精品解析：甘肃省张掖市某校2024-2025学年高一下学期6月月考数学试卷

甘肃省张掖市某校2024-2025学年高一下学期6月月考数学试卷 一、单选题 1. 复数 （为虚数单位），则的共轭复数的模（ ） A. 5 B. 25 C. 4 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，进而即得. 【详解】因为， 所以. 故选：A． 2. 已知向量满足，向量与的夹角为，则（ ） A. 12 B. 4 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积公式得到，从而得到. 【详解】因为，向量与的夹角为．所以， 所以． 故选：C． 3. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法正确的是（　　） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系依次判断选项即可. 【详解】对选项A，若，，则与的位置关系是平行，相交和异面，故A错误. 对选项B，若，，则与的位置关系是平行和相交，故B错误. 对选项C，若，，则根据线面垂直的性质得与的位置关系是平行，故C正确. 对选项D，若，，则与的位置关系是平行和相交，故D错误. 故选：C 4. 在三棱锥中，，，E，F分别是，的中点，，则直线与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先作出辅助线，得到或其补角为线与所成的角，求出，结合，利用余弦定理求出余弦值. 【详解】取的中点，连接， 因为E，F分别是，的中点， 所以，故或其补角为直线与所成的角， ， 又， 故， 故直线与所成的角的余弦值为. 故选：A 5. 已知正方体棱长为，则点到平面的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出辅助线，证明出AC⊥平面，找到点到平面的距离即CE的长，求出答案. 【详解】连接AC交BD于点E，则因为四边形ABCD为正方体，所以AC⊥BD，且E为AC中点，因为⊥底面ABCD，平面ABCD，所以⊥，因为，所以AC⊥平面，所以CE的长即为点到平面的距离，因为正方体棱长为2，所以由勾股定理可得：，显然. 故选：B 6. 某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ） 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 A. 623 B. 328 C. 072 D. 457 【答案】A 【解析】 【分析】按照随机数表提供的数据，三位一组的读数，并取001到650内的数，重复的只取一次即可 【详解】从第5行第6列开始向右读取数据， 第一个数为253，第二个数是313， 第三个数是457，下一个数是860，不符合要求， 下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复， 第四个是007，第五个是328，第六个数是623，，故A正确. 故选：A. 7. 用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知，则的面积为（ ） A. B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直观图和原图的面积关系，即可求解 【详解】因为， 所以是直角三角形且，可得， 所以的面积， 则的面积． 故选：A 8. 的内角的对边分别为，若，且，则的面积的最大值是 A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由，根据三角形内角和定理，结合诱导公式可得，再由正弦定理可得，从而由余弦定理求得，再利用基本不等式可得，由三角形面积公式可得结果. 【详解】，且， ， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得， ， 又，即， ， 即最大面积为，故选B. 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及基本不等式的应用，属于难题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 二、多选题 9. 已知平面向量，，则（ ） A. 当时， B. 若，则 C. 若，则 D. 若与的夹角为钝角，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量加法坐标公式计算可判断A；根据向量平行的坐标公式计算即可判断B；根据向量垂直坐标公式计算即可判断C；根据向量数量积坐标公式计算即可判断D. 【详解】对A，当时，，所以，故A正确； 对B，若，则，解得，故B错误； 对C，若，则，解得，故C正确； 对D，若与的夹角为钝角，则且与不共线， 解得且，即，故D正确， 故选：ACD 10. 已知函数，则下列判断正确的是（ ） A. 的周期为 B. 为偶函数 C. 的图象关于直线对称 D. 的值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】，根据三角函数的性质判断即可得解. 【详解】， 为偶函数，周期为，故A错误，B正确． 令，得， 当时，，故C正确． ， 的值域为，故D正确． 综上，BCD正确． 故选：BCD 11. 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列命题中，正确的有（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】CD 【解析】 【分析】将展开图还原为立体图，即可根据线面关系，结合线面平行以及面面平行的判断求解. 【详解】展开图可以折成如图①所示的正方体． 在正方体中，连接，如图②所示． 易知与平面有公共点与平面有公共点，所以AB错误； 如图③所示，连接， 由于平面,平面,所以平面， 同理可得平面，平面, 则平面平面， 同理可证平面平面，所以CD正确． 故选：CD 三、填空题 12. 某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下： 5，5，6，6，7，7，8，9，9，9，这组数据的第60百分位数为______． 【答案】7.5## 【解析】 【分析】由百分位数的定义即可得解. 【详解】由题意，所以这组数据的第60百分位数为. 故答案为：7.5. 13. 已知角为第二象限角，，角为第四象限角，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合角、所在象限与同角三角函数基本关系可得，，再利用两角和的正切公式计算即可得. 【详解】由角为第二象限角，则， 由角为第四象限角，则， 故，， 则. 故答案为：. 14. 在正方体中，截面与底面所成的二面角的正切值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 先找二面角的平面角，在中，即为二面角的平面角. 【详解】连接交与点如图所示， 因为， 所以即为二面角的平面角， 在中，， 所以二面角的正切值为 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题考查二面角的求法，常用的方法有： (1)直接法：利用定义法找出二面角的平面角，放入三角形中求出相应的三角函数值； (2)向量法：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用向量夹角公式计算可得出二面角的大小． 四、解答题 15. 随着现代社会物质生活水平的提高，中学生的零花钱越来越多，消费水平也越来越高，因此滋生了一些不良的攀比现象.某学校为帮助学生培养正确的消费观念，对该校学生每周零花钱的数额进行了随机调查，现将统计数据按，，…，分组后绘成如图所示的频率分布直方图，已知. （1）求频率分布直方图中，的值； （2）估计该校学生每周零花钱的第55百分位数； （3）若按照各组频率的比例采用分层随机抽样的方法从每周零花钱在内的人中抽取11人，求内抽取的人数. 【答案】（1）， （2）70元 （3）2人 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1，结合已知可得； （2）先判断第55百分位数所在区间，然后可得； （3）先求各组频率，根据频率比例即可求得抽取人数. 【小问1详解】 ，即 又，所以，. 【小问2详解】 前3组的频率和为， 前4组的频率和为， ∴第55百分位数位于第4组内. ∴估计第55百分位数为元. 【小问3详解】 ，，这三组的频率分别为，，，比例为， 则从内抽取的人数分别为. 16. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【小问1详解】 由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 17. 如图，已知四棱锥中，底面是正方形，为侧棱的中点. （1）求证：∥平面； （2）已知为棱上的点，若∥平面，求证：是的中点. 【答案】（1）证明： 设，连接， 因为是平行四边形，可知为的中点， 又因为为侧棱的中点，则∥， 且平面，平面，故∥平面. （2）证明： 由（1）可知：∥，且平面，平面， 所以∥平面， 又因为∥平面，且，平面， 所以平面∥平面， 且平面平面，平面平面，可得∥， 又因为为的中点，所以为的中点. 【解析】 【分析】（1）设，再证明∥，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）根据题意可证平面∥平面，结合面面平行的性质定理分析证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，分别是棱的中点． （1）证明：； （2）证明：平面． 【答案】（1） 连接交于点，由四边形是菱形得， 因为平面，平面， 所以， 因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以． （2） 连接， 因为四边形是菱形，所以点为中点， 又分别是棱的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 因为平面，且， 所以平面平面，又平面， 所以平面． 【解析】 【分析】（1）连接交于点，由已知证明平面，又平面，即可证明； （2）连接，证明出平面平面，结合面面平行的性质即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，三棱锥中，两两垂直，，，分别是的中点. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正切值； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）分别为的中点 ， 平面，平面，平面 平面，平面 又，平面 平面平面 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线性质和线面平行判定定理可证得平面，平面，由面面平行判定定理可证得结论； （2）过点作，由线面垂直的判定与性质定理可分别证得，，可知所求二面角的平面角为，由长度关系可求得，从而得到结果； （3）设的中点为，在平面内作，由线面垂直的判定定理可证得平面；由面面垂直的判定与性质定理可证得平面，根据线面角的定义可知即为所求线面角，根据长度关系可求得，即为所求结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作，垂足为，连接 ，，，平面 平面，又平面 又，，平面 平面 平面 即为二面角的平面角 即二面角的正切值是 【小问3详解】 设的中点为，连接 在平面内，过点作，垂足为 等腰直角三角形 又，且，平面 平面，又平面 又，，平面 平面 平面 平面平面 平面平面，，平面 平面 连接，则是直线与平面所成的角 又， ， 即直线与平面所成角的正弦值为 【点睛】本题考查立体几何中面面平行关系的证明、二面角、直线与平面所成角的求解问题；涉及到线面平行与面面平行的判定与性质定理、线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的判定与性质定理的应用等知识；求解角度问题的关键是能够通过垂直关系得到二面角的平面角或直线与平面所成角. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省张掖市某校2024-2025学年高一下学期6月月考数学试卷 一、单选题 1. 复数 （为虚数单位），则的共轭复数的模（ ） A. 5 B. 25 C. 4 D. 16 2. 已知向量满足，向量与的夹角为，则（ ） A. 12 B. 4 C. D. 2 3. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法正确的是（　　） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 在三棱锥中，，，E，F分别是，的中点，，则直线与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正方体棱长为，则点到平面的距离为（　　） A. B. C. D. 6. 某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ） 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 A. 623 B. 328 C. 072 D. 457 7. 用斜二测画法画出水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知，则的面积为（ ） A. B. C. 8 D. 8. 的内角的对边分别为，若，且，则的面积的最大值是 A. B. C. D. 4 二、多选题 9. 已知平面向量，，则（ ） A. 当时， B. 若，则 C. 若，则 D. 若与的夹角为钝角，则 10. 已知函数，则下列判断正确的是（ ） A. 的周期为 B. 为偶函数 C. 的图象关于直线对称 D. 的值域为 11. 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列命题中，正确的有（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面平面 D. 平面平面 三、填空题 12. 某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下： 5，5，6，6，7，7，8，9，9，9，这组数据的第60百分位数为______． 13. 已知角为第二象限角，，角为第四象限角，，则的值为______． 14. 在正方体中，截面与底面所成的二面角的正切值为___________. 四、解答题 15. 随着现代社会物质生活水平的提高，中学生的零花钱越来越多，消费水平也越来越高，因此滋生了一些不良的攀比现象.某学校为帮助学生培养正确的消费观念，对该校学生每周零花钱的数额进行了随机调查，现将统计数据按，，…，分组后绘成如图所示的频率分布直方图，已知. （1）求频率分布直方图中，的值； （2）估计该校学生每周零花钱的第55百分位数； （3）若按照各组频率的比例采用分层随机抽样的方法从每周零花钱在内的人中抽取11人，求内抽取的人数. 16. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 17. 如图，已知四棱锥中，底面是正方形，为侧棱的中点. （1）求证：∥平面； （2）已知为棱上的点，若∥平面，求证：是的中点. 18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，分别是棱的中点． （1）证明：； （2）证明：平面． 19. 如图，三棱锥中，两两垂直，，，分别是的中点. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正切值； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $