课后作业61 离散型随机变量的分布列和数字特征-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word

课后作业(六十一) [A组　在基础中考查学科功底] 1．D　[由题意可知，当Y＝－1时，即2X－1＝－1，解得X＝0，又因为随机变量X服从两点分布，且P(X＝1)＝0.4，所以P＝P＝0.6．故选D．] 2．A　[X的可能取值为0，1，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，所以E(X)＝0×＋1×＝，D(X)＝＝．] 3．C　[由P(X≤0)＝，得m＝＝，n＝1－P(X≤0)＝， 则E(X)＝－1×＋0×＋1×＝，D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝1×＋0×＝， 由2X＋Y＝1，得Y＝1－2X，所以D(Y)＝4D(X)＝． 故选C．] 4．D　[由题意可知取出的球的最大编号X的可能取值为2，3，所以P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以E(X)＝2×＋3×＝．] 5．B　[依题意知，ξ的所有可能取值为2，4，6， 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为＋＝． 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响． 从而有P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝＝， ξ为6时，即前两轮比赛不分输赢，继续比第三轮， P(ξ＝6)＝＝， 故E(ξ)＝2×＋4×＋6×＝．故选B．] 6．A　[由题意可得X的可能取值为2，3，4，5，…，n， P＝，P＝＝，P＝，…，P＝， ∴E＝2×＋3×＋4×＋…＋＋n×，① 则E＝2×＋3×＋4×＋…＋＋n×，② ①－②得，E＝1＋＋…＋－n×， 即得E＝3－．当n→＋∞时，E≈3． 故选A．] 7．ABC　[由题知 解得a＝0.5，b＝0.3，c＝0.2，A选项正确； 所以E＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.5＝2.3，B选项正确； D＝(1－2.3)2×0.2＋(2－2.3)2×0.3＋(3－2.3)2×0.5＝0.61，C选项正确； D＝22·D＝2.44，D选项错误． 故选ABC．] 8．BD　[由题意可得，目标没有被击中的概率为＝，所以目标被击中的概率为1－＝，A错误； 易知该射手每次射击未命中的概率为， X的可能取值为1，2，3，所以P＝， P＝＝，P＝＝， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P E＝1×＋2×＋3×＝， D＝＝，BD正确，C错误． 故选BD．] 9．1　1　[ξ的所有可能取值为0，1，3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1，2，3的座位上分别坐了编号为2，3，1或3，1，2的学生，则P(ξ＝0)＝＝； ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了， 则P(ξ＝1)＝＝； ξ＝3表示三位同学全坐对了，即对号入座， 则P(ξ＝3)＝＝． 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 3 P E(ξ)＝0×＋1×＋3×＝1． D(ξ)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1．] 10．　[由题意知P(ξ＝2)＝＝． ξ的所有可能取值为1，2，3，4． P(ξ＝1)＝＝＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝，∴E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝＝．] 11．解：(1)设“a同学摸球三次后停止摸球”为事件E， 则P(E)＝＝， 故a同学摸球三次后停止摸球的概率为． (2)随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4． P(X＝0)＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝． 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2， 方差D(X)＝(0－2)2×＋(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＋(4－2)2×＝． 12．解：(1)设事件A表示“该小组比赛胜利”， 则P＝＝． (2)由题意可知，X的所有可能取值为1，2，3， 则P(X＝1)＝p1，P(X＝2)＝(1－p1)p2，P(X＝3)＝(1－p1)(1－p2)， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P p1 (1－p1)p2 (1－p1)(1－p2) 所以E(X)＝p1＋2(1－p1)p2＋3(1－p1)(1－p2)＝p1p2－2p1－p2＋3． (3)若依次派甲、乙、丙进行闯关，设派出人员数目的期望为E1，由(2)可知，E1＝p1p2－2p1－p2＋3， 若依次派丙、乙、甲进行闯关，设派出人员数目的期望为E2， 则E2＝p3p2－2p3－p2＋3， 则E1－E2＝(p1p2－2p1－p2＋3)－(p3p2－2p3－p2＋3)＝p1p2－2p1－p3p2＋2p3＝p2(p1－p3)－2(p1－p3)＝(p1－p3)(p2－2)， 因为1>p1>p2>p3，所以p1－p3>0，p2－2<0， 所以E1－E2<0，即E1<E2， 所以要使派出人员数目的期望较小，应先派出甲． [B组　在综合中考查关键能力] 13．解：(1)y＝ (2)①由题意可得，X的所有可能取值为720，840，960，对应的概率分别为0.1，0.2，0.7，所以X的分布列为 X 720 840 960 P 0.1 0.2 0.7 E(X)＝720×0.1＋840×0.2＋960×0.7＝912， D(X)＝(720－912)2×0.1＋(840－912)2×0.2＋(960－912)2×0.7＝6 336． ②当加工17个这种蛋糕时，Y表示日利润(单位：元)，则Y的分布列为 Y 660 780 900 1 020 P 0.1 0.2 0.16 0.54 则E(Y)＝660×0.1＋780×0.2＋900×0.16＋1 020×0.54＝916.8，916.8＞912． 从数学期望来看，一天加工17个这种蛋糕的日利润高于一天加工16个这种蛋糕的日利润，所以应加工17个． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课后作业(六十一)　离散型随机变量的分布列和数字特征 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共95分 一、单项选择题 1．已知随机变量X服从两点分布，且P＝0.4，设Y＝2X－1，那么P＝(　　) A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 2．已知A1，A2为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试通过的概率均为，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试．设该同学通过考试的高校的个数为随机变量X，则D(X)等于(　　) A． B． C． D． 3．(2025·广东八校联考)已知随机变量X的分布列如表所示： X －1 0 1 P m n 若P(X≤0)＝，且2X＋Y＝1，则D(Y)＝(　　) A． B． C． D． 4．口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为(　　) A． B． C．2 D． 5．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为(　　) A． B． C． D． 6．暗箱中有编号为1，2的2个球，现从中随机摸1个球，若摸到2号球，则得2分，并停止摸球；若摸到1号球，则得1分，并将此球放回，重新摸球．记摸球停止时总得分为X，则E(X)约为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 二、多项选择题 7．(2024·辽宁沈阳一模)如图是离散型随机变量X的概率分布直方图，其中3a＝5b，2b＝3c，则(　　) A．a＝0.5 B．E＝2.3 C．D＝0.61 D．D＝1.22 8．假定某射手每次射击命中的概率为，且只有3发子弹．该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直射击到子弹用完．设耗用子弹数为X，则(　　) A．目标被击中的概率为 B．P＝ C．E＝ D．D＝ 三、填空题 9．编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则E(ξ)＝________，D(ξ)＝________． 10．(2022·浙江高考)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ＝2)＝________，E(ξ)＝________． 四、解答题 11．在一次班级联欢晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有红球、黄球、白球、黑球各1个，这些球除颜色外完全相同，同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球，则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球不用表演节目． (1)求a同学摸球三次后停止摸球的概率； (2)记X为a同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望、方差． 12．(2024·上海松江二模)某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次．如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为p1，p2，p3，假定p1，p2，p3互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立． (1)计划依次派甲、乙、丙进行闯关，若p1＝，p2＝，p3＝，求该小组比赛胜利的概率； (2)若依次派甲、乙、丙进行闯关，请写出所需派出的人员数目X的分布列，并求X的期望E； (3)已知1>p1>p2>p3，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出． 13．某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕，然后以每个120元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的这种蛋糕作厨余垃圾处理． (1)若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：个，n∈N)的函数解析式； (2)烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量(单位：个)，整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 以这100天记录的日需求量的频率作为日需求量发生的概率． ①若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，X表示日利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差； ②若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕，仅从获得利润大的角度考虑，你认为应加工16个还是17个？请说明理由． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$