第二章 重点培优课2 指数式、对数式、幂式的大小比较-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word

重点培优课2　指数式、对数式、幂式的大小比较 题型一 典例1　(1)B　(2)A　[(1)因为y＝4.2x在R上单调递增，且－0.3<0<0.3， 所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3， 所以0<4.2-0.3<1<4.20.3，即0<a<1<b. 因为y＝log4.2x在(0，＋∞)上单调递增，且0<0.2<1， 所以log4.20.2<log4.21＝0，即c<0， 所以b>a>c.故选B. (2)∵log51<log52<log5，∴0<a<. ∵b＝＝log0.70.1>log0.70.7＝1， ∴b>1，∵0.71<0.70.3<0.70，∴0.7<c<1，∴a<c<b.故选A.] 跟进训练 1．(1)D　(2)B　[(1)a＝<，即0<a<，b＝log0.30.2>1，即b>1，因为0.42<0.3，所以log0.30.42>log0.30.3＝1， 即log0.30.4>，且log0.30.4<log0.30.3＝1，则<c<1，所以b>c>a.故选D. (2)根据换底公式log32＝，log52＝. 因为log25>log23>1，所以0<log52<log32<1，故1<2log52<2log32<2. 又c＝＝21.1>21＝2， 所以b<a<c.故选B.] 题型二 [典例2]　ABC　[令2a＝＝log2c＝t，在同一直角坐标系中画出y＝2x，y＝，y＝log2x的图象． 由图象可知： 当y＝t在①位置时，b<a<c； 当y＝t在②位置时，a<b<c； 当y＝t在③位置时，a<c<b； b<c<a不可能成立．故选ABC.] 跟进训练 2．B　[在同一直角坐标系中画出y＝ex，y＝e－x，y＝ln x，y＝－ln x的图象， 由图象可知a<c<b.故选B.] 题型三 典例3　(1)C　(2)A　[(1)由题意得a>0，b>0，c>0， ＝＝<1，故b＞a；＝＝＝>1，a>c，故b＞a＞c.故选C. (2)由题意可得a＝3log83＝3×＝log23>1， b＝－＝－＝log34>1，0<c＝log43<1， 又log23－log34＝＝， 由于lg 2>0，lg 4>0，lg 2≠lg 4，∴lg 2lg 4<＝(lg )2<(lg 3)2， 故log23－log34>0，∴a>b，综合可得a>b>c，故选A.] 跟进训练 3．(1)C　(2)D　[(1)因为81>64，所以3>＝，所以＝，即b>c； 又lg 5>0，lg 3>0，所以lg 5×lg 3<＝(lg )2. 因为lg 4>lg ， 所以＝log54×log34＝>>1， 即log54>log43，所以a>b>c.故选C. (2)a＝log23＝log2＝1＋log2＝， b＝log812＝log8＝1＋log8＝， c＝lg 15＝log10＝1＋log10＝， ，∴a>b>c.故选D.] 题型四 典例4　(1)D　(2)B　[(1)＝＝＝，∵6π＞0，∴a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较． 设f(x)＝，则f′(x)＝，当x＝e时，f′(x)＝0， 当x＞e时，f′(x)＜0，当0＜x＜e时，f′(x)＞0， ∴f(x)在(e，＋∞)上单调递减，∵e＜3＜π＜4，∴＞＞＝，∴b＞c＞a，故选D. (2)令f(x)＝2x＋log2x，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增．又2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b<22b＋log2(2b)，所以f(a)<f(2b)，所以a<2b.故选B.] 跟进训练 4．B　[令f (x)＝x－，则f (x)在R上单调递增， 由f (1)＞0，f ＜0，则存在x∈，使得f (x)＝0，即x＝，而＝⇒y＝， ∵x＜，∴x－y＝－＞0⇒x＞y. x＝logxz⇒z＝xx＞＝x. 综上：y＜x＜z.故选B.] 题型五 典例5　 A　[法一(特值法)：取z＝1，则由2x＝3y＝5得x＝log25，y＝log35，所以2x＝log225＜log232＝5z，3y＝log3125＜log3243＝5z，所以5z最大．取y＝1，则由2x＝3得x＝log23，所以2x＝log29＞3y.综上可得，3y＜2x＜5z.故选A. 法二(设元法)：设2x＝3y＝5z＝k，则x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，所以＝＝＝．又易知，所以，即0＜＜＜，所以3y＜2x＜5z.故选A.] 跟进训练 5．ACD　[法一(特值法)：取x＝2，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝3，z＝5，此时易知＝＝，选项C正确；取x＝4，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝9，z＝25，此时易知＜＜，选项A正确；取x＝，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝，z＝，此时易知＜＜，选项D正确． 法二(设元法)：设log2x＝log3y＝log5z＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝5k，所以＝2k-1，＝3k-1，＝5k-1.又易知k＞0，若k＝1，则＝1，＝1，＝1，所以＝＝，所以选项C有可能正确；若0＜k＜1，则根据函数f(t)＝tk-1在(0，＋∞)上单调递减可得2k-1＞3k-1＞5k-1，所以＜＜，所以选项D有可能正确；若k＞1，则根据函数f(t)＝tk-1在(0，＋∞)上单调递增可得2k-1＜3k-1＜5k-1，所以＜＜，所以选项A有可能正确．] 学科网（北京）股份有限公司 $$色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 重点培优课2 指数式、对数式、幂式的大小 比较 题型一临界值法比较大小 [典例1](1)(2024·天津高考)若a=4.203,b=4.20.3,c=log40.2,则a,b,c 的大小关系为() A.ab-c B.b-ac C.c-a-b D.b>c>a 1 (2)已知a=logs2,b=1go0.7,c=0.703,则a,b,c的大小关系为( ) A.a<c<b B.a<b<c C.bc<a D.c<a<b [听课记录 名师点评 临界值法比较大小的关键是寻找合适的中间值，如常考虑a,b,c与 特殊数字“0”“1”“号”的大小关系. [跟进训练] 1.（02025·山西运城模拟)设a=()08,b=1ogo0.2,c=1bg00.4,则a,b, c的大小关系为() A.ab-c B.b-ac C.c-a-b D.bc>a 2)已知a=23子，b=23,c=()1，则( A.asb<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b 题型二 数形结合法比较大小 1/4 ·独家授权侵权必究。 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXK数com 您身边的互联网+教辅专家 [典例2]（多选2025·重庆巴蜀中学模拟）已知实数a,b,c满足：20=()°= 1og2c,则下列关系可能成立的是( A.b<a<c B.a<b<c C.a<c<b D.b<c<a [听课记录1 名师点评 本例属于方程根问题，求解的关键是等价转化为相应函数图象的交点 问题，如将问题转化为函数=2“y=(传)广， y=log2x的图象与直线y=1的交 点的横坐标的大小关系，再画出图象，数形结合求解即可 [跟进训练] 2.(2025·山西晋中模拟)若e4=-lna,e-b=lnb,ec=-lnc,则() A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c 题型三 利用指数、对数及幂的运算性质比较大小 [典例3】(1)设a=受，=罗，c=曾，则a,b,c三个数从大到小的排列顺 序为() A.ab-c B.b-c-a C.b-ac D.c-ab (2)已知a=3logs3,b=-10g16,c=1og3,则a,b,c的大小关系为( A.ab-c B.c-ab C.b-c-a D.b-a-c [听课记录1 2/4 独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 名师点评 作差（商）比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差（商）， 看其值与0(1)的关系，从而确定所比两值的大小关系. [跟进训练] 3.(1)若a=1ogs4,b=log3,c=是，则( ) A.b>c>a B.b>a>c C.a>b>c D.c>b>a (22024·安微阜阳一模)设a=1og23,b=log812,c=1g15,则a,b,c的大小 关系为() A.a<b<c B.a<c<b C.b<asc D.c<b<a 题型四 构造函数法比较大小 典例41(1)已知a=3n2r,b=2n3π，c=3ln元2，则下列选项正确的是() A.a>b>c B.c>a>b C.c>b>a D.b>c>a (2)若2a+1og2a=46+2log4b,则( A.a2b B.a<2b C.a-b2 D.ab2 [听课记录] 名师点评 破解此类问题的关键是发现题眼、构造函数，如本例(1)的题眼是“对 a,b,c同除以6m”,进而从号，号，吧中发现共性函数f)=袋 [跟进训练] 3/4 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 4.2023·山东格沂一模)已知x=()产，log4y=,x=1og,则( ) A.x<y<z B.y<x<z C.2<x<y D.z<y<x 题型五特值法、设元法比较大小 [典例5]设x,y,z为正实数，且2x=3=5,则( )二题多解 A.3y<2x<5z B.2x<3y<5z C.3y<5z<2x D.5z<2x<3y [听课记录] 名师点评 本题利用特值法求解，显得简洁、明了；利用设元法求解，关键在于 转化为比较太，实，的大小，其优点是便于运用对数函数的单调性 [跟进训练] 5,(多选)设x,y,z为正实数，且logx=logy=-logsz>0,则登，首，号的大小关 系可能是( 一题多解 A.<背<青 B.背<梦<有 C.竞=背=青 D.<背<等 提示}请完成《培优训练（二）》 见第315页 4/4 ·独家授权侵权必究·