第十章 第1课时 随机抽样、统计图表-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word

第1课时　随机抽样、统计图表 [考试要求]　1．理解随机抽样的必要性和重要性． 2．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层随机抽样方法，掌握分层随机抽样的均值计算方法． 3．理解统计图表的含义． 1．总体、个体、样本 调查对象的全体(或调查对象的某些指标的全体)称为______，组成总体的每一个调查对象(或每一个调查对象的相应指标)称为______，在抽样调查中，从总体中抽取的那部分个体称为______，样本中包含的个体数称为__________，简称样本量． 2．简单随机抽样 放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．除非特殊声明，所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样． (1)抽取方式：____________抽取； (2)特点：每个个体被抽到的概率______； (3)常用方法：抽签法和__________． 3．分层随机抽样 (1)分层随机抽样的相关概念 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行__________抽样，再把所有子总体中抽取的样本__________作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为____．在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配． (2)分层随机抽样的样本均值与样本方差 ①在分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层的样本平均数分别为，样本平均数为，则＝． ②在分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果抽取的样本量为n，样本平均数为，第1层和第2层的样本量分别为n1，n2，样本平均数分别为，方差分别为，则样本方差s2＝． 4．统计图表 (1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图、________________等． (2)作频率分布直方图的步骤 ①求______； ②决定______与______； ③将______分组； ④列频率分布表； ⑤画频率分布直方图． [常用结论] 总体数是N，样本容量为n，每一层的总体数分别是N1，N2，…，Nm，每一层中抽取的样本数为n1，n2，…，nm，则满足关系： (1)； (2)n1∶n2∶…∶nm＝N1∶N2∶…∶Nm； (3)n1＝． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)简单随机抽样中，每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关． (　　) (2)抽签法和随机数法都是简单随机抽样． (　　) (3)分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关． (　　) (4)频率分布直方图中，小长方形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大． (　　) 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第二册P177 练习T1改编)从某市参加升学考试的学生中随机抽查1 000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是(　　) A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生 B．样本是指1 000名学生的数学成绩 C．样本量指的是1 000名学生 D．个体指的是1 000名学生中的每一名学生 2．(人教A版必修第二册P185练习T3改编)一支田径队有男运动员56名，女运动员42名，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本．如果样本按比例分配，那么男运动员应抽取________名，女运动员应抽取________名． 3．(人教A版必修第二册P213例6改编)为调查高一年级学生期中考试数学成绩的情况，从(1)班抽取了12名学生的成绩，他们的平均分为91分，方差为3，从(2)班抽取了8名学生的成绩，他们的平均分为89分，方差为5，则合在一起后的样本均值为________，样本方差为________． 4．(人教A版必修第二册P198练习T1改编)从某小区随机抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在50～300 kW·h之间，进行适当分组后(每组为左闭右开区间)，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)直方图中x的值为________； (2)在被调查的用户中月用电量落在区间[100，250)内的户数为________． 考点一　简单随机抽样 [典例1]　(1)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1＝p2<p3 B．p2＝p3<p1　 C．p1＝p3<p2 D．p1＝p2＝p3 (2)某班有30位同学，他们依次编号为01，02，…，29，30，现利用下面的随机数表选取5位同学组建“文明校园督查组”．选取方法是从随机数表的第1行的第5列和第6列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5位同学的编号为(　　) 41792 71635 86089 32157 95620 92109 29145 74955 82835 98378 83513 47870 20799 32122 A．08 B．21 C．09 D．14 [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　简单随机抽样的适用范围 简单随机抽样常用抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况)． [跟进训练] 1．(1)(多选)下列抽取样本的方式，不是简单随机抽样的是(　　) A．从无限多个个体中抽取100个个体作为样本 B．盒子里共有80个零件，从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验 C．从80件玩具中一次性抽取3件进行质量检验 D．某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛 (2)某次抽奖的中奖号码是从分别标有1，2，…，30的30个小球中逐个不放回地摇出7个小球来按规则确定中奖情况，这种从30个号码中选7个号码的抽样方法是________． 考点二　分层随机抽样 　求总体或样本容量 [典例2]　(2024·河南驻马店二模)已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，为加大对该社区反电信诈骗的宣传力度，按年龄进行分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多(　　) A．6人 B．9人 C．12人 D．18人 [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　分层随机抽样的均值与方差 [典例3]　(多选)(2025·湖北武汉模拟)某市教育局为了解该市高中各年级学生的文学经典名著的年阅读量，采用样本比例分配的分层随机抽样方法抽取了一个容量为100的样本．其中，从高三年级抽取容量为20的样本，平均数为4，方差为9；从高二年级抽取容量为40的样本，平均数为7，方差为15；从高一年级抽取容量为40的样本，平均数为9，方差为21，据此估计，三个年级的学生文学经典名著的年阅读量的(　　) A．均值为6.2 B．均值为7.2 C．方差为19.56 D．方差为20.56 [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　分层随机抽样中有关计算的方法 (1)抽样比＝． (2)在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均数为，则样本的平均数为． [跟进训练] 2．为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用按比例分配的分层随机抽样的方法，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间的平均数为9小时，方差为1，抽取高中生1 200人，其每天睡眠时间的平均数为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为(　　) A．0.94 B．0.96 C．0.75 D．0.78 考点三　统计图表 [典例4]　(1)(2024·天津模拟)为了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，对所得的体重数据(单位：kg)进行分组，区间为[50，55)，[55，60)，[60，65)，[65，70)，[70，75]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，画出频率分布直方图(如图所示)．已知第一组，第二组和第三组的频率之比为1∶2∶3，且第一组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是(　　) A．48 B．50 C．54 D．60 (2)下图是2023年11月中国的10个城市地铁运营里程(单位：公里)及运营线路条数的统计图，下列判断正确的是(　　) A．这10个城市中北京的地铁运营里程最长且运营线路条数最多 B．这10个城市地铁运营里程的中位数是516公里 C．这10个城市地铁运营线路条数的平均数为15.4 D．这10个城市地铁运营线路条数的极差是12 (3)(多选)为了解我国在芯片、软件方面的潜力，某调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统计，得到了这两个行业从业者年龄分布的扇形图和“90后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，如图所示，则下列说法中正确的是(　　) A．芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例超过50% B．芯片、软件行业中，从事技术、设计岗位的“90后”人数超过总人数的25% C．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”的总人数多 [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　几种统计图表的特点及使用方法 (1)通过扇形图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系． (2)折线图可以显示随时间(根据常用比例设置)而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势． (3)频率分布直方图的数据特点： ①频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，不要误认为纵轴上的数据是各组的频率，不要和条形图混淆； ②频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，这是解题的关键，常利用频率分布直方图估计总体分布． [跟进训练] 3．(多选)(2025·湖南名校联盟联考)某快递公司2020－2024年的快递业务量及其增长率如图所示，则(　　) A．该公司2020－2024年快递业务量逐年上升 B．该公司2020－2024年快递业务量的极差为68.5亿件 C．该公司2020－2024年快递业务量的增长率的中位数为29.9% D．该公司2020－2024年快递业务量的增长率的平均数为21.58% 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章　统计与成对数据的统计分析 第1课时　随机抽样、统计图表 梳理·必备知识 1．总体　个体　样本　样本容量 2．(1)逐个不放回　(2)相等　(3)随机数法 3．(1)简单随机　合在一起　层　(2) 4．(1)频率分布直方图　(2)极差　组距　组数　数据 激活·基本技能 一、(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 二、1．B　[总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩，A错误；样本是指1 000名学生的数学成绩，B正确；样本量是1 000，C错误；个体指的是每名学生的数学成绩，D错误．故选B．] 2．16　12　[田径队运动员的总人数是56＋42＝98，要得到容量为28的样本，占总体的比例为，于是应该在男运动员中随机抽取56×＝16(名)，在女运动员中随机抽取28－16＝12(名)．] 3．90.2　4.76　[样本均值＝＝90.2，样本方差s2＝＝4.76．] 4．(1)0.004 6　(2)72　[(1)根据频率分布直方图的各小长方形的面积和为1， 得(0.002 4＋0.003 8＋0.006 0＋x＋0.003 2)×50＝1，解得x＝0.004 6． (2)月用电量落在区间[100，250)内的频率为(0.003 8＋0.006 0＋0.004 6)×50＝0.72， 所以在被调查的用户中月用电量落在区间[100，250)内的户数为100×0.72＝72．] 考点一 典例1　(1)D　(2)C　[(1)在简单随机抽样和分层随机抽样中，每个个体被抽中的概率均为p1＝p2＝p3＝．故选D． (2)从随机数表的第1行的第5列和第6列数字开始，则取得的数字分别为27，16，35(舍去)，86(舍去)，08，93(舍去)，21，57(舍去)，95(舍去)，62(舍去)，09，最终取得的第5个编号为09．] 跟进训练 1．(1)ACD　(2)抽签法　[(1)对于A，简单随机抽样中总体的个数是有限的，题中是无限的，故选项A不是简单随机抽样；对于B，满足简单随机抽样的定义，从N个个体中逐个不放回地抽取n个个体(n≤N)，故选项B是简单随机抽样；对于C，不是简单随机抽样，原因是简单随机抽样是逐个抽取，而题中是一次性抽取；对于D，不是简单随机抽样，原因是指定个子最高的5名同学是56名同学中特指的，不存在随机性，不是等可能抽样．故选ACD． (2)30个小球相当于号签，搅拌均匀后逐个不放回地抽取，这是典型的抽签法．] 考点二 考向1　典例2　B　[设中年人抽取x人，青少年抽取y人，由分层随机抽样可知＝＝，解得x＝15，y＝6，故中年人比青少年多9人．故选B．] 考向2　典例3　BC　[A、B选项，三个年级的学生文学经典名著的年阅读量的均值为＝7.2，A错误，B正确； C、D选项，三个年级的学生文学经典名著的年阅读量的方差为[21＋(9－7.2)2]＝19.56, C正确，D错误． 故选BC．] 跟进训练 2．A　[该地区中学生每天睡眠时间的平均数为 ×9＋×8＝8.4(小时)， 该地区中学生每天睡眠时间的方差为 ×[1＋(9－8.4)2]＋×[0.5＋(8－8.4)2]＝0.94．故选A．] 考点三 典例4　(1)A　(2)C　(3)ABD　[(1)由题中频率分布直方图可知，前三组频率之和为1－×5＝0.75， 又第一组、第二组和第三组的频率之比为1∶2∶3， 所以第一组的频率为0.75×＝0.125，又第一组的频数为6，所以报考飞行员的学生人数为＝48． 故选A． (2)对于A，北京的地铁运营线路条数最多，而运营里程最长的是上海，A错误； 对于B，地铁运营里程的中位数是 ＝537.3公里，B错误； 对于C，地铁运营线路条数的平均数为＝15.4，C正确； 对于D，地铁运营线路条数的极差是27－8＝19，D错误．故选C． (3)芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的55%，A正确； 芯片、软件行业中，从事技术、设计岗位的“90后”占总人数的(37%＋13%)×55%＝27.5%，B正确； 芯片、软件行业中，从事技术岗位的“90后”占总人数的37%×55%＝20.35%，“80后”占总人数的40%，但从事技术岗位的“80后”占总人数的百分比不知道，无法确定二者人数多少，C错误； 芯片、软件行业中，从事市场岗位的“90后”占总人数的14%×55%＝7.7%，“80前”占总人数的5%，D正确．故选ABD．] 跟进训练 3．ABD　[对于A，由题图可知：2020－2024年快递业务量逐年上升，故A正确； 对于B，2020－2024年快递业务量的极差为132.0－63.5＝68.5(亿件)，故B正确； 对于C，因为增长率从小到大排序， 即 2.1%，19.4%，25.3%，29.9%，31.2%， 则中位数为25.3%，故C错误； 对于D，由×(2.1%＋19.4%＋25.3%＋29.9%＋31.2%)＝21.58%，故D正确． 故选ABD.] 学科网（北京）股份有限公司 $$