第二章 第1课时 函数的概念及其表示-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word

第二章　函数的概念与性质 第1课时　函数的概念及其表示 梳理·必备知识 1．非空的实数集　任意　唯一确定 2．(1)定义域　对应关系　值域　(2)定义域　对应关系 3．解析法　图象法　列表法 4．(2)并集 激活·基本技能 一、(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、1．A　[f(f(－1))＝f(2)＝16.故选A.] 2．B　[函数f(x)＝|x－1|＝结合选项可知，选项B正确.故选B.] 3．AC　[f(x)＝与g(x)＝x的值域不同;f(x)＝x与g(x)＝＝|x|的对应关系不同，故BD错误，AC正确.] 4．(－∞，0)∪(0，＋∞)　 1　[要使函数f(x)有意义，必须使x≠0， 故f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞). 由f(a)＝2得a＋＝2，解得a＝1.] 考点一 典例1　(1)C　(2)　[(1)因为函数y＝f(x)的定义域为[0，4]，函数y＝＋(x－2)0有意义，所以 解得1<x<2或2<x≤3， 所以函数y＝＋(x－2)0的定义域是(1，2)∪(2，3].故选C. (2)由题意可得 解得 即<x<2. 故函数y＝.] 跟进训练 1．(1)B　(2)A　[(1)由函数f(x)＝的定义域为R，可得kx2＋kx＋1>0恒成立， 可得k＝0或解得0<k<4， 综上，常数k的取值范围为[0，4). 故选B. (2)∵函数y＝f(x＋1)的定义域为[－2，3]， ∴x∈[－2，3]，则x＋1∈[－1，4]， 即函数f(x)的定义域为[－1，4]， ∴－1≤2x－1≤4，解得0≤x≤， ∴函数y＝f(2x－1)的定义域为. 故选A.] 考点二 典例2　解：(1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0，2]，则sin x＝1－t. ∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x， ∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]. 即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2]. (2)(配凑法、换元法)∵f＝x2＋－2， 令t＝x＋，当x>0时，t≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号， 当x<0时，t＝－≤－2， 当且仅当x＝－1时取等号， ∴f(t)＝t2－2，t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)， ∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞). (3)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2， f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1， 所以 所以f(x)＝x2－x＋2. (4)(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，① 令x＝－x代入①， 得2f(－x)＋f(x)＝－3x，② 由①②解得f(x)＝3x. 跟进训练 2.(1)x2－4x＋3(x≥1)　(2)－x－ (3)4x＋1　[(1)法一(换元法)：令t＝＋1，则t≥1，x＝(t－1)2， 代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1). 法二(配凑法、换元法)：f(＋1)＝x＋2＋1－4－4＋3＝(＋1)2－4(＋1)＋3，因为＋1≥1，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1). (2)因为f(x)－2f＝2x，① 以代替①中的x，得f－2f(x)＝，② ①＋②×2得－3f(x)＝2x＋， 所以f(x)＝－x－. (3)∵f(x)为单调递增的一次函数，∴设f(x)＝ax＋b，a>0，故f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，∴a2＝16，ab＋b＝5，解得a＝4，b＝1或a＝－4，b＝－(不合题意，舍去)，∴f(x)＝4x＋1.] 考点三 考向1　典例3　(1)D　(2)2　[(1)函数f(x)＝ 所以f＝2f＝2＝1.故选D. (2)因为>2，所以f()＝6－4＝2， 所以f(f())＝f(2)＝1＋a＝3，解得a＝2.] 考向2　典例4　(1)D　(2)(－∞，e－1]　[(1)由分段函数的定义知，f(x)的定义域是(－1，＋∞)，所以a>0. ①当0<a<1时，－1<a－1<0，则f(a)＝f(a－1)可化为2a＝，解得a＝，所以f＝f(4)＝8. ②当a≥1时，a－1≥0，则f(a)＝f(a－1)可化为2a＝2(a－1)，方程无解.故选D. (2)当x≤0时，f(x)＝x＋1≤1得x≤0，所以x≤0. 当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)≤1，得－1<x≤e－1，所以0<x≤e－1，综上，f(x)≤1的解集为(－∞，e－1].] 跟进训练 3.(1)D　(2)B　[(1)令f(a)＝t，则f(t)＝2，可得t＝0或t＝1， 当t＝0时，即f(a)＝0，显然a≤0， 因此a＋2＝0⇒a＝－2， 当t＝1时，即f(a)＝1，显然a≤0， 因此a＋2＝1⇒a＝－1， 综上所述，a＝－2或－1. (2)当a>2，x>2时，f(x)＝x|x－a|－2a2＝ 当2<x<a时，f(x)＝－x2＋ax－2a2，此时Δ＝a2－4×2a2＝－7a2<0， 所以f(x)<0，不满足当x>2时，f(x)>0，故a>2不符合题意; 当0<a≤2，x>2时，f(x)＝x|x－a|－2a2＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)>0，解得x>2a， 由于x>2时，f(x)>0，故2a≤2，解得0<a≤1; 当a＝0，x>2时，f(x)＝x2>0恒成立，符合题意; 当a<0，x>2时，f(x)＝x|x－a|－2a2＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)>0，解得x>－a， 由于x>2时，f(x)>0，故－a≤2，解得－2≤a<0. 综上，－2≤a≤1. 故选B.] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1课时　函数的概念及其表示 [考试要求]　1．了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用． 1．函数的概念 一般地，设A，B是____________，如果对于集合A中的____一个数x，按照某种确定的对应关系f ，在集合B中都有________的数y和它对应，那么就称f ：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f (x)，x∈A． 2．同一个函数 (1)函数的三要素：______、________、____． (2)如果两个函数的______相同，并且________完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法：______、______、______． 提醒：与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点． 4．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数表示的是一个函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的____． [常用结论] 1．注意以下几个特殊函数的定义域 (1)分式型函数，分母不为零的实数集合． (2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合． (3)f (x)的解析式为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正数且不为1的实数集合． (4)若f (x)＝x0，则f (x)的定义域为{x|x≠0}． (5)正切函数y＝tan x的定义域为． 2．基本初等函数的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R． (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为；当a<0时，值域为． (3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}． (4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． (5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数． (　　) (2)对于函数f ：A→B，其值域是集合B． (　　) (3)函数y＝f (x)的图象可以是一条封闭曲线． (　　) (4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是同一个函数． (　　) 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P101T7改编)设函数f (x)＝则f (f (－1))＝(　　) A．16 B．4 C．5 D．－4 2．(人教A版必修第一册P69练习T2改编)函数f (x)＝|x－1|的图象是(　　) A　　　B　　　　C　　　　D 3．(多选)(人教A版必修第一册P67练习T3改编)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．f (x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1 B．f (x)＝与g(x)＝x C．f (x)＝与g(x)＝ D．f (x)＝x与g(x)＝ 4．(人教A版必修第一册P65例2改编)已知函数f (x)＝x＋，则f (x)的定义域为________；若f (a)＝2，则a的值为________． 考点一　求函数的定义域 [典例1]　(1)已知函数y＝f (x)的定义域为[0，4]，则函数y＝＋(x－2)0的定义域是(　　) A．(1，5]　　　　　 B．(1，2)∪(2，5) C．(1，2)∪(2，3] D．(1，3] (2)(2025广东东莞模拟)函数y＝＋的定义域为________． [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　求函数的定义域的策略 (1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义． (2)求抽象函数的定义域： ①若f (x)的定义域为[m，n]，则在f (g(x))中，由mg(x)n解得x的取值范围即为f (g(x))的定义域． ②若f (g(x))的定义域为[m，n]，则由mxn得到g(x)的取值范围，即为f (x)的定义域． [跟进训练] 1．(1)(2025山东青岛模拟)若函数f (x)＝的定义域为R，则常数k的取值范围是(　　) A．(0，4) B．[0，4) C．[0，4] D．(0，4] (2)已知函数y＝f (x＋1)的定义域是[－2，3]，则y＝f (2x－1)的定义域是(　　) A． B．[－1，4] C．[－5，5] D．[－3，7] 考点二　求函数的解析式 [典例2]　求下列函数的解析式： (1)已知f (1－sin x)＝cos2x，求f (x)的解析式； (2)已知f ＝x2＋，求f (x)的解析式； (3)已知f (x)是二次函数且f (0)＝2，f (x＋1)－f (x)＝x－1，求f (x)的解析式； (4)已知f (x)满足2f (x)＋f (－x)＝3x，求f (x)的解析式． [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法． (2)换元法：已知复合函数f (g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (3)配凑法：由已知条件f (g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f (x)的解析式，注意g(x)的取值范围． (4)解方程组法：已知关于f (x)与f 或f (－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x)． [跟进训练] 2．(1)(易错题)已知f (＋1)＝x－2，则f (x)＝________． (2)已知f (x)满足f (x)－2f ＝2x，则f (x)＝________． (3)设函数f (x)是单调递增的一次函数，满足f (f (x))＝16x＋5，则f (x)＝________． 考点三　分段函数 　求值问题 [典例3]　(1)(2025湖北武汉模拟)已知f (x)＝则f ＝(　　) A．2 B． C． D．1 (2)(2021浙江高考)已知a∈R，函数f (x)＝若f (f ())＝3，则a＝__________． [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　解方程或不等式 [典例4]　(1)函数f (x)＝若实数a满足f (a)＝f (a－1)，则f ＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 (2)(2024湖北十一校一模)已知函数f (x)＝则关于x的不等式f (x)1的解集为________． [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　分段函数的几类题型及解决方法 (1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参． (2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值． (3)涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解． [跟进训练] 3．(1)已知函数f (x)＝若f (f (a))＝2，则a等于(　　) A．0或1 B．－1或1 C．0或－2 D．－2或－1 (2)(2025八省联考)已知函数f (x)＝x|x－a|－2a2．若当x>2时，f (x)>0，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，1] B．[－2，1] C．[－1，2] D．[－1，＋∞) 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$