第二章 第3课时 函数的奇偶性、周期性-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word

第3课时　函数的奇偶性、周期性 [考试要求]　1．了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义．2．会依据函数的性质进行简单的应用． 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且________________，那么函数f (x)就叫做偶函数 关于___对称 奇函数 一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且_____________，那么函数f (x)就叫做奇函数 关于____对称 2．周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D且_____________________，那么函数y＝f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个____的正数，那么这个________就叫做f (x)的最小正周期． [常用结论] 1．函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f (x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f (0)＝0．如果函数f (x)是偶函数，那么f (x)＝f (|x|)． (2)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶， 奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． (3)若y＝f (x＋a)是奇函数，则f (－x＋a)＝－f (x＋a)；若y＝f (x＋a)是偶函数，则f (－x＋a)＝f (x＋a)． 2．函数周期性常用结论 对f (x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f (x＋a)＝－f (x)，则T＝2a(a>0)． (2)若f (x＋a)＝，则T＝2a(a>0)． (3)若f (x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)． (4)若f (x＋a)＝f (x＋b)，则T＝|a－b|(a≠b)． 3．常见奇、偶函数的类型 (1)f (x)＝ax＋a－x(a＞0且a≠1)为偶函数． (2)f (x)＝ax－a－x(a＞0且a≠1)为奇函数． (3)f (x)＝＝(a＞0且a≠1)为奇函数． (4)f (x)＝loga为奇函数． (5)f (x)＝loga(±x)(a＞0且a≠1)为奇函数． (6)f (x)＝|ax＋b|＋|ax－b|为偶函数． (7)f (x)＝|ax＋b|－|ax－b|为奇函数． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数． (　　) (2)存在既是奇函数，又是偶函数的函数． (　　) (3)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点． (　　) 二、教材经典衍生 1．(多选)(人教A版必修第一册P84例6改编)下列函数中为奇函数的是(　　) A．f (x)＝2x4＋3x2　　　 B．f (x)＝x3－2x C．f (x)＝ D．f (x)＝x3＋1 2．(人教A版必修第一册P203练习T4改编)若f (x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[0，2)时，f (x)＝2－x，则f (2 025)＝________． 3．(人教A版必修第一册P86习题3.2T11改编)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f (x)＝2x－2x＋a，则a＝________；当x<0时，f (x)＝________． 4．(人教A版必修第一册P85练习T1改编)设奇函数f (x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f (x)的图象如图所示，则不等式f (x)<0的解集为________． 考点一　函数奇偶性的判断 [典例1]　判断下列函数的奇偶性： (1)f (x)＝； (2)f (x)＝(1＋x)； (3)f (x)＝ (4)f (x)＝log2(x＋)． [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　判断函数奇偶性的两个必备条件及方法 (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先判断函数的定义域是不是关于原点对称； (2)判断f (x)与f (－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x)＋f (－x)＝0(奇函数)或f (x)－f (－x)＝0(偶函数))是否成立． (3)判断函数奇偶性的方法：①定义法；②图象法． [跟进训练] 1．(1)(2024西藏拉萨模拟)若函数f (x)＝x－，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f (x＋1)－2 B．f (x－1)－2 C．f (x－1)＋2 D．f (x＋1)＋2 (2)已知函数f (x)对任意x，y∈R，都有f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋2，则函数f (x)＋2为________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”) 考点二　函数奇偶性的应用 　利用奇偶性求值(解析式) [典例2]　(1)(2023新高考Ⅱ卷)若f (x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C． D．1 (2)(2024山西大学附中期中)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f (x)＝x3＋x＋1，则f (x)在R上的解析式为________． [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　(1)选择、填空题中，已知奇偶性求参数值，可采用特值法，如f (－1)＝－f (1)，f (－1)＝f (1)． (2)利用奇偶性求解析式，求谁设谁，自变量转移． 　利用奇偶性解不等式 [典例3]　(1)已知函数f (x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b是定义在[－2c－1，c＋3]上的奇函数，则不等式f (2x＋1)＋f (a＋b＋c)＞0的解集为(　　) A．(－2，4] B．(－3，5] C． D．(－2，2] (2)(2025湖南师大附中模拟)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，f (x)在[0，＋∞)上单调递减，且f (3)＝0，则不等式(2x－5)f (x－1)＜0的解集为(　　) A．(－∞，－2)∪ B．(4，＋∞) C．∪(4，＋∞) D．(－∞，－2) [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数值或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值． (2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合图象直观求解相关问题． [跟进训练] 2．(1)函数y＝f (x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，若f (a)，则a的取值范围是(　　) A． B． C． D．∪ (2)(2025河南三门峡模拟)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f (x)＝－x5－3x＋a－1，则f (－a)的值为________． 考点三　函数的周期性 [典例4]　(1)(2025福建三明期中)若偶函数f (x)满足f (x＋2)＋f (x)＝0，当x∈(0，1)时，f (x)＝＋1，则f ＝(　　) A．2 B． C． D． (2)已知函数y＝f (x)，对任意x∈R，都有f (x＋2)f (x)＝k(k为常数)，且当x∈[0，2]时，f (x)＝x2＋1，则f (2 026)＝________． [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题；利用函数的周期性，能实现自变量的转移，把自变量大化小． [跟进训练] 3．设f (x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f (x＋2)＝－f (x)．当x∈[0，2]时，f (x)＝2x－x2． (1)f (x)的最小正周期是________； (2)当x∈[2，4]时，f (x)＝________； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 025)＝________． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第3课时 函数的奇偶性、周期性 梳理·必备知识 1.一)=)y轴一x)=一)原点 2.(1(x+T)=x)(2)最小最小正数 激活·基本技能 一、(1)×(2v(3)x 二、1.BC 2.克[)的周期为2,2025)=/1)=21=] 3.一1-一2r-2x十1[(x)是定义在R上的奇函数，∴0)=0，即1十a=0, ∴.a=-1. .当x≥0时，x)=2x-2x-1, 设<0，则一0， .(-x)=2x-2(-x)-1=2x+2x-1, 又x)为奇函数，一x)=一x), .-fw)=2x+2x-1, ∴fw)=-2x-2x+1] 4.(-2,0U(2,5][由题图可知，当0<x<2时，x)0;当2<x≤5时，x)<0, 又)是奇函数，∴.当一2<x<0时，x)<0,当-5≤xr<一2时，x0. 综上，k0的解集为(-2,0U(2,5] 考点一 (3-X220, 典例1解：()由x2-320, 得x2=3,解得x=5, 即函数的定义域为-5,3}， 从而)=V3-x2+V2-3=0, 因此(-x=一)且-x)=f), .函数x)既是奇函数又是偶函数 11+戏1-20·→-1x ②)函数=1+隔的定义域满足器≥0，则x≠-1 ≤1， ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 由于定义域不关于原点对称，故)既不是奇函数也不是偶函数. (3)函数)的定义域为（一∞，0U(0,十∞），关于原点对称。 当x<0时，一>0 则（一x)=(一x)2+x=x2+x=fx: 当心0时，一x<0, 则一x)=(一x)2+(一x)=x2一x=f): 综上可知：对于定义域内的任意，总有一x)=x)成立，∴函数x)为偶函数. (4)显然函数x)的定义域为R, (-x)=log2[-x+V(-+1]=log2(2+1-)=1og2(k2+1+x1=-log2( V2+1十x)=一f,故)为奇函数. 跟进训练 1.（1)C)奇[【)国为)=x-帝=x+1-器-1=x+1十à-2， 所以-1)十2=x十， 由于g()=x十是定义域为(-∞，0U(0,+∞)，又g(一x)=一x-是=一g(), 故g()=x十量为奇函数，故（一1）十2为奇函数， 其他选项均不符合要求故选C (2)由题意得函数)的定义域为R,定义域关于原点对称， 令x=y=0,则0)=0)+0)+2， 故0)=-2. 令y=-x,则f0)=f)+-x)+2, 故)十2=-(-)-2=-(-x)+2. 故)十2为奇函数] 考点二 1x3+x+1,x>0, 考向1典例2(1)B ，(2/)= 0,X=0, [(1)法一：由号0，得 x3+x-1,X<0 x或心-， )是偶函数，∴x)=x), “(一x+ah品=(+an品， ·独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 又(-x+血斜=(-x+d)·ln(绿)， ∴(-aln器=(+aln品， ∴.x-a=x十a,得-a=a,得a=0. 故选B. 法二：因为)=(x+alh号为偶函数，(-1)=(a-1)ln3,1)=(a+1)n专 -(a+1)n3,所以(a-1)ln3=-(a+1)ln3,解得a=0.故选B. (2)因为函数)是定义在R上的奇函数，则O)=0. 当x<0时，则一x>0,可得x)=一(-x)=-[(一x3+(一)+1]=x3+x一1， 1X3+X+1,x>0, 所以)= 0,X=0, x3+x-1,x<0J 考向2典例3(1)C(2)C[1)因为函数)=x3+(a-2x2+2x十b是定义在 [-2c-1,c+3]上的奇函数， 所以-2c-1+c+3=0, 解得c=2,又-x)=一)， 即-x3+(a-2)x2-2x+b=-x3-(a-2)x2-2x-b,所以2(a-2)x2+2b=0, 2-0第86所以付+2-5： 所以12b=0, 国为y=x3与y=2x在定义域[一5,5]上单调递增，所以x)在定义域[一5,5]上 单调递增，则不等式2x+1)+(a+b+c)>0,即2x+1)+(4)>0,等价于2 +1>-4), 12x+1>-4, 所以{-5≤2x+15,解得-<x≤2，即不等式的解集为(-，2， 故选C (2)依题意，函数的大致图象如图： 因为x)是定义在R上的偶函数，在[0，+∞)上单调递减，且3)=0， 所以fx)在（一∞，0]上单调递增，且（一3）=0， 独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 则当x>3或x<-3时，fx)<0;当一3<x<3时，x)0, 不等式(2x一5)(x一1)<0化为 2x-5>0,2x-5<0, 或 fx-)<0f(x-)>0, 2830或x-1K-3 [2x-5>0 所以1x-1>3 2x-5<0. 或{-3<x-1<3,解得4或xeo或-2<号，即-2<号或4， 即原不等式的解集为(-2，)U(4,十∞)故选C] 跟进训练 2.(1)C(2)4 [(1),y=fx)是R上的偶函数，且在（一∞，0]上单调递增， y=fx)在[0，+∞)上单调递减， a)≥f), ∴la≤青，一青≤a≤青，a的取值范围是[-青，青]，故选C (2)由题意得0)=a-1=0,解得a=1, 所以当x≥0时，x)=-x5-3x, 所以(-d)=(-1)=-1)=-(-1-3)=4] 考点三 典例4(1)C(2)5[(1)由已知可得x+2)+x)=0→x+4)+fx+2)=0= +4)=x), 即T=4是函数)的一个周期， 所以(3)=(-)=告)=多+1=景故选C (2)因为对任意x∈R,都有x+2)·x)=(k为常数)，所以十4)·fx十2)=k, 从而x十4)=(x), 即x)的周期为4，所以2026)=2)=5] 跟进训练 3.(1)4(2)x2-6x+8(3)1[1).fx+2)=-x),.∴x+4)=-fx+2)=) ∴)是周期为4的周期函数，且x)的最小正周期是4. (2)当x∈[-2,0]时，一x∈[0,2]，由已知得 -x=2(-x-(-x)2=-2x-x2 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 又x)是奇函数，∴一x)=一x)=一2x一x2 ∴.f)=x2+2x. 又当x∈[2,4]时，x-4∈[-2,0]， ∴fx-4)=(x-4)2+2(x-4) 又x)是周期为4的周期函数，∴.x)=x一4)=(x-4)2十2(x一4)=x2-6x+8. 即当x∈[2,4时，x)=x2-6x+8. (3)0)=0,1)=1,2)=0,3)=-1,且x)是周期为4的周期函数， 0)+1)+2)+3)=4)+5)+6)+7)==2020)+f2021)+2022) +f2023)=0. ∴.0)+1)+2)+…+2025)=f0)+f1)=1.] ·独家授权侵权必究·