第二章 第7课时 对数与对数函数-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word

第7课时　对数与对数函数 [考试要求]　1．理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．2．通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点．3．了解指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作________，其中____叫做对数的底数，____叫做真数． 以_____为底的对数叫做常用对数，log10N记为_____． 以____为底的对数叫做自然对数，logeN记为_____． 2．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝____，logaa＝____(a＞0，且a≠1)． (2)对数的运算性质： 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝____________； ②loga＝____________； ③logaM n＝______(n∈R)． (3)对数恒等式：＝____ (a>0，且a≠1，N>0)． (4)对数换底公式：logab＝. 3．对数函数 (1)一般地，函数________(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是____________． (2)对数函数的图象与性质 项目 a>1 0<a<1 图象 定义域 ____________ 值域 R 性质 过定点________，即x＝1时，y＝0 当x>1时，____； 当0<x<1时，____ 当x>1时，____； 当0<x<1时，____ 在(0，＋∞)上是__函数 在(0，＋∞)上是__函数 4．反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线____对称． [常用结论] 1．换底公式的三个重要结论 (3)logab·logbc·logcd＝logad． (a＞0，且a≠1；b＞0，且b≠1；c＞0，且c≠1；d＞0；m≠0) 2．对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log2x2＝2log2x. (　　) (2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数． (　　) (3)函数y＝ln 与y＝ln (1＋x)－ln(1－x)的定义域相同． (　　) (4)函数y＝log2x与y＝的图象重合． (　　) 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P140习题4.4T1改编)函数y＝的定义域是________． 2．(人教A版必修第一册P135练习T2改编)比较下列两个值的大小： (1)log56________log54； (2)log2________. 3．(人教A版必修第一册P126练习T3(2)改编)(log43＋log83)×log32＝________． 4．(人教A版必修第一册P141习题4.4T12改编)若loga<1，则实数a的取值范围是________． 考点一　对数的运算 [典例1]　(1)(2025·四川成都模拟)若实数m，n，t满足5m＝7n＝t且＝2，则t＝(　　) A．2 B．12 C． D． (2)化简：(log62)2＋log62×log63＋2log63－＝________． (3)(2025·八省联考)已知函数f (x)＝ax(a>0，a≠1)，若f (ln 2)f (ln 4)＝8，则a＝________． [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并． (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． [跟进训练] 1．(1)(2025·天津武清模拟)设a＝lg 20＋lg ，b＝log95，则a＋3b的值为(　　) A．2＋ B．1＋ C．27 D．26 (2)(2024·全国甲卷)已知a>1且＝－，则a＝________． (3)计算：lg 25＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2＝________． 考点二　对数函数的图象及应用 [典例2]　(1)已知函数f (x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　) A．0<a-1<b<1 B．0<b<a-1<1 C．0<b-1<a<1 D．0<a-1<b-1<1 (2)当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　) A． B． C．(1，) D．(，2) [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ [拓展变式]　将本例(2)中“4x＜logax”变为“关于x的方程4x＝logax有解”，则a的取值范围是________． 　对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． [跟进训练] 2．(1)(2024·广东深圳二模)已知a>0，且a≠1，则函数y＝loga的图象一定经过(　　) A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 (2)已知函数f (x)＝|ln x|，若0<a<b，且f (a)＝f (b)，则a＋2b的取值范围是________． 考点三　对数函数的性质及应用 　比较大小 [典例3]　已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　解与对数有关的不等式 [典例4]　(1)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增．若正实数a满足f (log2a)＋≤2f (1)，则a的取值范围是(　　) A．[1，2] B． C． D．(0，2] (2)设函数f (x)＝若f (a)>f (－a)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，0)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，1) [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　对数函数性质的综合应用 [典例5]　(1)(多选)(2025·广东深圳中学模拟)已知函数f (x)＝lg (x2＋ax－a－1)，给出下述论述，其中正确的是(　　) A．当a＝0时，f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．f (x)一定有最小值 C．当a＝0时，f (x)的值域为R D．若f (x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥－4} (2)(多选)已知函数f (x)＝ln ，下列说法正确的是(　　) A．f (x)为奇函数 B．f (x)为偶函数 C．f (x)在上单调递减 D．f (x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞) (3)已知函数f＝ln －x是偶函数，则实数a的值为________． [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　求与对数函数有关的复合函数的单调性、值域问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成． [跟进训练] 3．(1)设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则(　　) A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．c＞b＞a (2)已知函数f (x)＝ln (－x)＋2，则f (lg 3)＋f＝________． (3)已知f (x)＝1＋log3x(1≤x≤9)，设函数g(x)＝[f (x)]2＋f (x2)，则g(x)max－g(x)min＝________． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7课时　对数与对数函数 梳理·必备知识 1．x＝logaN　a　N　10　lg N　e　ln N 2．(1)0　1　(2)logaM＋logaN　logaM－logaN　nlogaM　(3)N 3．(1)y＝logax　(0，＋∞)　(2)(0，＋∞)　(1，0)　y>0　y<0　y<0　y>0　增　减 4．y＝x 激活·基本技能 一、(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 二、1．　[由≥0，得0＜2x－1≤1， 所以＜x≤1. 所以函数y＝的定义域是.] 2．(1)＞　(2)＝ 3．　[(log43＋log83)×log32＝＝.] 4．∪(1，＋∞)　[当a>1时，满足条件； 当0<a<1时，由得0<a<. 综上，a的取值范围是∪(1，＋∞)．] 考点一 典例1　(1)D　(2)－log62　(3)e　[(1)因为5m＝7n＝t且＝2， 易知t>0且t≠1，所以m＝log5t，n＝log7t， 所以＝logt5，＝logt7， 所以＝logt5＋logt7＝logt35＝2，则t＝.故选D. (2)(log62)2＋log62×log63＋2log63－6log62 ＝log62×(log62＋log63)＋2log63－2 ＝log62＋2log63－2＝2(log62＋log63)－log62－2＝2－log62－2＝－log62. (3)因为f(ln 2)＝aln 2，f(ln 4)＝aln 4，所以f(ln 2)f(ln 4)＝aln 2·aln 4＝aln 2+ln 4＝a3ln 2＝(aln 2)3＝8，所以aln 2＝2，所以a＝e.] 跟进训练 1．(1)B　(2)64　(3)2　[(1)根据题意， a＋3b＝lg 20＋lg(√(20)×√(5))＋＝lg 10＋.故选B. (2)由题意log2a＝－，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0， 解得log2a＝－1或log2a＝6.又a>1， 所以log2a＝6＝log226，故a＝26＝64. (3)原式＝2lg 5＋lg 2(1＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 5＋lg 2＋lg 2×lg 5＋(lg 2)2 ＝1＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2) ＝1＋lg 5＋lg 2＝1＋lg 10＝2.] 考点二 典例2　(1)A　(2)B　[(1)由函数图象可知，f (x)为增函数，故a>1. 函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)， 由函数图象可知－1<logab<0，解得<b<1. 综上，0<a-1<b<1. (2)构造函数f (x)＝4x和g(x)＝logax，当a＞1时，不满足条件；当0＜a＜1时，在同一直角坐标系中画出两个函数大致的图象，如图所示，由题意可知 f ＜g，即2＜loga， 则a＞，所以a的取值范围为.] 拓展变式 　[若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x的图象和函数y＝logax的图象在上有交点． 由图象可知解得0＜a≤.] 跟进训练 2．(1)D　(2)(3，＋∞)　[(1)当x＝0时，y＝loga＝－1， 则当0<a<1时，函数图象过第二、三、四象限； 则当a>1时，函数图象过第一、三、四象限； 所以函数y＝loga的图象一定经过第三、四象限． 故选D. (2)f (x)＝|ln x|的图象如图所示， 因为f (a)＝f (b)，所以|ln a|＝|ln b|， 因为0<a<b，所以ln a<0，ln b>0， 所以0<a<1，b>1，所以－ln a＝ln b， 所以ln a＋ln b＝ln (ab)＝0， 所以ab＝1，则b＝，所以a＋2b＝a＋， 令g(x)＝x＋(0<x<1)，则g(x)在(0，1)上单调递减， 所以g(x)>g(1)＝1＋2＝3，所以a＋2b>3， 所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞)．] 考点三 考向1　典例3　 D　[法一(中间量法、性质法)：因为a＝log2e＞1，b＝ln 2∈(0，1)，所以a＞b.又因为c＝＝log23，且函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以log23＞log2e，所以c＞a，所以c＞a＞b. 法二(图象法)：＝log23，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log2x，y＝ln x的图象，如图，由图可知c＞a＞b. ] 考向2　典例4　(1)C　(2)C　[(1)因为＝－log2a，所以f (log2a)＋＝f (log2a)＋f (－log2a)＝2f (log2a)，原不等式变为2f (log2a)≤2f (1)，即f (log2a)≤f (1)．又因为f (x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以|log2a|≤1，即－1≤log2a≤1，解得≤a≤2，故选C. (2)由题意可得 或 解得a>1或－1<a<0.故选C.] 考向3　典例5　(1)AC　(2)ACD　(3)2　[(1)对于A，∵a＝0，∴f(x)＝lg (x2－1)，即x2－1＞0，∴x＜－1或x＞1，∴A正确； 对于B，令u(x)＝x2＋ax－a－1，则复合函数y＝f(x)是由y＝lg u，u＝x2＋ax－a－1复合而成的， ∵y＝lg u在定义域内是单调递增的，而u＝x2＋ax－a－1(u>0)无最小值，∴f(x)没有最小值，∴B错误； 对于C，当a＝0时，f(x)＝lg (x2－1)中的u＝x2－1中的u能够取到所有的正数， ∴f(x)的值域为R，∴C正确； 对于D，∵复合函数y＝lg (x2＋ax－a－1)是由y＝lg u，u＝x2＋ax－a－1复合而成的，而y＝lg u在定义域内是单调递增的，又∵y＝f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性可知， u＝x2＋ax－a－1在区间[2，＋∞)上单调递增，则有－≤2， 即a≥－4. 又∵x2＋ax－a－1>0在区间[2，＋∞)上恒成立，则有22＋2a－a－1>0，即a>－3， ∴a>－3，∴D错误． 故选AC. (2)令>0，解得x>或x<－， ∴f(x)的定义域为，又f(－x)＝ln ＝ln ＝ln ＝－ln ＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数，故A正确，B错误． 又f(x)＝ln ＝ln ， 令t＝1＋，t>0且t≠1，则y＝ln t， 又t＝1＋在上单调递减，且y＝ln t为增函数， ∴f(x)在上单调递减，故C正确； 由C分析可得f(x)的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正确． (3)由题意知f(x)的定义域为R，函数＝－x是偶函数， 则f＝＝ 即ln ＝2x，化简得ln eax＝2x，解得a＝2.] 跟进训练 (1)A　(2)4　(3)5　[(1)a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63，∵log43＞log53＞log63，∴a＞b＞c. (2)设g(x)＝ln (－x)，则f (x)＝g(x)＋2，显然有g(－x)＝－g(x)，即g(x)为奇函数，则g(－x)＋g(x)＝0，所以f (lg 3)＋f＝f (lg 3)＋f (－lg 3)＝g(lg 3)＋2＋g(－lg 3)＋2＝4. (3)由题意得 ∴1≤x≤3，∴g(x)的定义域为[1，3]， g(x)＝[f (x)]2＋f (x2) ＝(1＋log3x)2＋1＋log3x2 ＝(log3x)2＋4log3x＋2， 设t＝log3x，则0≤t≤1， 则y＝t2＋4t＋2＝(t＋2)2－2在[0，1]上单调递增， ∴当t＝0，即x＝1时，g(x)min＝g(1)＝2， 当t＝1，即x＝3时，g(x)max＝g(3)＝7， ∴g(x)max－g(x)min＝5.] 学科网（北京）股份有限公司 $$