第二章 第10课时 函数模型的应用-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word

第10课时　函数模型的应用 梳理·必备知识 1．递增　递增　越快　越慢　y轴　x轴 激活·基本技能 一、(1)×　(2)√　(3)× 二、1．D　[结合函数的性质可知，几种函数模型中，指数函数的增长速度最快．] 2．④　[由题图可知，上述点大体在函数y＝log2x的图象上，故选择y＝log2x可以近似地反映这些数据的规律．] 3．150　690　[因为y＝－＋12x－210＝－(x－150)2＋690，所以当x＝150，即当日单价为150元时，该商品的最大日利润为690元．] 4．y＝ 考点一 典例1　(1)B　(2)B　[(1)由图可知水深h越大，水的体积v就越大，故函数v＝f是增函数，故排除A，C项，由鱼缸形状可知，下面细中间粗，上面较细，所以随着水深的增加，体积的变化的速度是先慢后快再慢的，所以B正确．故选B. (2)A选项，由散点图知身高y随年龄x变化不是线性增长，故A错误；C选项，指数函数模型中y随x增长越来越快，与图象不符合；D选项，对数函数模型在x＝0时没有意义；B选项符合散点图中y随x增长越来越慢，且在x＝0时有意义．故选B.] 跟进训练 1．A　[当点P在AB上时：y＝×x×1＝x，0≤x≤1； 当点P在BC上时：y＝S正方形ABCD－S△ABP－S△ADM－S△PCM＝12－×1×(x－1)－×1××(2－x)＝－x＋，1<x≤2； 当点P在CM上时：y＝×1＝－x＋，2<x≤， 所以y＝ 由函数解析式可知，有三段线段，又当点P在BC上时是减函数，故符合题意的为A.故选A.] 考点二 典例2　D　[由题意知r0＝2.25 g/m3，r1＝2.21 g/m3， 当n＝1时，r1＝r0＋(r1－r0)×30.25+t，故30.25+t＝1，解得t＝－0.25， 所以rn＝2.25－0.04×30.25(n-1)． 由rn≤0.65，得30.25(n-1)≥40，即0.25(n－1)≥， 得n≥＋1≈14.33，又n∈N*， 所以n≥15， 故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为15次．故选D.] 跟进训练 2．D　[依题意，两式相减得0.5＝lg V2－lg V1＝lg ， 解得＝100.5＝，所以∈(3，3.5)．故选D.] 考点三 典例3　解：(1)因为一次喷洒4个单位的消毒剂， 所以其浓度为f (x)＝4y＝ 当0≤x≤4时，－4≥4，解得x≥0，此时0≤x≤4， 当4<x≤10时，20－2x≥4，解得x≤8，此时4<x≤8， 所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时． (2)设从第一次喷洒起，经x(6≤x≤10)小时后， 其浓度g(x)＝2＋a＝10－x＋－a＝14－x＋－a－4， 因为14－x∈[4，8]，a∈[1，4]， 所以14－x＋－a－4≥2－a－4＝8－a－4， 当且仅当14－x＝，即x＝14－4∈[6，10]时，等号成立． 所以其最小值为8－a－4，由8－a－4≥4，解得24－16≤a≤4，所以a的最小值为24－16≈1.6. 跟进训练 3．BD　[将x＝0.1代入①y＝5＋2lg x，②y＝5－lg ， 分别可得y＝5－2＝3，y＝5－1＝4， 所以标准对数视力表对应函数模型②，故A错误，B正确；令y＝5－lg ＝5，解得x＝1，所以小明视力的小数记录数据为1.0，故C错误； x＝0.8代入模型②得，y＝5－lg ＝5＋lg 0.8＝5－0.1＝4.9，故D正确．故选BD.] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10课时　函数模型的应用 [考试要求]　1．了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异．2．理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义．3．会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用． 1．指数、对数、幂函数模型性质的比较 　　函数 性质　　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调____ 单调____ 单调递增 增长速度 越来____ 越来____ 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与___平行 随x的增大逐渐表现为与___平行 随n值变化而各有不同 2．几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f (x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f (x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 与指数函数 相关的模型 f (x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与对数函数 相关的模型 f (x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与幂函数相 关的模型 f (x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) [常用结论] 1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小． 2．“对勾”函数f (x)＝x＋在(0，＋∞)上的性质：在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增，当x＝时f (x)取最小值2. 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大． (　　) (2)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a＞1)的增长速度． (　　) (3)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0且b≠1)增长速度越来越快的形象比喻． (　　) 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P138探究改编)当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是(　　) A．y＝2x　　　　　 B．y＝lg x C．y＝x2 D．y＝2x 2．(人教A版必修第一册P148例3改编)根据一组试验数据画出的散点图如图所示． 现有如下4个模拟函数： ①y＝0.6x－0.12；②y＝2x－2.02； ③y＝x2－5.4x＋6；④y＝log2x. 请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________(填序号)． 3．(人教A版必修第一册P86习题3.2T4改编)某超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日单价x(单位：元)之间的函数解析式为y＝－＋12x－210，那么，日单价为________元时，该商品的日利润最大，最大日利润为________元． 4．(人教A版必修第一册P72练习T2改编)某城市客运公司确定客运票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(单位：元)与行驶千米数x(单位：km)之间的函数解析式是________． 考点一　用函数图象刻画实际问题 [典例1]　(1)高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f的大致图象是(　　) A　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D (2)(2024·云南师大附中期末)如图是根据某调查绘制的某地区7岁以下女童身高(长)的中位数散点图，下列可近似刻画身高y(单位：cm)随年龄x(单位：岁)变化规律的函数模型是(　　) A．y＝mx＋n(m>0) B．y＝m＋n(m>0) C．y＝max＋n(m>0，a>1) D．y＝mlogax＋n(m＞0，a＞1) [听课记录]___________________________________________________________ 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[典例2]　(2025·河北沧州模拟)某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为2.25 g/m3，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为2.21 g/m3，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量rn满足函数模型rn＝r0＋(r1－r0)·30.25n＋t(t∈R，n∈N*)，其中r0为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，r1为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过0.65 g/m3时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为(　　) (参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) A．12 B．13 C．14 D．15 [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． [跟进训练] 2．(2025·山东泰安模拟)青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.5和5.0，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为V1，V2，则的值所在区间是(　　) A．(1.5，2) B．(2，2.5) C．(2.5，3) D．(3，3.5) _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 考点三　构建函数模型的实际问题 [典例3]　(2024·江苏南通二模)某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：小时)变化的关系如下：当0≤x≤4时，y＝－1；当4<x≤10时，y＝5－x.若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4毫克/立方米时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用． (1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？ (2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a的最小值(精确到0.1，参考数据：取1.4) [听课记录]___________________________________________________________ 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