第二章 第2课时 函数的单调性与最值-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word

色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第2课时 函数的单调性与最值 [考试要求]1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最 小值，2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用和实际意义. [链接教材·夯基固本们 落实主干·激活技能 C>梳理·必备知识 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 般地，设函数fx)的定义域为D,区间CD,如果，2∈I 当1x2时，都有 当2时，都有 那么就称函数f(x)在区 那么就称函数f(x)在区间 定义 间1上单调递增.特别地，当函数 I上单调递减.特别地，当函数f(x) f(x)在它的定义域上单调递增时， 在它的定义域上单调递减时，我们 我们就称它是增函数 就称它是减函数 =/x) /) 图象 iAx)iAx2) 描述 可x 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间I上 或 那么就说函数y=f(x)在这一 区间具有（严格的）单调性， 叫做y=f(x)的单调区间. 提醒：若函数有多个单调区间应分开写，不能用特号“U”联结，也不能用“或 ”联结，只能用“逗号”或“和”联结 2.函数的最值 前提 般地，设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足 ①Vx∈D,都有 ①Hx∈D,都有 条件 ②]x∈D,使得 ②]∈D,使得 结论 M是函数y=f(x)的最大值 M是函数y=f(x)的最小值 1/8 独家授权侵权必究 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXK数c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 [常用结论] 1.函数单调性的两个等价结论 设x1,2∈D(卡2)，则 (120(或-f)-fc0=在区间D上单词递增： 220(或-)一f小0ef在区间D上单调递减， 2.若函数f(x),g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： (1)当f(x),gx)都是增（减）函数时，f(x)十g(x)足增（减）函数： (2)若k>0,则fx)与f(x)单调性相同：若k<0,则f(x)与f(x)单调性相反： (3)函数y=f)在公共定义域内与y=f(x)≠0)的单调性相反： (4)复合函数y=f(g(x)》的单调性与y=f()和u=g(x)的单调性有关.筒记为“同 增异减”· 3,最值定理：闭区间上的连续函数必有最值，最值产生于区间端点或极值，点处， 。激活·基本技能 一、易错易混辨析（正确的打“√”，错误的打“×”） (1)函数y=的单调递减区间是（一∞，0）U(0,十∞). () (2)若函数y=f(x)在[1，十∞)上单调递增，则函数y=f(x)的单调递增区间是[1， 十∞) () (3)若一个函数在定义域内的某几个子区间上都是单调递增的，则这个函数在定 义域上是增函数 () (4)若函数在闭区间上具有单调性，则其最值一定在区间端点取到.() 二、教材经典衍生 1.(人教A版必修第一册Pg5习题3.2T1改编)如图是函数y=f(x),x∈[一4,3] 的图象，则下列说法正确的是() A.f(x)在[一4，一1]上单调递减，在[一1，3]上单调递增 2/8 ◆独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 B.f(x)在区间（一1,3）上的最大值为3，最小值为一2 C.f(x)在[一4,1]上有最小值一2，最大值3 D.当直线y=1与f(x)的图象有三个交点时，一1<2 2.(人教A版必修第一册P2“探究与发现”改编)函数y=x十是的单调递减区间 为() A.(0,1] B.[-1,1] C.[-1,0)0,1] D.[-1,0),(0,1] 3.(人教A版必修第一册P100复习参考题3T4改编)若函数f(x)=x2一2mx+1在[2， 十∞)上单调递增，则实数m的取值范围是 4.(人教A版必修第一册P1例5改编)已知函数f)=兵，x∈2，O,则f) 的最大值为 ，最小值为 [典例精研·核心考点] 重难解感·直击高考 ☑考点一确定函数的单调性（单调区间） ◆考向1图象法、性质法确定函数的单调性 [典例1](1)2025浙江绍兴模拟)函数y=ln(cx2一2x)的单调递减区间是() A.(-o,1) B.(1,+∞) C.(-∞，0) D.(2,十∞) (2)2024广东深圳三模)函数y=一x2+4x+5的单调递增区间是 [听课记录1 [拓展变式]函数f(x)=一x2+4x十5的单调递增区间为 ◆考向2定义法、导数法确定函数的单调性 [典例2】试讨论函数f,)=等(a≠0)在(-1，)上的单调性. 一题多解 [听课记录1 3/8 ◆独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 名师点评 确定函数单调性的方法 ()定义法：取值、作差、变形（因式分解、配方、有理化、通分等）、定号、下结 论. (2)性质法：同增异减，即内、外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函 数 (3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易画出，可由图象直 观地判断函数单调性 (4)导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性. 提醒：定义域先行，单调区间是定义域的子集， [跟进训练] 1.(1)函数f()=342s的单调递增区间是() A.[-1,+∞) B.(-∞，-1] C.(-∞，0) D.(0,+∞) (2)(2025.安徽蚌埠模拟)下列函数中，满足“对任意的1,2∈(0，十∞)，使得 sx20”成立的是( X1X2 A.f(x)=-x2-2x+1 B.fx)=x一是 C.f(x)=x+1 D.f(x)=log2(2x)+1 口考点二函数单调性的应用 考向1比较函数值的大小 [典例3]已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称，当x2>x>1时，[f(x2)一f(x)】 2-)0恒成立，设a=f(),b=f2),c=f(e),则a,b,c的大小关系 为() A.cab B.c-b-a C.ac-b D.b-ac [听课记录] 4/8 ◆独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 >考向2 解不等式 [典例4(1)2025广东佛山模拟)已知函数y=f(x)在定义域（一1,3）上是增函数， 且f(2a一1)f(2一a),则实数a的取值范围是( ) A.(1,2) B.(-∞，1) C.(0,1) D.(1,+∞) 1ogx,0<x≤2， (2(2025.湖北武汉模拟)已知函数fw)= （2x-3,X>2, 若f(a+1)-f(2a-1) ≥0，则实数a的取值范围是( A.(-∞，2] B.[2,+∞) C.I2,6] D.(3,2] [听课记录1 ●考向3 求参数的取值范围 (-x2-2aW-a,X<0, [典例5](1)(2024新高考1卷)已知函数f)= ex+ln(x+1),x20在R上单 调递增，则a的取值范围是() A.(-∞，0] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞) (2)若函数f=在(a,十∞)上单调递增，则实数a的取值范围为 -1 [听课记录1 5/8 ◆独家授权侵权必究。 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 名师点评 函数单调性应用问题的解题策略 (1)比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解 决 (2)解与抽象函数有关的不等式，由条件脱去“∫”，转化为自变量间的大小关系， 一般转化为不等式组，应注意等价转化和函数的定义域， (3)利用单调性求参数的取值（范围），根据函数的单调性直接构建参数满足的方程 (组)（不等式（组）》或先得到函数图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要 注意衔接点的取值，在衔接点处需建立一个不等式， [跟进训练] x2.2x+号，x<1, 2.(1)2024福建福州期中)已知函数f(x)= ￥，x2≥1 满足对于任 意实数≠2，都有20成立，则实数a的取值范围是( A.(1,2) B.[1,2) c.(1,) D.[1,引 (2)设fx)是定义在R上的增函数，且f)=fx)十fy),f(3)=1,则不等式f) +f(一2)>1的解集为 考点三求函数的值域或最值 [典例6已知max{a,b,c}表示a,b,c中的最大值，例如max{1,2,3}=3, 若函数f(x)=max{一x2+4,一x+2,x+3,则f(x的最小值为() A.2.5 B.3 C.4 D.5 [听课记录] 6/8 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 名师点评 求函数最值的五种常用方法 单调性法 先确定菌数的单调性，再由单调性 求最值 先画出函薮的图象，再观察其最高 图象法 点，最低点，求出最值 先对解析武变形，使之真客“正 基本不 等式法 二定三相等”的条件后用基本不 | 等式求出最值 先求享，然后求出在给定区简上的 导数法 极值，最后结合端点值，求出最值 对比较复杂的函数可通迂换元转 换元法 化为熟悉的函数，再用相应的方法 求最值 跟进训练 3.(1)函数y=1十x-V1-2x的值域为( )题多解 A.（0,是) B. (∞，是] C.(3,+o) D.[3,+o) (2)享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数y=冈，四表示不超过x的最大 整数，例如[1.1川=1，[-1.1川=-2.已知f)=[x+专]，x∈[专，6)，则函数1 (w)的值域为 718 独家授权侵权必究 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2xXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 提示请完成《课后作业（八）》 见第301页 8/8 ·独家授权侵权必究· 第2课时　函数的单调性与最值 梳理·必备知识 1．(1)f(x1)<f(x2)　f(x1)>f(x2)　(2)单调递增　单调递减　区间I 2．f(x)≤M　f(x0)＝M　f(x)≥M　f(x0)＝M 激活·基本技能 一、(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 二、1．C 2．D　[函数y＝x＋为对勾函数，由对勾函数的性质知，函数y＝x＋的单调递减区间为[－1，0)，(0，1].] 3．(－∞，2]　[由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，∴m≤2.] 4．－　－2　[可判断函数f(x)＝在区间[2，6]上单调递增，所以f(x)max＝f(6)＝－，f(x)min＝f(2)＝－2.] 考点一 考向1　典例1　(1)C　(2)[－1，2]，[5，＋∞) [(1)由y＝ln(x2－2x)，所以x2－2x>0，解得x<0或x>2， 所以函数y＝ln(x2－2x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)， 令u＝x2－2x，则函数u＝x2－2x在(－∞，0)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，而函数y＝ln u在(0，＋∞)上单调递增，由复合函数单调性可得，y＝ln(x2－2x)的单调递减区间为(－∞，0).故选C. (2)函数y＝|－x2＋4x＋5|＝ 　 由|－x2＋4x＋5|＝0，解得x＝－1或x＝5， 函数y＝|－x2＋4x＋5|的图象如图所示， 由图可知，函数y＝|－x2＋4x＋5|的单调递增区间为[－1，2]，[5，＋∞).] 拓展变式 (－∞，－2]和[0，2]　[f (x)＝ 即f (x)＝ 画出函数图象如图所示， 可知函数f (x)＝－x2＋4|x|＋5的单调递增区间为(－∞，－2]和[0，2]．] 考向2　典例2　解：法一(定义法)：∀x1，x2∈(－1，1)，且x1<x2， f(x)＝a＝a， f(x1)－f(x2)＝a－a1＋＝，由于－1<x1<x2<1， 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减; 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递增. 法二(导数法)： f'(x)＝ ＝＝－. 当a>0时，f'(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减; 当a<0时，f'(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增. 法三：f(x)＝＝a＋，该函数的图象由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位长度得到，图象略.故当a>0时，f(x)在(－1，1)上单调递减;当a<0时，f(x)在(－1，1)上单调递增. 跟进训练 1．(1)B　(2)A　[(1)f (x)＝由y＝3u和u＝－x2－2x复合而成的，y＝3u在R上为增函数， u＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，＋∞)上单调递减， 根据复合函数的单调性可得函数f (x)＝在(－∞，－1]上单调递增． (2)根据题意，“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，使得<0”，则函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减． 对于选项A，f (x)＝－x2－2x＋1为二次函数，其对称轴为x＝－1，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意； 对于选项B，f (x)＝x－，其导数f ′(x)＝1＋，所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意； 对于选项C，f (x)＝x＋1为一次函数，所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意； 对于选项D，由复合函数单调性“同增异减”知，f (x)＝log2(2x)＋1在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意． 故选A．] 考点二 考向1　典例3　D　[因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，由此可得f＝f.当x2>x1>1时， [f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，可知f(x)在(1，＋∞)上单调递减. 因为1<2<<e，所以f(2)>f>f(e)，所以b>a>c.] 考向2　典例4　(1)C　(2)D　[(1)因为函数y＝f(x)在定义域(－1，3)上是增函数，且f(2a－1)<f(2－a)，则有 则解得0<a<1，所以实数a的取值范围是(0，1).故选C. (2)因为当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x单调递增，此时f(x)≤f(2)＝1， 当x∈(2，＋∞)时，f(x)＝2x－3单调递增，此时f(x)>f(2)＝1， 函数f(x)的图象如图所示. 所以f(x)＝是定义在(0，＋∞)上的增函数， 所以若f(a＋1)－f(2a－1)≥0即f(a＋1)≥f(2a－1)， 则a＋1≥2a－1>0⇒<a≤2，故选D.] 考向3　典例5　(1)B　(2)[1，2)　[(1)因为f(x)在R上单调递增，且x≥0时，f(x)＝ex＋ln(x＋1)单调递增， 则需满足解得－1≤a≤0， 即a的取值范围是[－1，0]. 故选B. (2)f(x)＝＝1＋， ∵f(x)在(a，＋∞)上单调递增， ∴⇒1≤a<2.] 跟进训练 2.(1)D　(2)　[(1)依题意，对于任意实数x1≠x2，都有<0成立，不妨设x1<x2， 则f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)， 所以f(x)在R上单调递减， 所以解得1≤a≤.故选D. (2)由已知条件可得f(x)＋f(－2)＝f(－2x)，又f(3)＝1.∴不等式f(x)＋f(－2)>1可化为f(－2x)>f(3).∵f(x)是定义在R上的增函数，∴－2x>3，解得x<－.∴不等式的解集为.] 考点三 典例6　B　[在同一平面直角坐标系中画出函数y＝－x2＋4，y＝－x＋2，y＝x＋3的图象， 因为f(x)＝max{－x2＋4，－x＋2，x＋3}， 所以f(x)的图象如图所示， 由x<0，可得A(－1，3)， 由x>0，可得B， 由图知f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以f(x)的最小值为3.故选B.] 跟进训练 3.(1)B　(2){4，5，6，7，8}　[(1)法一：设＝t，则t≥0，x＝，所以y＝1＋－t＝(－t2－2t＋3)＝－(t＋1)2＋2.因为t≥0，所以y≤. 所以函数y＝1＋x－. 法二：因为y＝1＋x－上单调递增，所以y＝1＋x－. (2)易知y＝x＋，x∈上单调递减，在[2，6)上单调递增. 当x＝2时，y＝x＋＝4; 当x＝时，y＝x＋＋8; 当x＝6时，y＝x＋＝6＋， 所以y＝x＋∈，则函数f(x)的值域为{4，5，6，7，8}.] 学科网（北京）股份有限公司 $$