课后作业10 函数的对称性-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word

课后作业(十)　函数的对称性 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共86分 一、单项选择题 1．已知函数f (x)＝x2＋ax对定义域内任意的x都有f (2－x)＝f (2＋x)，则实数a等于(　　) A．4　　　B．－4　　　C．　　　D．－ 2．(2024四川南充二模)已知函数f (x)＝，则函数y＝f (x－1)＋1的图象(　　) A．关于点(1，1)对称 B．关于点(－1，1)对称 C．关于点(－1，0)对称 D．关于点(1，0)对称 3．已知函数f (x)＝2x＋(x∈R)，则f (x)的图象(　　) A．关于直线x＝1对称 B．关于点(1，0)对称 C．关于直线x＝0对称 D．关于原点对称 4．若函数f (x)＝的图象关于点(1，0)对称，则a＝(　　) A．0 B．－1 C．1 D．2 5．函数y＝f (x)是定义在R上的函数，那么y＝－f (x＋4)与y＝f (6－x)的图象(　　) A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称 C．关于点(5，0)对称 D．关于点(1，0)对称 6．(2025福建福州模拟)定义在R上的函数f 满足f ＝2－f ．若f 的图象关于直线x＝3对称，则下列选项中一定成立的是(　　) A．f ＝1 B．f ＝0 C．f ＝2 D．f ＝－1 二、多项选择题 7．(2025黑龙江鸡西模拟)对于定义在R上的函数f (x)，下述结论正确的是(　　) A．若f (x＋1)＝f (x－1)，则f (x)的图象关于直线x＝1对称 B．若f (x)是奇函数，则f (x－1)的图象关于点A(1，0)对称 C．函数y＝f (1＋x)与函数y＝f (1－x)的图象关于直线x＝1对称 D．若函数f (x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f (x)为偶函数 8．(2025湖南师大附中模拟)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋2)＋f (x)＝0，且y＝f (2－x)为偶函数，则下列说法一定正确的是(　　) A．函数f (x)的周期为2 B．函数f (x)的图象关于点(1，0)对称 C．函数f (x)为偶函数 D．函数f (x)的图象关于直线x＝3对称 三、填空题 9．(2024广东大联考)写出一个满足“图象关于点(2，0)对称”的函数f (x)＝________． 10．已知所有的三次函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象都有对称中心，，若函数f (x)＝－x3＋3x2，则f ＋f ＋f ＋…＋f ＝________． 11．(多选)(2025河北承德模拟)已知函数f (x)的定义域为R，对任意x都有f (2＋x)＝f (2－x)，且f (－x)＝f (x)，则下列结论正确的是(　　) A．f (x)的图象关于直线x＝2对称 B．f (x)的图象关于点(2，0)对称 C．f (x)的周期为4 D．y＝f (x＋4)为偶函数 12．已知函数f (x)＝． (1)求证：函数f (x)的图象关于点对称； (2)求S＝f (－2 022)＋f (－2 021)＋…＋f (0)＋…＋f (2 022)＋f (2 023)的值． 13．(2024湖南长沙期中)我们知道函数y＝f (x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f (x)为偶函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f (x)的图象关于x＝a成轴对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)为偶函数． (1)已知函数φ(x)＝x2－2x＋a(ex-1＋e－x+1)，求该函数图象的对称轴方程； (2)若函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，且当x1时，g(x)＝x2－． ①求g(x)的解析式； ②求不等式g(x)>g(3x－1)的解集． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课后作业(十) [A组　在基础中考查学科功底] 1．B　[∵f (2－x)＝f (2＋x)，∴f (x)的图象关于直线x＝2对称，故－＝2，∴a＝－4．故选B．] 2．A　[因为函数f (x)＝为奇函数，所以函数f (x)的图象关于原点(0，0)对称， 又y＝f (x－1)＋1的图象是由f (x)＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到， 所以函数y＝f (x－1)＋1的图象关于点(1，1)对称．故选A．] 3．A　[由已知可得，f (2－x)＝22-x＋＝＋4＝＋2x＝f (x)，所以f (x)的图象关于直线x＝1对称，故A项正确； 因为f (2－x)＝2x＋，则f (2－x)≠－f (x)，故B项错误； f (－x)＝2－x＋＝42x＋，则f (－x)≠f (x)，故C项错误； 因为f (－x)＝42x＋，则f (－x)≠－f (x)，故D项错误．] 4．C　[∵f (x)的图象关于点(1，0)对称， ∴f (0)＋f (2)＝0，即＋＝0， 解得a＝1，∴f (x)＝， 经检验知f (x)的图象关于点(1，0)对称．故选C．] 5．D　[由复合函数的对称性知函数y＝－f (x＋4)与y＝f (6－x)的图象关于点，即点(1，0)对称．故选D．] 6．A　[函数f 的图象关于直线x＝3对称，则必有f (3－x)＝f (x＋3)，所以f (0)＝f (6)， f (1)＝f (5)，f (2)＝f (4)，又因为f 满足f ＝2－f ，取x＝1，所以f (1)＝2－f (1)，f (1)＝1，则f (1)＝f (5)＝1，取x＝5，则f (－3)＝2－f (5)＝1，故选A．] 7．BD　[对于A，对x∈R，有f (x＋1)＝f (x－1)， 令x＋1替换x，得f (x＋2)＝f (x)，可得函数f (x)是周期为2的周期函数， 则y＝f (x)的图象对称性不确定，即A错误； 对于B，∵f (x)是奇函数，∴f (x)的图象关于原点对称， 而y＝f (x－1)的图象是将y＝f (x)的图象向右平移1个单位长度得到， ∴y＝f (x－1)的图象关于点A(1，0)对称，故B正确； 对于C，函数y＝f (1＋x)是由y＝f (x)的图象向左平移1个单位长度得到； 函数y＝f (1－x)的图象是由y＝f (－x)的图象向右平移1个单位长度得到， 而y＝f (x)与y＝f (－x)的图象关于y轴对称， 所以函数y＝f (1＋x)与函数y＝f (1－x)的图象关于y轴对称，故C错误； 对于D，若函数f (x－1)的图象关于直线x＝1对称， 则将其向左平移1个单位长度得到f (x)的图象，则对称轴也向左平移1个单位长度， 则f (x)的图象关于y轴对称，即f (x)为偶函数，故D正确． 故选BD．] 8．BC　[因为f (x)的定义域为R，且f (x＋2)＋f (x)＝0，所以f (x＋2)＝－f (x)，所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，函数f (x)的周期为4，A错误； 因为函数y＝f (2－x)是偶函数，所以f (2－x)＝f (2＋x)，函数f (x)的图象关于直线x＝2对称， 且f (2－x)＝－f (x)，即f (2－x)＋f (x)＝0，函数f (x)的图象关于点(1，0)对称，B正确； 由f (2－x)＝f (2＋x)，得f (－x)＝f (4＋x)＝f (x)，则函数f (x)为偶函数，C正确； 由f (x＋2)＋f (x)＝0，得f (x＋3)＋f (1＋x)＝0，由f (2－x)＝f (2＋x)，得f (3－x)＝f (1＋x)， 因此f (x＋3)＋f (3－x)＝0，函数f (x)的图象关于点(3，0)对称，D错误．故选BC．] 9．(答案不唯一)　[函数f (x)＝的图象关于点(2，0)对称，满足要求．] 10．8 090　[∵f (x)＝－x3＋3x2， 则a＝－1，b＝3，∴－＝1，f (1)＝2， 即函数y＝f (x)的图象的对称中心为(1，2)， 则f (x)＋f (2－x)＝4，故f ＋f ＋f ＋…＋f ＋f ＝＋＋…＋＋f ＝4×2 022＋2＝8 090．] [B组　在综合中考查关键能力] 11．ACD　[∵f (2＋x)＝f (2－x)，∴f (x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误； ∵函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，∴f (－x)＝f (x＋4)，又f (－x)＝f (x)，∴f (x＋4)＝f (x)，∴函数f (x)的周期为4，故C正确； ∵f (x)的周期为4且为偶函数，∴y＝f (x＋4)为偶函数，故D正确．] 12．[解]　(1)证明：因为f (x)＝，所以f (1－x)＝＝＝， 所以f (x)＋f (1－x)＝1，即函数f (x)的图象关于点对称． (2)由(1)知f (x)＋f (1－x)＝1， 因为S＝f (－2 022)＋f (－2 021)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 022)＋f (2 023)， 则S＝f (2 023)＋f (2 022)＋…＋f (1)＋f (0)＋…＋f (－2 021)＋f (－2 022)， 所以2S＝4 046，即S＝2 023． 13．[解]　(1)因为φ(x)＝(x－1)2－1＋a[ex-1＋e－(x-1)]， 所以φ(1＋x)＝x2－1＋a(ex＋e－x)， 令h(x)＝φ(x＋1)，则该函数的定义域为R， h(－x)＝(－x)2－1＋a(e－x＋ex)＝x2－1＋a(e－x＋ex)＝h(x)， 所以，函数h(x)＝φ(x＋1)为偶函数， 因此，函数φ(x)＝x2－2x＋a(ex-1＋e－x+1)图象的对称轴方程为x＝1． (2)①因为函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，且当x1时，g(x)＝x2－， 当x<1时，2－x>1，则g(x)＝g(2－x)＝(2－x)2－＝(x－2)2＋， 所以，g(x)＝ ②当x1时，g(x)＝x2－，因为函数y＝x2，y＝－在[1，＋∞)上单调递增， 所以，函数g(x)＝x2－在[1，＋∞)上单调递增， 因为g(x)>g(3x－1)，则|x－1|>|3x－2|， 不等式两边平方可得(3x－2)2<(x－1)2，即(2x－1)(4x－3)<0，解得<x<， 因此，不等式g(x)>g(3x－1)的解集为． 4/4 学科网（北京）股份有限公司 $$