第二章 第5课时 幂函数与二次函数-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word

第5课时　幂函数与二次函数 [考试要求]　1．通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律．2．掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)，能用二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系解决简单问题． 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数_____叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点________和________，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点________，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为______；当α为偶数时，y＝xα为______． 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x)＝________________． 顶点式：f (x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为________． 零点式：f (x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f (x)的____． (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴方程 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当________时是偶函数，当__________时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递__； 在上单调递__ 在上单调递__； 在上单调递__ [常用结论] 二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，x∈[m，n]． (1)当－m时，最小值为f (m)，最大值为f (n)； (2)当m＜－时，最小值为f ，最大值为f (n)； (3)当＜－＜n时，最小值为f ，最大值为f (m)； (4)当－n时，最小值为f (n)，最大值为f (m)． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝2是幂函数． (　　) (2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上单调递增． (　　) (3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[m，n]的最值一定是． (　　) 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P86习题3.2T7改编)函数f (x)＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为(　　) A．[－6，2] B．[－6，1] C．[0，2] D．[0，1] 2．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T4改编)若函数f (x)＝3x2－kx－8在[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围为________． 3．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T5改编)已知幂函数y＝f (x)的图象过点，则此函数的解析式为________；在区间________上单调递减． 4．(人教A版必修第一册P91练习T2改编)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是________．(用“<”连接) 考点一　幂函数的图象及性质 [典例1]　(1)如图，函数y＝，y＝x，y＝1的图象和直线x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧．若幂函数f (x)的图象经过的部分是④⑧，则f (x)可能是(　　) A．f (x)＝x2　　　　　 B．f (x)＝ C．f (x)＝ D．f (x)＝x-2 (2)有四个幂函数，某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：①偶函数；②值域是{y|y∈R，且y≠0}；③在(－∞，0)上单调递增．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是(　　) A．f (x)＝x-2 B．f (x)＝x-1 C．f (x)＝ D．f (x)＝x3 (3)若<，则实数a的取值范围是________． [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　与幂函数有关问题的解题思路 (1)关于幂函数y＝xα，若α∈Z且函数是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将xα先化为根式，再分析函数的性质． (2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0． (3)在比较幂值的大小时，结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． [跟进训练] 1．已知a＝，b＝，c＝，则(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 考点二　二次函数的图象与解析式 [典例2]　(1)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的有________(填序号)． ①a＋b＋c>0；②a－b＋c<0；③abc>0；④b2>4ac；⑤－3<<－2． (2)已知二次函数f (x)满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x)的最大值是8，则f (x)＝________． [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　研究二次函数图象及解析式应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取零点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向． [跟进训练] 2．函数f (x)满足下列性质：①定义域为R，值域为[1，＋∞)；②图象关于直线x＝2对称；③对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有＜0．请写出函数f (x)的一个解析式：________．(写出一个即可) 考点三　二次函数的单调性与最值 [典例3]　已知函数f (x)＝x2－tx－1． (1)若f (x)在区间(－1，2)上不单调，求实数t的取值范围； (2)若x∈[－1，2]，求f (x)的最小值g(t)． [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ [拓展变式]　本例条件不变，求当x∈[－1，2]时，f (x)的最大值G(t)． _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论． [跟进训练] 3．(1)已知函数f (x)＝ax2＋x－3，若对任意的x1，x2∈[1，＋∞)，且x1≠x2，<3恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．(－∞，0) D．(－∞，0] (2)设函数f (x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f (x)的最小值． _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5课时　幂函数与二次函数 梳理·必备知识 1．(1)y＝xα　(3)(1，1)　(0，0)　(1，1)　奇函数　偶函数 2．(1)ax2＋bx＋c(a≠0)　(m，n)　零点 (2)　　 b＝0　b≠0　减　增　增　减 激活·基本技能 一、(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 二、1．A　[函数f (x)＝－2x2＋4x图象的对称轴为x＝1，则f (x)在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减， ∴f (x)max＝f (1)＝2，f (x)min＝f (－1)＝－2－4＝－6， 即f (x)的值域为[－6，2]．] 2．(－∞，30]∪[120，＋∞)　[依题意知，20或5，解得k120或k30．] 3．y＝　(0，＋∞)　[设y＝f (x)＝xα，因为其图象过点，代入解析式得α＝－，则y＝，由幂函数性质可知函数y＝在(0，＋∞)上单调递减．] 4．c<b<a　[由指数函数，幂函数的单调性可知0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3，即c<b<a．] 考点一 [典例1] 　(1)B　(2)A　(3)　[(1)因为函数f (x)＝xα的图象过④⑧部分，所以函数f (x)＝xα在第一象限内单调递减，所以α<0．又易知当x＝2时，＜f (x)＜1，所以只有B选项符合题意． (2)对于A，f (x)＝x-2是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的偶函数，值域是{y|y＞0}，且在(－∞，0)上单调递增，满足条件；对于B，f (x)＝x-1是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，值域是{y|y∈R，且y≠0}，且在(－∞，0)上单调递减，不满足条件；对于C，f (x)＝是定义域为R的奇函数，值域是R，且在(－∞，0)上单调递增，不满足条件；对于D，f (x)＝x3是定义域为R的奇函数，值域是R，且在(－∞，0)上单调递增，不满足条件． (3)易知函数y＝的定义域为[0，＋∞)，在定义域上为增函数， 所以解得－1a<．] 跟进训练 1．A　[，幂函数y＝在R上单调递增，a<c，指数函数y＝16x在R上单调递增，b<a，∴b<a<c.故选A.] 考点二 典例2　(1)①②④⑤　(2)－4x2＋4x＋7　[(1)由题图可知f(1)＝a＋b＋c>0，故结论①正确； 由题图可知f(－1)＝a－b＋c<0，故结论②正确； 由题图可知二次函数图象开口向下，所以a<0，且f(0)＝c>0，对称轴x＝－>1>0⇒b>0，所以abc<0，故结论③不正确； 由题图可知二次函数图象与x轴有两个交点，所以Δ＝b2－4ac>0⇒b2>4ac，故结论④正确； 由题图可知二次函数图象的对称轴1<－<⇒－3<<－2，故结论⑤正确．综上所述，结论正确的序号有①②④⑤. (2)法一(利用“一般式”)： 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由题意得 解得 所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二(利用“顶点式”)： 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． 因为f(2)＝f(－1)， 所以抛物线的对称轴为x＝， 所以m＝. 又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8， 所以f(x)＝a＋8. 因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4， 所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三(利用“零点式”)： 由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值8， 即＝8. 解得a＝－4或a＝0(舍)． 故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.] 跟进训练 2．f(x)＝x2－4x＋5(答案不唯一)　[由二次函数的对称性、值域及单调性可知解析式取f(x)＝(x－2)2＋1， 此时f(x)图象的对称轴为x＝2，开口向上， 满足②， ∵对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2， 都有＜0， 等价于f(x)在(－∞，0)上单调递减， ∴f(x)＝(x－2)2＋1满足③， 又f(x)＝(x－2)2＋1≥1，满足①， 故f(x)的解析式可以为f(x)＝x2－4x＋5.] 考点三 典例3　解：f(x)＝x2－tx－1＝. (1)依题意，－1<<2，解得－2<t<4， ∴实数t的取值范围是(－2，4)． (2)①当≥2，即t≥4时，f(x)在[－1，2]上单调递减，∴f(x)min＝f(2)＝3－2t. ②当－1<<2，即－2<t<4时，f(x)min＝. ③当≤－1，即t≤－2时，f(x)在[－1，2]上单调递增，∴f(x)min＝f(－1)＝t. 综上，g(t)＝ 拓展变式 解：∵f(－1)＝t，f(2)＝3－2t， ∴f(x)max＝max{f(－1)，f(2)}． 又f(2)－f(－1)＝3－3t， 当t≥1时，f(2)－f(－1)≤0， ∴f(2)≤f(－1)，∴f(x)max＝f(－1)＝t； 当t<1时，f(2)－f(－1)>0， ∴f(2)>f(－1)， ∴f(x)max＝f(2)＝3－2t. 综上，G(t)＝ 跟进训练 3．(1)D　[不妨设1≤x1<x2，则x1－x2<0，根据题意，可得f(x1)－f(x2)>3(x1－x2)恒成立， 即f(x1)－3x1>f(x2)－3x2恒成立． 令g(x)＝f(x)－3x＝ax2－2x－3， 则g(x1)>g(x2)恒成立，所以函数g(x)在[1，＋∞)上单调递减． 当a＝0时，g(x)＝－2x－3在[1，＋∞)上单调递减，符合题意； 当a≠0时，要使g(x)＝ax2－2x－3在[1，＋∞)上单调递减， 则 解得a<0. 综上所述，实数a的取值范围是(－∞，0].] (2)解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1. 当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图①所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1. 当t<1<t＋1，即0<t<1时，函数图象如图②所示，在对称轴x＝1处f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝1. 当t≥1时，函数图象如图③所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上单调递增，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2. 综上可知，f(x)min＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$