的取值范围是(－∞，1]. [B组　在综合中考查关键能力] 13．[解]　(1)当a＝1时，f (x)＝2lg (10x＋1)－x， 函数f (x)为偶函数，证明如下： ∵f (－x)＝2lg (10－x＋1)－(－x)＝2lg ＋x＝2lg (1＋10x)－2lg (10x)＋x＝2lg (10x＋1)－x＝f (x)， 又函数的定义域为R，∴函数f (x)为偶函数． (2)假设存在直线x＝x0，使得函数f (x)的图象关于直线x＝x0对称，则f (x0＋x)＝f (x0－x)， ∴2lg (＋a)－(x0＋x)＝2lg (＋a)－(x0－x)， 即lg (＋a)－lg (＋a)＝x， 即lg ＝x，∴＝10x， 即＋a＝10x(＋a)＝＋a·10x， )＝0， ＝0，即a＝， ∵a>0且a≠1， ∴x0＝lg a， 故存在x0＝lg a，使得函数f (x)的图象关于直线x＝x0对称． 1/4 学科网（北京）股份有限公司 $$