第二章 第6课时 指数与指数函数-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word

第6课时　指数与指数函数 梳理·必备知识 1．(1)x　(2)根式　(3)a　a 2．　0 3．ar＋s　ars　arbr 4．(1)指数x　a　(3)(0，＋∞)　(0，1)　1 y>1　0<y<1　y>1　0<y<1　增　减 激活·基本技能 一、(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 二、1．B　[将写成分数指数幂的形式为．故选B.] 2．C　[依题意可知a2＝，解得a＝， 所以f(x)＝，所以f(－1)＝.] 3．BCD　[因为y＝1.7x为增函数，所以1.72.5＜1.73，故A错误；因为为减函数，所以，故B正确；因为1.70.3＞1，而0.93.1∈(0，1)，所以1.70.3＞0.93.1，故C正确；因为y＝为减函数，所以，又y＝在(0，＋∞)上单调递增，所以，所以，故D正确．] 4．B　[因为＝5，所以2＝52，即x＋x-1＋2＝25，所以x＋x-1＝23.] 考点一 典例1　BC　[对于A，，所以A错误； 对于＝－9a(a>0，b>0)，所以B正确； 对于C，，所以C正确； 对于D，因为(x＋x-1)2＝x2＋2＋x-2＝4，所以x＋x-1＝±2，所以D错误．] 跟进训练 1．(1)B　(2)－　[(1)由题意得 ＝x2y. －0＋.] 考点二 典例2　(1)ABD　(2)BCD　[(1)如图，观察易知，a<b<0或0<b<a或a＝b＝0，故选ABD. (2)f(x)＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的．分a>1和0<a<1两种情况，分别作图，如图①②所示，由图可知BC正确，A错误；对于D，当a>1时，如图①，直线y＝2a与f(x)的图象只有一个交点，不合题意；当0<a<1时，如图②，要使直线y＝2a与f(x)的图象有两个交点，则0<2a<1，得0<a<.综上可知，a的取值范围为，故D正确． ] 跟进训练 2．(1)AC　(2)[－1，1]　[(1)当a>1时，对应的图象可能为选项A；当0<a<1时，对应的图象可能为选项C.故选AC. (2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b如图所示，由图象可得：如果曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]. ] 考点三 考向1　典例3　(1)D　(2)B　[(1)由y＝在R上单调递增，则a＝1.010.5＜b＝1.010.6， 由y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增，则a＝＞c＝0.60.5.所以b＞a＞c.故选D. (2)设函数f(x)＝2x－5－x，易知f(x)为增函数． 又f(－y)＝2－y－5y，由已知得f(x)≤f(－y)，所以x≤－y，所以x＋y≤0.故选B.] 考向2　典例4　A　[函数f(x)的定义域为R，函数y＝2x，y＝3－x分别是R上的增函数和减函数，因此函数f(x)＝2x－3－x是R上的增函数，由f(x2)<f(2x＋3)，得x2<2x＋3，解得－1<x<3，所以原不等式的解集是(－1，3)．故选A.] 考向3　典例5　(1)D　(2)D　(3)(1，＋∞)　[(1)法一(复合函数法)：因为y＝2x在R上单调递增，所以y＝x(x－a)在区间(0，1)单调递减，所以x＝≥1，解得a≥2.故选D. 法二(特值法)：取a＝3，则y＝x(x－3)＝在(0，1)单调递减，所以f(x)＝2x(x-3)在(0，1)单调递减，所以a＝3符合题意，排除A，B，C.故选D. (2)法一：f(x)的定义域为{x|x≠0}，因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即，即e(1-a)x－ex＝－e(a-1)x＋e－x，即e(1-a)x＋e(a-1)x＝ex＋e－x，所以a－1＝±1，解得a＝0(舍去)或a＝2.故选D. 法二：f(x)＝，f(x)是偶函数，又y＝x是奇函数，所以y＝e(a-1)x－e－x是奇函数，故a－1＝1，即a＝2.故选D. (3)原不等式可化为a>－4x＋2x+1对任意x∈R恒成立， 令t＝2x，则t>0，∴y＝－4x＋2x+1＝－t2＋2t＝＋1≤1，当t＝1，即x＝0时，ymax＝1，∴a>1.] 跟进训练 3．(1)AD　(2)(－∞，－1]　[(1)对于A，f(x)＝，由<，得1－＜，即<<， 得<2x＋1<3，解得－1<x<1，即原不等式的解集为(－1，1)，故A正确； 对于B，f(－x)＝1－≠f(x)，故B错误； 对于C，f(1)＝1－<＝f(2)，所以f(x)在R上单调递减不成立，故C错误； 对于D，由0<<2知－1<1－<1，即函数f(x)的值域为(－1，1)，故D正确．故选AD. (2)∵y＝是减函数，且f(x)的值域是，∴t＝ax2＋2x＋3有最小值2， 则a>0且＝2，解得a＝1， 因此t＝x2＋2x＋3的单调递减区间是(－∞，－1]， 故f(x)的单调递增区间是(－∞，－1].] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6课时　指数与指数函数 [考试要求]　1．掌握根式与分数指数幂的互化，掌握指数幂的运算性质．2．通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象．3．理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 1．根式 (1)如果xn＝a，那么_叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*． (2)式子叫做____，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)()n＝_． 当n为奇数时，＝___； 当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂，＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 正数的负分数指数幂，＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 0的正分数指数幂等于_，0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质 aras＝_____；(ar)s＝___；(ab)r＝____(a>0，b>0，r，s∈Q)． 4．指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中_____是自变量，定义域是R，_是底数． (2)形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0，如果是y＝kax，那么k还应满足k≠1；a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数． (3)指数函数的图象与性质 项目 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 _________ 性质 过定点________，即x＝0时，y＝_ 当x>0时，____； 当x<0时，_______ 当x<0时，____； 当x>0时，_______ 在(－∞，＋∞)上是__函数 在(－∞，＋∞)上是__函数 [常用结论] 指数函数图象的特点 (1)指数函数y＝ax (a＞0，且a≠1)的图象恒过点(0，1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象． (2)在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)＝()n＝a． (　　) (2)函数y＝a－x是R上的增函数． (　　) (3)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n． (　　) (4)指数函数y＝ax与y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称． (　　) 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P107练习T2改编)将写成分数指数幂的形式为(　　) A． B． C． D． 2．(人教A版必修第一册P114例1改编)若函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点，则f (－1)＝(　　) A．1 B．2 C． D．3 3．(多选)(人教A版必修第一册P117例3改编) 下列各式比较大小正确的是(　　) A．1.72.5＞1.73 B．＞ C．1.70.3＞0.93.1 D．＜ 4．(人教A版必修第一册P110习题4.1T8(1)改编)已知+＝5，则x＋x-1的值为(　　) A．5 B．23 C．25 D．27 考点一　指数幂的运算 [典例1]　(多选)下列计算正确的是(　　) A．＝ B． ( )÷( )＝－9a(a>0，b>0) C．＝ D．已知x2＋x-2＝2，则x＋x-1＝2 [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　指数幂运算的一般原则 (1)将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数． (4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式要求统一． [跟进训练] 1．(1)已知x<0，y>0，化简得(　　) A．－x2y B．x2y C．－3x2y D．3x2y (2)(2025湖南长沙模拟)计算－(－1)0＋＝________． 考点二　指数函数的图象及应用 [典例2]　(1)(多选)已知实数a，b满足等式2 024a＝2 025b，则下列式子可以成立的是(　　) A．a＝b＝0 B．a<b<0 C．0<a<b D．0<b<a (2)(多选)(2025浙江杭州模拟)已知函数f (x)＝|ax－1|(a>0，且a≠1)，则下列结论正确的是(　　) A．函数f (x)的图象恒过定点(0，1) B．函数f (x)的值域为[0，＋∞) C．函数f (x)在区间[0，＋∞)上单调递增 D．若直线y＝2a与函数f (x)的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是 [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． (2)掌握函数y＝f (|x|)，y＝f (x)，y＝|f (x)|的图象之间的变换与联系． (3)定点与渐近线是作图的关键． [跟进训练] 2．(1)(多选)(2025山西晋中模拟)在同一平面直角坐标系中，函数y＝x2＋ax＋a－1与y＝ax的图象可能是(　　) A　　　　　　　B C　　　　　　　D (2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则实数b的取值范围是________． 考点三　指数函数的性质及应用 　比较指数式的大小 [典例3]　(1)(2023天津高考)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c (2)若2x＋5y2－y＋5－x，则有(　　) A．x＋y0 B．x＋y0 C．x－y0 D．x－y0 [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　解简单的指数方程或不等式 [典例4]　(2024江苏宿迁一模)已知函数f (x)＝2x－3－x，则不等式f (x2)<f (2x＋3)的解集为(　　) A．(－1，3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞) C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　指数函数性质的综合应用 [典例5]　(1)(2023新高考Ⅰ卷)设函数f (x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2，0) C．(0，2] D．[2，＋∞) (2)(2023全国乙卷)已知f (x)＝是偶函数，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 (3)不等式4x－2x+1＋a>0对任意x∈R都成立，则实数a的取值范围是________． [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量． (2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． [跟进训练] 3．(1)(多选)(2024浙江温州期末)已知函数f (x)＝，则(　　) A．不等式<的解集是(－1，1) B．∀x∈R，都有f (－x)＝f (x) C．f (x)是R上的减函数 D．f (x)的值域为(－1，1) (2)若函数f (x)＝的值域是，则f (x)的单调递增区间是________． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$