第二章 第4课时 函数的对称性-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word

多学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第4课时 函数的对称性 [考试要求]1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论，2. 会利用对称公式解决问题. [链接教材·夯基固本] 落实主干·激活技能 梳理·必备知识 1.奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于对称。 (2)若函数y=f(x十a)是偶函数，则函数y=f(x)的图象关于直线对称；若函 数y=f(x十)是奇函数，则函数y=f(x)的图象的对称中心为点 2.函数的轴对称和中心对称 (1)若函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称，则f(a一x)=f(a+x)台f(2a一x)=f (c), (2)若函数y=f(x)满足f(a一x)=一f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于点 对称 (3)若函数y=f()满足f(a一x)+f(b十x)=c,则函数fc)的图象的对称中心为 (学，) 3.两个函数图象的对称 (I)函数y=f(x)与y=f(一x)的图象关于对称： (2)函数y=f(x)与y=一f(x)的图象关于对称： (3)函数y=f(x)与y=一f(一x)的图象关于 对称. (4)函数y=f(a一)与y=fx一b)的图象关于直线x=岁对称. ①。激活·基本技能 一、易错易混辨析（正确的打“√”，错误的打“×”） (I)若函数y=f(x一1)是偶函数，则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.() (2)若函数y=f(x十1)是奇函数，则函数y=f(x)的图象关于点(1,0)对称.() (3)若函数fx)满足fx一1)=fx+1),则f)的图象关于y轴对称.() (4)若函数fx)满足f(1十x)=一f(1一x),则f(x)的图象关于直线x=1对称.() 二、教材经典衍生 1/7 ,独家授权侵权必究· 多学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 1.(人教A版必修第一册P5思考改编)函数f(x)=x3+x的图象关于() A.x轴对称 B.y轴对称 C.原点对称 D.直线y=x对称 2.(人教A版必修第一册P16探究改编)在同一平面直角坐标系中，函数y=3 与y=(专)的图象之间的关系是( ) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称 3.(多选)（人教A版必修第一册P4例6改编）下列函数中，其图象关于y轴对称 的是( A.y=vxl B.y=x十是 C.y D.y=x-是 4.(人教A版必修第一册Ps7习题3.2T10改编)函数y=f(x)的图象关于坐标原点 成中心对称图形的充要条件是函数y=f)为奇函数，有同学发现可以将其推广 为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(c 十a)一b为奇函数.已知fx)=mx3+x十1. (1)若f(x)在[一6,6]上的最大值为M,最小值为N,则M+N= (2)若m=1,n=一3，则函数f(x)图象的对称中心为点 一题多解3 [典例精研·核心考点] 重难解惑·直击高考 D考点一 轴对称问题 [典例1](1)已知函数fx)=3x-a+2,且满足f(5+x)=f(3-x),则f(6)=() A.29 B.11 C.3 D.5 (22024上海浦东新区期末)若函数fx)=.的图象关于直线y=x对称，则a的 值是 (3)已知函数fx)=e2x十e2r+2,证明函数fx)的图象关于直线x=号对称. [听课记录1 2/7 独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 名师点评 轴对称的几种表述形式 (I)函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称台f(x)=f(2a一x)台f(a一x)=f(a十x): (2)若函数y=fw)满足f(a十x)=f仍-x),则y=fw)的图象关于直线x=学对称. [跟进训练] 1.(1)已知函数f(x)x∈R)满足f(x)=f(4一x),若y=x一2与y=f(x)图象的交点 为(1,1)，(2,2)，(3，y3),(4,y4),则1十x2十x3十x4=() A.-4 B.0 C.4 D.8 (2)已知定义在R上的函数y=f(x十1)是偶函数，且在[0，+∞)上单调递增，则 满足f(2x)>f(x十2)的x的取值范围为() A.(2,+∞) B.(-∞，0)U(2,+∞) C.（∞，) D.（-o,-号)U(2,+∞) 考点二中心对称问题 [典例2】(1)2024河北重点中学二模)已知函数y=fx一1)为奇函数，则函数y =f(x)十1的图象() A.关于点(1,1)对称 B.关于点(1，一1)对称 C.关于点（一1,1）对称 D.关于点（一1，一1）对称 (2(2024四川泸州三模)已知函数fx)x∈R)满足f(x)+f(4一x)=0,若函数f(x) 3/7 ·独家授权侵权必究· 学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 与y=是图象的交点的横坐标分别为，2，…， 52 则公=( A.4n B.2n C.n D.0 [听课记录1 名师点评 中心对称的几种表述形式 (1)函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称台f(a十x)十f(a-x)=2b台2b-f(x)=f (2a一x):若函数y=f(x)满足f(a十x)十f(b一x)=c,则y=f(x)的图象关于点 (学，)对称。 (2)双曲线型函数f)=的图象的对称中心为（鲁，）· [跟进训练] 2.(1)(2025福建泉州模拟)已知y=f(x+1)+1为奇函数，则f(-1)+f(0)+f(1) +f(2)+f(3)=() A.6 B.5 C.-6 D.-5 (2)函数f)=音图象的对称中心为 少考点三两函数图象间的对称问题 [典例3](1)已知函数y=f()是定义域为R的函数，则函数y=fx+2)的图象与 y=f(4一x)的图象() A.关于直线x=1对称 4/7 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 B.关于直线x=3对称 C.关于直线y=3对称 D.关于点(3,0)对称 (2)下列函数中，其图象与函数y=血x的图象关于直线x=1对称的是( A.y=n(1-x) B.y=n(2-x) C.y=n(1+x) D.y=n(2+x) [听课记录1 名师点评 函数y=f(a十x)的图象与函数y=f(b一x)的图象关于直线x=学对称. [跟进训练 3.(1)2025江苏扬州模拟)定义在R上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象关于y轴 对称，且函数y=f(x一2)十1是奇函数，则函数y=g(x)图象的对称中心为() A.(2,1) B.(-2,-1) C.(-2,1) D.(2,-1) (2)设函数y=f(x)的图象与y=3x+m的图象关于直线y=x对称，若f(3)+f(9)=1, 则实数m的值为 微点突破山抽象函数问题 抽象函数求值问题是近几年高考的一个热点，常结合函数性质综合考查学 生的能力，解决此类问题的方法一般有三种：赋值法、函数性质法和构造函数法， [典例(2022新高考I卷)若函数fx)的定义域为R,且f(x+y)+fx一y)=f(x) 5/7 ·独家授权侵权必究· 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 fy),f(1)=1,则 )=( 22 )一题多解 A.-3 B.-2 C.0 D.1 [赏析]法一（赋值法）： 突破点：对变量x或y适当赋值，发现函数f()的特性， 令y=1得f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)=fx)=f(x+1)=f(x)-f(x-1), 故f(x+2)=f(x+1)-f(x),f(x十3)=f(x+2)-f(x+1),消去f(x+2)和fx+1) 得到f(x十3)=一f(x),故fx)的周期为6： 令x=1,y=0得f(1)+f(1)=f(1)f(0)=f(0)=2, ∴f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1, f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2, f(4)=f(3)-f(2)=-2-(-1)=-1, f(5)=f(4)-f(3)=-1-(-2)=1, f(6)=f(5)-f(4)=1-(-1)=2, &2f)=3V)+/2+…+/o+/09+/00+/e)+/22=j0+/包 +f(3)+f(4)=1+(-1)十(-2)十(-1)=-3，即 艺孔k)=-.故这小 法二（特殊函数法）： 突破点：依据fx十)十f一y)=f(xfG),寻找特殊函数fx). 取fx)=2cos号x符合条件，则T=6,计算可得f(2)=2cos号元=一1， f(3)=2c0s元=-2， f(4)=2c0s誓=-1， f5)=2c0s5=1, f(6)=2cos2m=2, f(k)=1-1-2-1+1+2=0. 一个周期内的f(1)+f(2)+…+f(6)=0. 617 ·独家授权侵权必究· 学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 2fk)=f0t/2t/6t/4=1=1-2-1=-3.故选A [答案]A 名师点评 1.挖掘背景函数，如常见的抽象函数7大模型： (I)一次函数：f(x+y)=f(x)十fy-b. (2)二次函数：f(a-x)=f(a+x). (3)幂函数：f(y)=f(x/y). (④指数函数：f心+=Y0,--得。 (5)对数函数：f)=fx)十f0),f（多)=f)一f0), fx±fy) (6)正切函数：f()=耳8： (O)余弦函数：f+)+fc-)=2fr0.f)+f0)=2f(号)f(￥). 2.关注题目给定的抽象恒等式，如f(x十y)=f(x)+fy).求解中注意两点：①恰 当赋值：②正逆应用. [跟进训练] f(x)+f(y) (多选)已知函数f)的定义域为{x≠4k十2，k∈Z乃，且f(+y)=s网，f(1) =1,则() A.f(0)=0 B.f(x)为偶函数 C.f(x)为周期函数，且4为fx)的周期 D.f(2025)=1 提示》请完成《课后作业（十）》 见第305页 7/7 *独家授权侵权必究· 第4课时　函数的对称性 梳理·必备知识 1．(1)原点　y轴　(2)x＝a　(a，0) 2．(2)(a，0) 3．(1)y轴　(2)x轴　(3)原点 激活·基本技能 一、(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 二、1.C　[因为f(x)＝x3＋x为奇函数， 所以函数的图象关于原点对称．故选C.] 2．B　[因为y＝＝3－x，所以函数y＝3x与y＝的图象关于y轴对称．故选B.] 3．AC　[由y＝知定义域为R， 且f(－x)＝＝f(x)， 所以该函数为偶函数，则图象关于y轴对称， 所以A正确； 由y＝x＋x≠0}， 且f(－x)＝(－x)＋＝－f(x)， 所以该函数为奇函数，则图象关于原点对称， 所以B错误； 由y＝知定义域为R， 且f(－x)＝＝f(x)， 所以该函数为偶函数，则图象关于y轴对称， 所以C正确； 由y＝x－x≠0}，且f(－x)＝(－x)－＝－f(x)， 所以该函数为奇函数，则图象关于原点对称， 所以D错误．故选AC.] 4．(1)2　(2)(0，1)　[(1)∵y＝mx3＋nx在R上为奇函数，∴在[－6，6]上，ymax＝－ymin， ∴M＋N＝(ymax＋1)＋(ymin＋1)＝2. (2)法一：由(1)知，y＝mx3＋nx为奇函数，所以对称中心为点(0，0)，所以函数f(x)图象的对称中心为点(0，1)． 法二：∵g(x)＝f(x＋a)－b＝(x＋a)3－3(x＋a)＋1－b＝x3＋3ax2＋(3a2－3)x＋a3－3a＋1－b， 在R上为奇函数， 所以⇒ ∴函数f(x)图象的对称中心为点(0，1)．] 考点一 典例1　(1)B　(2)－1　[(1)因为f(5＋x)＝f(3－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝4对称，而f(x)＝3|x－a|＋2的图象关于直线x＝a对称， 所以a＝4，f(6)＝3|6-4|＋2＝11. 故选B. (2)设(x0，y0)是函数f(x)＝的图象上任一点，即y0＝，且(x0，y0)关于直线y＝x对称的点(y0，x0)也在函数f(x)＝的图象上，即x0＝，整理为y0＝，即，即a＝－1.] (3)证明：因为f(x)＝e2x＋e-2x+2， 所以f(1－x)＝e2-2x＋e2x＝f(x)， 所以函数f(x)的图象关于x＝对称． 跟进训练 1．(1)D　(2)B　[(1)由f(x)＝f(4－x)可知y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，y＝|x－2|的图象关于直线x＝2对称， 所以x1＋x2＋x3＋x4＝4×2＝8. (2)函数y＝f(x＋1)是偶函数， 且在[0，＋∞)上单调递增，即函数y＝f(x＋1)图象的对称轴为y轴， 又函数y＝f(x＋1)的图象向右平移1个单位长度可得y＝f(x)的图象， ∴函数y＝f(x)的图象的对称轴为直线x＝1，且在[1，＋∞)上单调递增，∴由f(2x)＞f(x＋2)得|2x－1|＞|x＋2－1|， 解得x＜0或x＞2.故选B.] 考点二 典例2　(1)C　(2)B　[(1)函数y＝f(x－1)为奇函数，图象关于(0，0)对称，将函数y＝f(x－1)的图象向左平移一个单位长度可得函数y＝f(x)的图象，则函数y＝f(x)的图象关于(－1，0)对称， 所以函数y＝f(x)＋1的图象关于(－1，1)对称．故选C. (2)因为f(x)＋f(4－x)＝0，所以f(2＋x)＋f(2－x)＝0， 所以函数的图象关于(2，0)对称，又函数y＝的图象关于(2，0)对称，则y＝f(x)与y＝的图象的交点应为偶数个，且关于(2，0)对称，所以 ＝2n.故选B.] 跟进训练 2．(1)D　(2)(1，1)　[(1)由题y＝f(x＋1)＋1为奇函数，则f(x)的图象关于(1，－1)对称，所以f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝[f(－1)＋f(3)]＋f(1)＋[f(0)＋f(2)]＝－2－1－2＝－5. 故选D. (2)因为f(x)＝， 则f(x)＝的图象可以由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，因为y＝为奇函数，函数图象关于原点(0，0)对称，所以函数f(x)图象的对称中心为(1，1)．] 考点三 典例3　(1)A　(2)B　[(1)设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点， 则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))， 所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上， 而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称， 所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称． (2)y＝ln x的图象上的点P(1，0)关于直线x＝1的对称点是它本身，则点P在y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的图象上，结合选项可知B正确．故选B.] 跟进训练 3．(1)D　(2)1　[(1)由题意得函数y＝f(x－2)＋1是奇函数，则y＝f(x)的图象关于(－2，－1)对称，另知函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象关于y轴对称，故y＝g(x)的图象关于(2，－1)对称．故选D. (2)∵函数y＝f(x)的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，∴x＝log3y－m， ∴f＝log3x－m， ∴f＝1－m＋2－m＝1， ∴m＝1.] 微点突破1 跟进训练 ACD　[对于A，令x＝y＝0，得f(0)＝0，故A正确； 对于B，令y＝－x，则f(0)＝＝0，因此f(－x)＝－f(x)， 又f(x)的定义域为{x|x≠4k＋2，k∈Z}，关于原点对称，所以f(x)为奇函数，故B错误； 对于C，令y＝1，则f(x＋1)＝， 所以f(x＋2)＝－1＋因此f(x＋4)＝－＝f(x)， 所以f(x)为周期函数，且周期为4，故C正确； 对于D，f(2 025)＝f(1)＝1，故D正确．故选ACD.] 学科网（北京）股份有限公司 $$