第二章 第9课时 函数的零点与方程的解-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word

第9课时　函数的零点与方程的解 梳理·必备知识 1．(1)f(x)＝0　(2)零点　x轴　(3)连续不断　f(a)f(b)<0　(a，b)　f(c)＝0 2．连续不断　f(a)f(b)<0　零点 激活·基本技能 一、(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、1．A　[根据二分法的概念可知选项A中的函数不能用二分法求零点．] 2．BC　[由所给的函数值表知， f(1)f(2)>0，f(2)f(3)<0，f(5)f(6)<0，f(6)f(7)＞0，∴函数f(x)必有零点的区间为(2，3)，(5，6)．故选BC.] 3．B　[令f(x)＝log2x＋x－2，易知函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝－1，f(2)＝1，所以f(1)f(2)＜0， 故方程f(x)＝0在(0，＋∞)上只有一个实根．故选B.] 4．0或－　[当a＝0时，f(x)＝－x－1， 令f(x)＝0得x＝－1， 故f(x)只有一个零点为－1. 当a≠0时，则Δ＝1＋4a＝0，∴a＝－.] 考点一 典例1　(1)B　(2)2　[(1)由函数f(x)＝2x＋x3－2可知f(x)在R上单调递增， 因为f(－2)＝－8－2＝－<0，f(－1)＝－1－2＝－<0，f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0， 根据函数零点存在定理，f(x)的零点所在的区间是(0，1)，且零点是唯一的．故选B. (2)对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y>1，在同一直角坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，判断出两个函数图象的交点的横坐标在(2，3)内，所以函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2. ] 跟进训练 1．A　[函数y＝f(x)是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．] 考点二 典例2　(1)D　(2)C　[(1)当x≤0时，令x2－1＝0，解得x＝－1； 当x>0时，f(x)＝x－2＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，并且f(1)＝1－2＋ln 1＝－1<0， f(2)＝2－2＋ln 2＝ln 2>0，即f(1)f(2)<0， 所以函数f(x)在区间(1，2)内必有一个零点， 综上，函数f(x)的零点个数为2. (2)令g(x)＝0得f(x)＝， 在同一直角坐标系中作出f(x)及y＝的大致图象如图所示． 由图象可知，函数y＝f(x)与y＝的图象有3个交点， 即函数g(x)有3个零点．故选C.] 跟进训练 2．(1)C　(2)①②④ [(1)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，即x＝0是函数f(x)的1个零点．当x＞0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3，分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示，两函数图象有1个交点，所以函数f(x) 在(0，＋∞)上有1个零点．根据对称性知，当x＜0时，函数f(x)也有1个零点．综上所述，f(x)的零点个数为3. (2)将问题转化成两个函数y1＝|lg x|，y2＝kx＋2图象的交点问题． 对于①，当k＝0时，|lg x|＝2，两函数图象有两个交点，①正确； 对于②，存在k＜0，使y1＝|lg x|与y2＝kx＋2相切，②正确； 对于③，若k＜0，y1＝|lg x|与y2＝kx＋2的图象最多有2个交点，③错误； 对于④，当k＞0时，过点(0，2)可作函数g(x)＝lg x(x＞1)的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故④正确．] 考点三 考向1　典例3　 [1，2]　[作出f(x)的大致图象．如图所示， 方程f(x)＝m有3个不等实数根等价于f(x)的图象与直线y＝m有3个不同的交点，则1≤m≤2.] 考向2　典例4　(1)B　(2)A　[(1)由y1＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，y2＝x2＋m在(0，＋∞)上单调递增，得函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(0，＋∞)上单调递增， 因为函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(1，2)上存在零点， 所以即解得－5<m<－1， 所以实数m的取值范围是(－5，－1)．故选B. (2)函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5，5]上恰有8个零点，即函数f(x)与函数g(x)的图象在区间[－5，5]上有8个交点，由f(x＋2)＝f(x)知，f(x)是R上周期为2的函数，作函数f(x)与函数g(x)在区间[－5，5]上的图象，如图所示， 由图象知，当x∈[－5，1]时，图象有5个交点，故在(1，5]上有3个交点即可， 故解得2<a<4.故选A.] 跟进训练 3．(1)D　(2)　[(1)由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是.所以实数a的取值范围是. (2)依题意，结合函数f (x)的图象(图略)分析可知，m需满足 即 解得<m<.] 微点突破2 跟进训练 1．D　[f(x)＝x＋＝ 当x<0时，f(x)＝x－，此时f(x)＝x－在(－∞，0)上单调递增， 当x>0时，f(x)＝x＋，则f′(x)＝1－＝， 故当x>1时，f′(x)>0，当0<x<1时，f′(x)<0， 故f(x)＝x＋在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 作出函数f(x)和y＝3的图象如图： 令x＋＝3得，x2＝，x3＝， 故x1∈(－1，0)，x2∈(0，1)，x3∈(2，＋∞)， 令f(x)＝t，则f(t)＝3，且t1∈(－1，0)，t2∈(0，1)，t3∈(2，＋∞)， 当f(x)＝t1∈(－1，0)时，结合图象可知，只有1个根x4， 当f(x)＝t2∈(0，1)时，结合图象可知，只有1个根x5， 当f(x)＝t3∈(2，＋∞)时，结合图象可知，有3个根x6，x7，x8， 综上，方程f(f(x))＝3的实数根的个数为5.故选D.] 2．D　[设t＝f(x)，当x≥0时，f(x)＝2|x-1|－1，此时t≥0，由f(t)＝0得t＝1，即f(x)＝2|x-1|－1＝1，解得x＝0或x＝2，所以y＝f(f(x))在[0，＋∞)上有2个零点； 当x<0时，若a≥0，f(x)＝－x2＋ax，图象对称轴为x＝，函数y＝f(x)的大致图象如图， 此时f(x)＝－x2＋ax<0，即t<0，则f(t)<0， 所以f(t)＝0无解，则y＝f(f(x))无零点，即a≥0时，y＝f(f(x))只有2个零点，不符合题意，若a<0，此时f(x)的大致图象如图， 令－t2＋at＝0，解得t＝a<0(t＝0舍去)， 显然f(x)＝a在(－∞，0)上存在唯一负解， 所以要使y＝f(f(x))恰有5个零点， 需f>1， 即－>1，解得a<－2， 所以a∈(－∞，－2)． 故选D.] 学科网（北京）股份有限公司 $$色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第9课时 函数的零点与方程的解 [考试要求]1.理解函数的零点与方程的解的联系，2.理解函数零点存在定理， 并能筒单应用.3.了解用二分法求方程的近似解. [链接教材·夯基固本) 落实主干·激活技能 C梳理·必备知识 1.函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y=f(x),我们把使 的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)=0有实数解台函数y=f(x)有台函数y=f(x)的图象与有公共点. (3)函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a,上的图象是一条 的曲线，且有 那么，函数y=f(x)在区间 内至少有一个零点， 即存在c∈(a,b),使得 ,这个c也就是方程f(x)=0的解 提醒：函数f()的零点不是一个“点”，而是方程f(x)=0的实根. 2.二分法 对于在区间[a,b]上图象 且 的函数y=f(x),通过 不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近，进 而得到零点近似值的方法叫做二分法，二分法只能求变号零点. [常用结论] 1.若连续不断的函数f(x)在(a,b)上是单调函数，而且f(af(b)0,则f(x)在(a, b)上有且仅有一个零，点. 2.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(): f(b)0,如图所示，所以f(a)·fb)0是y=f(x)在闭区间[a,b1上有零点的充分 不必要条件 1/8 ◆独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2xXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 >激活·基本技能 一、易错易混辨析（正确的打“√”，错误的打“×”） (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点 () (2)若函数y=f(x)在区间[a,b]内有零点（函数图象连续不断），则f(a)·f(b)<0 () (3)函数y=f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点. () (4)只要函数有零点，就可以用二分法求出零点的近似值. () 二、教材经典衍生 1.(人教A版必修第一册P155习题4.5T1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其 中不能用二分法求图中函数零点的是( ) 为 2.(多选)（人教A版必修第一册P155习题4.5T2改编）已知函数f(x)的图象是连续 不断的，且有如下对应值表： 1 3 6 f(x) -4 -2 4 2 一1 -3 在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为( A.(1,2) B.(2,3) C.(5,6) D.(6,7) 3.(人教A版必修第一册P143例1改编)方程1og2x十x一2=0的实根个数是() A.0 B.1C.2D.3 4.(人教A版必修第一册P1s6习题4.5T13改编)函数f(x)=ax2-x一1有且仅有一 个零点，则实数a的值为 2/8 ◆独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [典例精研·核心考点】 重难解悠·直击高考 考点一判定函数零点所在的区间 [典例1](1(2025·河北邯郸模拟)函数f(x)=2+x3-2的零点所在的区间是 () A.(-2,-1) B.(0,1) C.(-1,0) D.(1,2) (2)已知函数f(x)=logx十x一b(a心0且a≠1).当2<a3<b<4时，函数f(x)的零点 xo∈(n,n十1)，n∈N,则n= [听课记录1 名师点评 确定函数零点所在区间的常用方法 (I)利用函数零点存在定理：首先看函数y=f()在区间[a,b]上的图象是否连续， 若连续，则再看是否有f(a)·f(b)0,若有，则函数y=fx)在区间(@，b)内必有 零点。 (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点. [跟进训练] 1.若ab<c,则函数f(x)=(x一ax一b)+(x一bx一c)十(x一c)x一a)的两个零点 分别位于区间() A.(a,b)和(b,c)内 B.(-∞，a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞，a)和(c,十∞)内 3/8 独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 D考点二 确定函数零点的个数 (x2-1,x≤0 [典例2])函数f)={x-2+lnx,x>0的零点个数为( ) A.5 B.4 C.3D.2 ()1,x2 (2)已知函数f(x)= 4-x,x>2, 则函数gx)=f)-V的零点个数为() A.1 B.2 C.3D.4 [听课记录1 名师点评 求解函数零点个数的基本方法 (I)直接法：令f()=0,方程有多少个解，则fx)有多少个零点. (2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等. (③)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得 出函数的零点个数. [跟进训练] 2.(1)设函数f()是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=e+x一3，则fx) 的零点个数为() A.1B.2C.3D.4 (2)2021·北京高考)已知f(x)=lgx一x一2，给出下列四个结论： ①若k=0,则f(x)有两个零点： ②3k<0,使得f(x)有一个零点： ③k<0,使得f(x)有三个零点： ④归k>0,使得f(x)有三个零点. 以上正确结论的序号是 4/8 独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 考点三函数零点的应用 ◆考向1根据函数零点个数求参数 |log2(x-1)川，x>1, [典例3】已知函数f)= 3.1,x≤1， 若关于x的方程f(x)=m有3 个不相等的实数根，则m的取值范围是 [听课记录] ◆考向2 根据函数零点范围求参数 [典例41 (1)函数f(x)=1ogx+x2+m在区间(1,2)上存在零点，则实数m的取 值范围是() A.(-∞，-5) B.(-5,-1) C.(1,5) D.(5,+∞) (2)2025·河南南阳模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x十2)=f(x),当x∈ 1og(x-1),x>1, 【-1,1时，f)=2,函数g)=气2，x≤1， 若函数h(x)=f(x)一g (x)在区间[一5,5]上恰有8个零点，则a的取值范围为( ) A.(2,4) B.(2,5) C.(1,5) D.(1,4) [听课记录] 5/8 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 名师点评 已知函数零点求参数值或取值范围常用的方法和思路 ()直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参 数的取值范围 (2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决， (③)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象， 然后数形结合求解· [跟进训练] 3.(1)函数fx)=x2-ax十1在区间（专，3）上有零点，则实数a的取值范围是( A.(2,+∞) B.2,+∞) c.[2,) D.[2,9) (2)若函数f(x)=(m一2)x2+mx+2m+1的两个零点分别在区间（一1,0）和区间(1， 2)内，则m的取值范围是 微点突破2]嵌套函数的零点问题 函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函 数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助 函数的图象、性质求解 ln(-x-1),x<-1, [典例] 函数f(=12x+1,x2-1, 若函数gx)=ff()一a有三个不同 的零点，则实数a的取值范围是 [赏析第一步：换元解套 设t=fx),令ff(x)》-a=0,则a=f(). 第二步：辅助图形 6/8 *独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 在同一平面直角坐标系内作出y=a,y=f()的图象（如图）. 第三步：数形结合 当a≥一1时，y=a与y=f()的图象有两个交点. 设交点的横坐标为，t2(不妨设2>)，则1<一1，t2≥一1 当1<一1时，=f(x)有一解： 当2≥一1时，t2=f(x)有两解. 第四步：归纳总结 综上，当a≥一1时，函数g(x)=ff(x》一a有三个不同的零点. [答案][一1，十∞) 名师点评该类问题考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合思想是 解决本类问题的关键.含参数的嵌套函数方程，应注意让参数的取值“动起来” ,抓临界位置，动静结合，如本例由y=a与y=f(0的图象，确定1，h的取值 范围，进而由y=f()与y=t的图象确定零点的个数. [跟进训练] 1.(2024·浙江金华三模)若函数fx)=x+言，则方程ff)=3的实数根个数 为() A.2B.3 C.4D.5 24.1,x≥0， 2.(2024·安徽合肥三模)设a∈R,函数f={-x2+,x<0, 若函数y=f (fx)恰有5个零点，则实数a的取值范围为() A.(-2,2) B.(0,2) 7/8 ◆独家授权侵权必究。 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXK数com● 您身边的互联网+教辅专家 C.[-1,0) D.(-∞，-2) 提示》请完成《课后作业（十五）》 见第319页 8/8 ·独家授权侵权必究·