第十章 第2课时 用样本估计总体-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word

第2课时　用样本估计总体 [考试要求]　1．会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数．2．能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度．3．掌握分层随机抽样的样本方差． 1．众数、中位数、平均数、百分位数 样本数据 频率分布直方图 众数 一组数据中，出现__________的数据 最高的小矩形底边______的横坐标 中位数 把一组数据按从小到大的顺序排列，处在__________的一个数据(或最中间两个数据的平均数) 把频率分布直方图划分为左右两个______相等的部分，分界线与x轴交点的横坐标 平均数 样本数据的算术平均数 每个小矩形的面积乘小矩形底边______的横坐标之和 百分位数 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值 对于数据组[a，b)，a以下的数据比例为m%，b以下的数据比例为n%，若m≤p<n，则第p百分位数为______________ 2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按__________排列原始数据； 第2步，计算i＝________； 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第 ___项数据；若i是整数，则第p百分位数为第 ___项与第__________项数据的平均数． 3．四分位数 (1)第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数． (2)第____百分位数又称第一四分位数或下四分位数；第____百分位数又称第三四分位数或上四分位数． 4． 总体离散程度的估计 (1)方差和标准差 假设一组数据是x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，称________为这组数据的方差，也可以写成________的形式；称________为这组数据的标准差． (2)总体方差和标准差 ①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则总体方差S2＝________． ②加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝．总体标准差：S＝． (3)样本方差和标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝为样本方差，s＝为样本标准差． [常用结论] 平均数、方差的公式推广 (1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a． (2)数据x1，x2，…，xn的方差为s2． ①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2； ②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势． (　　) (2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中． (　　) (3)频率分布直方图中，小长方形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越高． (　　) 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第二册P206探究改编)平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，在如图两种分布形态中，a，b，c，d分别对应平均数和中位数之一，则可能的对应关系是(　　) A．a为中位数，b为平均数，c为平均数，d为中位数 B．a为平均数，b为中位数，c为平均数，d为中位数 C．a为中位数，b为平均数，c为中位数，d为平均数 D．a为平均数，b为中位数，c为中位数，d为平均数 2．(人教A版必修第二册P204练习T2改编)某车间12名工人一天生产某产品的质量(单位：kg)分别为13.8，13，13.5，15.7，13.6，14.8，14，14.6，15，15.2，15.8，15.4，则所给数据的第25，50，75百分位数分别是________． 3．(人教A版必修第二册P215练习T2改编)一组数据的平均数是28，方差是4，若将这组数据中的每一个数据都加上20，得到一组新数据，则所得新数据的平均数是________，方差是________． 4．(人教A版必修第二册P198练习T1改编)为了了解全民对足球的喜爱程度，组委会在某场比赛结束后，随机抽取了1 000名观众进行对足球“喜爱度”的调查评分，将得到的分数分成6段：[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90)，[90，95)，[95，100]，得到如图所示的频率分布直方图．图中部分数据丢失，若已知这1 000名观众评分的中位数估计值为87.5，则m＝________． 考点一　总体百分位数的估计 [典例1]　(1)已知由小到大排列的4个数据1，3，5，a，若这4个数据的极差是它们中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数是(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 (2)将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩(成绩均为整数)整理后画出频率分布直方图如图，则此班的模拟考试成绩的第80百分位数约为________．(结果保留两位小数) [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 1．计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤 2．频率分布直方图中第p百分位数的计算 (1)确定百分位数所在的区间[a，b)． (2)确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa%，fb%，则第p百分位数为a＋×(b－a)． [跟进训练] 1．(1)(2025·湖北武汉模拟)有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的上四分位数是(　　) A．11 B．13 C．16 D．17 (2)(2024·江苏南通二模)某同学在一次数学测试中的成绩是班级第三名(假设测试成绩两两不同)，成绩处于第90百分位数，则该班级的人数可能为(　　) A．15 B．25 C．30 D．35 考点二　总体集中趋势的估计 [典例2]　(1)(多选)已知运动员甲特训的成绩分别为：9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的(　　) A．众数为12 B．平均数为14 C．中位数为14.5 D．第85百分位数为16 (2)(2025·陕西西安模拟)某校为了解在校学生对中国传统文化的传承认知情况，随机抽取了100名学生进行中国传统文化知识考试，并将这100名学生成绩整理得到如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图(分成[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]六组)，下列结论中不正确的是(　　) A．图中的a＝0.012 B．若从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]内的学生中采用分层随机抽样方法抽取10名学生，则成绩在[80，90)内的有3人 C．这100名学生成绩的中位数约为65 D．若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则这100名学生的平均成绩约为68.2 [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　频率分布直方图的数字特征 (1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标． (2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等． (3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和． [跟进训练] 2．(1)某射击运动员连续射击5次，命中的环数(环数为整数)形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为(　　) A．7.6 B．7.8 C．8 D．8.2 (2)有13名同学参加学校组织的才艺表演比赛，已知他们所得的分数互不相同，共设7个获奖名额，某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在这13名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是________．(填“众数”“中位数”或“平均数”) _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 考点三　总体离散程度的估计 [典例3]　(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10)，试验结果如下： 试验 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩 率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩 率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2． (1)求，s2； (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高．则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高) [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小． [跟进训练] 3．(1)已知数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均数是5，方差是9，则＝(　　) A．159　　B．204　　C．231　　D．636 (2)(多选)(2025·湖南衡阳开学考试)有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组样本得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝axi＋b，则(　　) A．x1，x2，…，xn的中位数为m1，则y1，y2，…，yn的中位数为am1＋b B．x1，x2，…，xn的平均数为m2，则y1，y2，…，yn的平均数为am2＋b C．x1，x2，…，xn的方差为m3，则y1，y2，…，yn的方差为am3 D．x1，x2，…，xn的极差为m4，则y1，y2，…，yn的极差为am4 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　用样本估计总体 梳理·必备知识 1．次数最多　中点　中间位置　面积　中点　a＋(b－a)· 2．从小到大　n×p%　j　i　(i＋1) 3．(2)25　75 4．(1) 　　　(2) 激活·基本技能 一、(1)√　(2)×　(3)√ 二、1．A　[在频率分布直方图中，中位数两侧小矩形的面积和相等，平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标乘以小矩形的面积之和近似代替，结合两个频率分布直方图得： a为中位数，b为平均数，c为平均数，d为中位数．故选A．] 2．13.7，14.7，15.3　[将12个数据按从小到大排序：13，13.5，13.6，13.8，14，14.6，14.8，15，15.2，15.4，15.7，15.8． 由i＝12×25%＝3，得所给数据的第25百分位数是第3个数据与第4个数据的平均数，即＝13.7； 由i＝12×50%＝6，得所给数据的第50百分位数是第6个数据与第7个数据的平均数，即＝14.7； 由i＝12×75%＝9，得所给数据的第75百分位数是第9个数据和第10个数据的平均数，即＝15.3．] 3．48　4　[设该组数据为x1，x2，…，xn， 则新数据为x1＋20，x2＋20，…，xn＋20，记新数据的平均数为′， 因为′＝＝20＋28＝48． 因为s2＝2＋2＋…＋]， 所以s′2＝{2＋2＋…＋2}＝s2＝4．] 4．0．02　[由题可知，5(m＋0.025＋0.03)＋(87.5－85)×0.05＝0.5，解得m＝0.02．] 考点一 典例1　(1)A　(2)124.44　[(1)由小到大排列的4个数据1，3，5，a，则a≥5， 这4个数的极差为a－1，中位数为＝4， 因为这4个数据的极差是它们中位数的2倍， 则a－1＝2×4，解得a＝9， 所以这四个数由小到大依次为1，3，5，9， 因为4×0.75＝3，所以这4个数据的第75百分位数是＝7．故选A． (2)由频率分布直方图可知，分数在120分以下的学生所占的比例为(0.010 0＋0.015 0＋0.015 0＋0.030 0)×10×100%＝70%，分数在130分以下的学生所占的比例为(0.010 0＋0.015 0＋0.015 0＋0.030 0＋0.022 5)×10×100%＝92.5%， 因此，80%分位数一定位于[120，130)内． 因为120＋×10≈124.44， 所以此班的模拟考试成绩的第80百分位数约为124．44．] 跟进训练 1．(1)D　(2)B　[(1)将样本数据由小到大排列依次为：11，11，11，13，13，13，14，15，16，18，20，24，因为12×＝9，所以这组数据的上四分位数为＝17．故选D． (2)设班级人数为x，由题意，x－3＋1－1<0.9x<x－3＋1，解得20<x<30， 又x∈N*，结合选项可得，该班级的人数可能为25．故选B．] 考点二 典例2　(1)BC　(2)C　[(1)成绩从小到大排列为：8，9，12，12，13，16，16，16，18，20. 出现次数最多的数为16，故A错误； 平均数为×(8＋9＋12＋12＋13＋16＋16＋16＋18＋20)＝14，故B正确； 中位数为＝14.5，故C正确； 10×0.85＝8.5， 故第85百分位数为第9位，为18，故D错误．故选BC. (2)由×10＝1，得a＝0.012，所以A正确，不符合题意； 这100名学生中成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]内的频率分别为0.2，0.12，0.08，所以采用分层随机抽样方法抽取的10名学生中成绩在[80，90)内的有10×＝3(人)，故B正确，不符合题意； 根据频率分布直方图，可知这100名学生成绩的中位数在[60，70)之间，设中位数为x，则0.08＋0.2＋(x－60)×0.032＝0.5，所以x＝66.875，故C错误，符合题意； 根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得＝45×0.08＋55×0.2＋65×0.32＋75×0.2＋85×0.12＋95×0.08＝68.2，故D正确，不符合题意．故选C.] 跟进训练 2．(1)B　(2)中位数　[(1)依题意这组数据一共有5个数，中位数为8，则从小到大排列8的前面有2个数，后面也有2个数，又唯一的众数为9，则有两个9，其余数字均只出现一次，则最大数字为9，又极差为3，所以最小数字为6，所以这组数据为6，7，8，9，9，所以平均数为＝7.8．故选B． (2)因为7名获奖者的分数肯定是13名参赛选手中最高的，所以把13个不同的分数按从小到大排序，只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖．] 考点三 典例3　解：(1)由题意，求出zi的值如表所示， 试验 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 zi 9 6 8 －8 15 11 19 18 20 12 则＝×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11， s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋(11－11)2＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61． (2)因为2＝2＝＝11＝>， 所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高． 跟进训练 3．(1)B　(2)AB　[(1)根据题意，数据x1，x2，x3，x4，x5，x6中，平均数＝5，方差s2＝9， 则s2＝－＝9， 所以＝204，故选B． (2)对于A，数据从小到大排列对应中位数的顺序不变，所以若x1，x2，…，xn的中位数为m1，则y1，y2，…，yn的中位数为am1＋b，故A正确； 对于B，由平均数的计算方法与性质可知， 若原数据的平均数为m2，则新数据的平均数为am2＋b，故B正确； 对于C，由方差的性质可知，若原数据的方差为m3，则新数据的方差为a2m3，故C错误； 对于D，新数据的最大数与最小数与原数据的最大数与最小数对应，即ymax－ymin＝，故D错误．故选AB．] 学科网（北京）股份有限公司 $$