第十章 第4课时 概率、统计的综合问题-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word

第4课时　概率、统计的综合问题 [考试要求]　1．能从实际生活背景中构建概率模型，并会用统计思维看待和处理实际问题．2．能灵活运用概率、统计、数列、函数、导数等知识解决综合问题，实现知识间的融合． 考点一　以统计图表为载体的概率、统计问题 [典例1]　(2022·新高考Ⅱ卷)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图． (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%，从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率．(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0．000 1) [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　该类问题常常借助图形或表格，将文字、图表、数据等融为一体，考查考生的直观想象能力和数学建模素养，求解的关键是立足题干提取信息，结合统计的相关知识进行数据分析或结合概率模型求解相应概率． [跟进训练] 1． AI技术驱动的自然语言处理工具引领了人工智能的新一轮创新浪潮．某数学兴趣小组为了解使用此类工具人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的75%分位数： (2)将年龄不超过(1)中75%分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民． ①完成下列2×2列联表，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为年龄与是否喜欢该程序有关联？ 单位：人 对该程序的态度 年龄 合计 青年 非青年 喜欢 20 不喜欢 60 合计 200 ②按照等比例分配分层随机抽样的方式从样本中随机抽取8名居民．若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率． 参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d． 参考数据： α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 考点二　概率、统计与数列的综合问题 [典例2]　(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．求： (1)第2次投篮的人是乙的概率； (2)第i次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，则＝．记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y)． [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　解答此类问题的关键是借助概率知识(如相互独立事件的概率公式、条件概率的公式等)建立Pn＋1与Pn的递推关系，然后利用数列知识(一般是构造法)求解． [跟进训练] 2．甲、乙两位乒乓球爱好者进行一次对抗赛，第一个球的发球权通过掷硬币确定，从第二个球开始，上一个球谁赢谁发球．由以往数据可知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为． (1)求第1个球甲赢的概率p1； (2)求第n个球甲赢的概率pn； (3)定义第n个球甲赢的期望En＝npn，求 _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 考点三　概率、统计与函数的交汇问题 [典例3]　(15分)根据社会人口学研究发现，一个家庭有X个孩子的概率模型为 X 1 2 3 0 P α α(1－p) α(1－p)2 其中α＞0，0＜p＜1．每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件Ai表示一个家庭有i个孩子(i＝0，1，2，3)，事件B表示一个家庭的男孩比女孩多(例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多)． (1)若p＝，求α及P(B)； (2)为了调控未来人口结构，其中参数p受到各种因素的影响(例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等)． ①若希望P(X＝2)增大，如何调控p的值？ ②是否存在p的值使得E(X)＝？请说明理由． 【规范解答】　(1)由题意得＋α＋α(1－p)＋α(1－p)2＝1，p＝，解得α＝．1分 又因为P(B|A1)＝，P(B|A2)＝＝， 　　　　 　⇑ ····················4分 所以P(B)＝＝＝(i＝1，2，3)．···6分 (2)①由已知 　　　　 　⇑ 变形整理得，＝p2－3p＋＋3． ······························8分 可设f (p)＝p2－3p＋＋3，0＜p＜1， 所以f ′(p)＝．·········································9分 设g(p)＝2p3－3p2－1， 即g′(p)＝6p2－6p＝6p(p－1)＜0， 故g(p)在(0，1)上单调递减， 因为g(0)＝－1，所以g(p)＜0，所以f ′(p)＜0， ⇑ 故f (p)在(0，1)上单调递减，所以增加p的取值，会减小，α增大，即P(X＝2)增大．························································10分 ②假设存在p使E(X)＝＋2α＋3α(1－p)＝，·····················11分 又因为＝p2－3p＋＋3， 将上述两等式相乘，化简整理得： 5p3－6p2＋2＝0，············································12分 设h(p)＝5p3－6p2＋2，0＜p＜1， 即h′(p)＝15p2－12p＝3p(5p－4)．······························13分 所以h(p)在上单调递减，在上单调递增，故h(p)min＝h＝＞0． 所以不存在p，使得E(X)＝．·································15分 　该类问题常以实际生活中的概率、统计知识为背景，将概率、统计与函数建模融合在一起，充分借助函数的性质研究相关问题的最值，可能涉及函数的单调性、导数等知识，求解时注意合理转化． [跟进训练] 3．(2024·郑州调研)某篮球队为提高队员训练的积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成一个小组．游戏规则如下：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3的称为“神投小组”，已知甲、乙两名队员投进篮球的概率分别为p1，p2． (1)若p1＝，p2＝，求他们在第一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率； (2)已知p1＋p2＝，则 ①p1，p2取何值时能使得甲、乙两名队员在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率最大？并求出此时的最大概率； ②在第①问的前提下，若甲、乙两名队员想要获得297次“神投小组”的称号，则他们平均要进行多少轮游戏？ [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4课时　概率、统计的综合问题 考点一 典例1　解：(1)该地区这种疾病患者的平均年龄＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝47.9(岁)． (2)设A＝{一人患这种疾病的年龄在区间[20，70)}，则P(A)＝1－P()＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)×10＝1－0.11＝0.89． (3)设B＝{任选一人年龄位于区间[40，50)}，C＝{任选一人患这种疾病}，则由条件概率公式， 得P(C|B)＝＝ ＝0.001 437 5≈0.001 4． 跟进训练 1．解：(1)由频率分布直方图可知， 年龄在40岁以下的居民所占比例为10×＝0.65， 年龄在50岁以下的居民所占比例为0.65＋10×0.020＝0.85， 所以75%分位数位于[40，50)内， 由40＋10×＝45， 所以样本数据的75%分位数为45． (2)①由题知，2×2列联表为 单位：人 对该程序的态度 年龄 合计 青年 非青年 喜欢 90 20 110 不喜欢 60 30 90 合计 150 50 200 零假设为H0：年龄与是否喜欢该程序无关． 根据列联表中的数据，可得 χ2＝≈6.061>3.841＝x0.05． 根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为年龄与是否喜欢该程序有关，以此推断的错误概率不大于0.05． ②按照分层随机抽样，青年居民应抽取8×＝6(人)，非青年居民应抽取2人． 设从中随机抽取的4名居民中为青年居民的人数为X， P＝＝， P＝＝， 所以P＝P＋P＝， 所以这4名居民中至少有3人为青年居民的概率为． 考点二 典例2　解：(1)记“第2次投篮的人是乙”为事件A，“第1次投篮的人是甲”为事件B，则A＝BA＋A， 所以P(A)＝P(BA＋)＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6． (2)设第i次投篮的人是甲的概率为pi，由题意可知，p1＝，pi＋1＝pi×0.6＋(1－pi)×(1－0.8)，即pi＋1＝0.4pi＋0.2＝pi＋， 所以pi＋1－＝， 又p1－＝＝，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以pi－＝， 所以pi＝． (3)设第i次投篮时甲投篮的次数为Xi，则Xi的可能取值为0或1，当Xi＝0时，表示第i次投篮的人是乙，当Xi＝1时，表示第i次投篮的人是甲，所以P(Xi＝1)＝pi，P(Xi＝0)＝1－pi，所以E(Xi)＝pi． Y＝X1＋X2＋X3＋…＋Xn， 则E(Y)＝E(X1＋X2＋X3＋…＋Xn)＝p1＋p2＋p3＋…＋pn，由(2)知，pi＝， 所以E(Y)＝p1＋p2＋p3＋…＋pn＝ ＝＝ ． 跟进训练 2．解：(1)设第1个球的发球人为甲为事件A0，第1个球的发球人为乙为事件B0，第1个球甲赢为事件A1，由题知，P(A0)＝P(B0)＝，P(A1|A0)＝，P(A1|B0)＝， 由全概率公式知，p1＝P(A1)＝P(A0)P(A1|A0)＋P(B0)P(A1|B0)＝＝， ∴第1个球甲赢的概率p1＝． (2)设事件An：第n个球甲赢，事件Bn：第n个球乙赢， 由题知，当n≥2时，P(An|An－1)＝，P(An|Bn－1)＝，P(Bn－1)＝1－pn－1，p1＝， 由全概率公式知，当n≥2时，pn＝P(An)＝P(An|An－1)P(An－1)＋P(An|Bn－1)P(Bn－1)＝pn－1＋(1－pn－1)＝pn－1＋， ∴pn－＝， ∵p1－＝＝， ∴数列是首项为，公比为的等比数列， ∴pn－＝， ∴pn＝＋． (3)由(2)知，En＝npn＝＋． 设数列的前n项和为Tn， 则Tn＝＋＋…＋，① ∴Tn＝＋＋…＋＋，② ①－②得，Tn＝＋…＋－ ＝＝－， ∴Tn＝， 易知数列的前n项和为， 考点三 跟进训练 3．解：(1)每个小组投进的次数之和不少于3的称为“神投小组”， 则可能的情况有①甲投中一次，乙投中两次；②甲投中两次，乙投中一次；③甲投中两次，乙投中两次． ∵p1＝，p2＝， ∴他们在第一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率为＝． (2)①由题意得他们在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率为 P＝＝． ∵p1＋p2＝，∴P＝． 又0≤p1≤1，0≤p2≤1，p1＋p2＝， ∴≤p1≤1． 令m＝p1p2＝＋p1＝－＋， 则m∈， ∴P＝f (m)＝－3m2＋m ＝－3＋． ∵P＝－3m2＋m在 上单调递增， ∴Pmax＝f＝， 此时p1＝p2＝． ②他们小组在n轮游戏中获得“神投小组”称号的次数ξ满足ξ～B， ∵np＝297，则n＝＝625， ∴平均要进行625轮游戏． 学科网（北京）股份有限公司 $$