空间几何体的分割问题讲义-2026届高三数学一轮复习之一题多变系列

第14题 空间几何体的分割问题（一题多变） 【浙江省宁波中学2025届高三下学期4月月考T8】如图，一个体积为1的四面体靠在一个足够大的正方体容器中（厚度不计），点在底面上，现向该正方体缓慢注水，已知液面经过时的高度分别为，，，每次经过四面体顶点时的液面将该四面体分割成的几何体中，表面积最大的体积为（    ） A．                             B．                                 C．                      D． 【思路分析】 根据题意分别作出液面经过时的截面和，两截面把四面体分成上，中，下3个几何体，结合条件分析可得中间几何体的表面积最大，根据分割法即可求出中间几何体的体积. 【详解】如图，当液面经过，且与分别交于点，当液面经过点，且与分别交于点，由于液面经过时的高度分别为，，， 容易知道，，，，，，所以. 记三棱锥，三棱锥，几何体，的表面积分别为. 则. . . 所以三个几何体中，易知几何体的表面积最大，设点到平面的距离为，则点到平面的距离为，根据分割法可得几何体的体积为： ， 由题意知，所以. 故选C. 【题后反思】 此题是一道空间几何体的分割问题，难点一是需要准确作出对应的截面，找到表面积最大的几何体；二是需要结合已知条件利用分割法求几何体的体积，并且在求体积的过程中需要准确利用截得的锥体底面积和高与原来四面体的底面积和高的关系求解. 变背景，仍用分割法求体积 【变化角度】改变原题中的背景条件，仍利用分割法解决几何体的体积问题，如下： 例：已知三棱锥如图所示，两两垂直，且，点分别是棱的中点，点是棱上靠近点的三等分点，则空间几何体的体积为 . 【思路分析】 过点作，交于点，证明平面，分别求出三棱锥的体积，再根据即可得解. 【详解】如图，过点作，交于点， 因为，，，，平面， 所以平面，所以平面，且， 因此， 因为、分别为、的中点，所以， 所以，， 所以. 故答案为：. 【举一反三】 1．如图，三棱锥P-ABC的体积为V，E，F分别是棱PB，PC上靠近点P的三等分点，G是棱AB 上靠近点B的三等分点，H是棱AC上靠近点C的三等分点，则多面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】多面体体积为三棱锥与四棱锥体积之和,再利用体积之比与高之比底面积之比的关系解题即可. 【详解】连接， ∵ ∴， ∵， ∴, ∴多面体体积为：. 故选： B. 2．中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶．其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面，且四边形为正方形．在底面中，若，，则该几何体的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积. 【详解】如图所示，    该几何体可视为直三柱与两个三棱锥，拼接而成. 记直三棱柱的底面的面积为，高为，所求几何体的体积为， 则， 由于是两个相同的直三棱柱，所以 . 所以 . 故选：D. 变为求分割后体积的比值问题 【变换角度】改变问题角度，将求体积变为求截面分割后的几何体体积的比值问题，如下： 例：如图，在体积为的正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，记四棱锥的体积为，则（ ） A．    B．    C．    D． 【思路分析】 利用四点共面中的向量关系来求解，再利用三棱锥体积变换来求比值，从而解答问题. 【详解】如图所示，    由四点共面，且四边形为正方形， 可得， 由，，设， 可得：，即， 根据四点共面，可得， 即， 设，分别是点到平面和点到平面的距离，则， 所以， ，， 同理，， ，， 则四棱锥与四棱锥的体积比为. 故选：D. 【举一反三】 3．如图，三棱柱中，是上靠近的四等分点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则（    ） A．9：7 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线线平行得截面为梯形，即可根据锥体以及柱体的体积公式求解. 【详解】过作交于，连接, 由于,故，因此截面为梯形， 又,平面，平面，故平面 设三棱柱的高为， 由于, 所以, , 故， 因此 故选：A 4．如图，点分别是正四棱锥的棱的中点，设平面，则与长度之比为 ，四棱锥被平面分成上下两部分体积之比为 ． 【答案】 【分析】连接，连接，设与相交于点，则为的中点，延长交于点，连接，在中，由和三点共线，求解与长度之比为；再根据等体积法求四棱锥被平面分成上下两部分体积之比. 【详解】 在正四棱锥中，连接，连接， 设与相交于点，则为的中点，延长交于点，连接， 在中，， 又因为三点共线，所以， 所以，，即， 则，所以与长度之比为； 四棱锥被平面分成上下两部分体积分别为， ， ， ， 所以． 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：在中，由和三点共线，求解与长度之比. 变为探究注水的高度，体积问题 【变换角度】改变问题角度，变求几何体的体积为求注水的高度、体积等问题，如下： 例：一个正方体形状的容器，是两个侧面的面对角线，且，该容器如图放置，点A恰在水平面上，使得矩形恰与水平面垂直．已知点B到平面的距离为，点C到平面的距离为，点D到平面的距离为．容器中装有水，若水面到平面的距离为，则所装的水的体积为 ． 【思路分析】 不妨设正方体的边长为，过点B作平面，过点C作平面，水面与交于点M，与交于点N，由可求出，再分别求出棱台上、下底面积，由棱台和棱柱的体积公式即可得出答案. 【详解】不妨设正方体的边长为，则， 如图，过点B作平面，过点C作平面， 水面与交于点M，与交于点N，则， 因为四边形是矩形，所以， 所以， 又因为，所以， 所以， 则，解得：． 所以， 同理可得，． 因为容器内部剩余部分是一个棱台，如下图，连接， 设水面与平面交于直线， 由正方体的性质知，平面，所以平面， 所以，又因为，，平面， 所以平面，又因为矩形与平面垂直， 所以平面，因为水面与平面平行，所以平面， 假设与相交，而，平面， 则平面平面，又平面与平面相交，故矛盾， 所以，故侧棱台上底、下底为等腰直角三角形， 则侧棱台上底为等腰直角三角形，直角边长为， 棱台下底也为等腰直角三角形，直角边长为， 所以上底面面积， 下底面面积，高， 所以剩余部分的体积为． 所以水的体积为． 故答案为：. 【举一反三】 5．长方体为不计容器壁厚度的密封容器，里面盛有体积为的水（未盛满容器），已知，，．若将该密封容器任意摆放均不能使水面呈三角形，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分别计算水量较少和水量较多时，水面呈三角形时的水的体积，然后可得答案. 【详解】如图：    水量较少，水面恰好为长方体的截面时，； 水量较多，水面恰好为长方体的截面时，. 因为该密封容器任意摆放均不能使水面呈三角形，所以的取值范围是. 故答案为： 6．在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图1，正三棱柱容器中注入了一定量的水，若将侧面固定在地面上，如图2所示，水面恰好为（水面与，，，分别相交于，，，），若将点固定在地面上，如图3所示，当容器倾斜到某一位置时，水面恰好为，则在图2中=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，设正三棱柱边长为，分别求出正三棱柱、水以及剩下的容积，可得出图2中的与正三棱柱的容积的比例，从而可得，再由相似三角形性质可得的比例，从而得出答案. 【详解】设正三棱柱边长为，记水的容积为，该正三棱柱的容积为，则 ，， ， 故该正三棱柱去掉水后的剩余体积为， 即，由,得，又，所以有. 故选：D. 7．如图，正三棱柱的底面边长为1，高为3，已知为棱的中点，分别在棱上，，记四棱锥，三棱锥与三棱锥的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件分别计算出的值，即可求解. 【详解】由题意知：， ， . ，，. 故选：C. 8．如图，在平行六面体中，是线段上的一点，且，则三棱锥的体积与平行六面体的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知，先证明面，再由及棱锥和棱柱的体积公式，即可得. 【详解】由题设及平行六面体的结构特征易知，面，面， 所以面，则上任意一点到面的距离为定值， 又，则， 由的底面面积是平行六面体底面面积的一半，且高相等， 所以. 故选：D 9．图1是一个水平放置且高为6的直三棱柱容器，现往内灌进一些水，设水深为.将容器底面的一边固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为，如图2，则（    ） A．3 B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】利用两个几何体中的装水的体积相等，列出方程，即可求解. 【详解】在图1中的几何体中，水的体积为， 在图2的几何体中，水的体积为， 因为，可得，解得. 故选：B. 10．我国古代的数学著作《九章算术》中提到了“仓”“堑堵”“阳马”等几何体，其中“仓”是长方体，“堑堵”是两底面为直角三角形的棱柱，“阳马”是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体．在“阳马”中，平面，分别为、、、的中点，、、、分别为、、、的中点，和交于，平面、平面、平面将阳马分割成一个“仓”，2个“堑堵”和2个小“阳马”，那么分割后2个小“阳马”的体积和与“阳马”体积的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中中点条件得到2个小“阳马”的高度、底面积与“阳马”的高度和底面积的关系，结合棱锥的体积公式得到结果. 【详解】设底面的面积为，高为h（即的长度），则“阳马”的体积为， 因为分别为、、、的中点，分别为、、、的中点， 所以小“阳马”与的底面都是底面积的，高是“阳马”的高的一半， 因此，每个小阳马的体积为：， 两个小阳马的总体积为：2个小“阳马”的体积和与“阳马”体积的比值为. 所以2个小“阳马”的体积和与“阳马”体积的比值为. 故选：C. 11．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R的圆柱与半径为R的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个底面半径为R，高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用垂直于半径的平面去截半径为R的半球，且球心到平面的距离为，则平面所截得的较小部分（阴影所示称之为“球冠”）的几何体的体积是 ． 【答案】 【分析】根据圆柱与圆锥的体积公式，结合题意，可得答案. 【详解】∵，，， ∴， ∴． 故答案为：. 12．已知在直三棱柱中，，，，，分别是，上的点，且，现沿平面将该三棱柱截成两部分，则几何体的体积为 ． 【答案】96 【分析】由勾股定理和已知比例式确定，的位置，再分别在，上取点，使得，连接，由三棱柱和四棱锥的体积公式计算即可； 【详解】由题意知，，，，则， 由，且，所以，，， 如图，分别在，上取点，使得，连接， 则几何体可看作由直三棱柱和四棱锥组成， 因为，， 故所求几何体体积为．    故答案为：96. 13．（如图甲）是一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不算），底面为平行四边形. 现将容器以棱为轴向左侧倾斜（如图乙），这时水面恰好经过，且分别为棱的中点，设棱锥的高为2，则图甲中，容器内的水面高度为 . 【答案】 【分析】将四棱锥补成平行六面体，利用棱柱和棱锥的体积公式逐项分析即可. 【详解】如图将四棱锥补成平行六面体，设平行四面体的体积为， 根据分别为棱的中点，设棱锥高为，体积为， 则，而三棱柱与平行六面体的高相同， 则， 根据四棱锥与平行六面体底和高均相同，则，则 易知， 则， 图甲中上方的小四棱锥高为,则，则， 故图甲中的水面高度为. 故答案为： 14．某学校课外社团活动课上，数学兴趣小组进行了一次有趣的数学实验操作，课题名称“不用尺规等工具，探究水面高度”.如图甲，是一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不计），底面为平行四边形，设棱锥高为h，体积为V，现将容器以棱为轴向左侧倾斜，如图乙，这时水面恰好经过，其中E，F分别为棱，的中点，设容器中水的体积为，图甲中的水面高度为，则 ， .    【答案】 ## 【分析】将四棱锥补成平行六面体，利用棱柱和棱锥的体积公式计算即可. 【详解】如图将四棱锥补成平行六面体，设平行六面体的体积为， 根据分别为棱的中点， 则，而三棱柱与平行六面体的高相同， 则， 根据四棱锥与平行六面体底和高均相同，则，则， 易知， 则， 即， 图甲中上方的小四棱锥高为，体积为， 则，则， 故图甲中的水面高度， 所以. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：求空间几何体体积的方法如下： （1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解； （2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14题 空间几何体的分割问题（一题多变） 【浙江省宁波中学2025届高三下学期4月月考T8】如图，一个体积为1的四面体靠在一个足够大的正方体容器中（厚度不计），点在底面上，现向该正方体缓慢注水，已知液面经过时的高度分别为，，，每次经过四面体顶点时的液面将该四面体分割成的几何体中，表面积最大的体积为（    ） A．                             B．                                 C．                      D． 【思路分析】 根据题意分别作出液面经过时的截面和，两截面把四面体分成上，中，下3个几何体，结合条件分析可得中间几何体的表面积最大，根据分割法即可求出中间几何体的体积. 【详解】如图，当液面经过，且与分别交于点，当液面经过点，且与分别交于点，由于液面经过时的高度分别为，，， 容易知道，，，，，，所以. 记三棱锥，三棱锥，几何体，的表面积分别为. 则. . . 所以三个几何体中，易知几何体的表面积最大，设点到平面的距离为，则点到平面的距离为，根据分割法可得几何体的体积为： ， 由题意知，所以. 故选C. 【题后反思】 此题是一道空间几何体的分割问题，难点一是需要准确作出对应的截面，找到表面积最大的几何体；二是需要结合已知条件利用分割法求几何体的体积，并且在求体积的过程中需要准确利用截得的锥体底面积和高与原来四面体的底面积和高的关系求解. 变背景，仍用分割法求体积 【变化角度】改变原题中的背景条件，仍利用分割法解决几何体的体积问题，如下： 例：已知三棱锥如图所示，两两垂直，且，点分别是棱的中点，点是棱上靠近点的三等分点，则空间几何体的体积为 . 【思路分析】 过点作，交于点，证明平面，分别求出三棱锥的体积，再根据即可得解. 【详解】如图，过点作，交于点， 因为，，，，平面， 所以平面，所以平面，且， 因此， 因为、分别为、的中点，所以， 所以，， 所以. 故答案为：. 【举一反三】 1．如图，三棱锥P-ABC的体积为V，E，F分别是棱PB，PC上靠近点P的三等分点，G是棱AB 上靠近点B的三等分点，H是棱AC上靠近点C的三等分点，则多面体的体积为（    ） A． B． C． D． 2．中国古建筑屋顶形式比较多元化，十字歇山顶就是经典样式之一，图1角楼的顶部即为十字歇山顶．其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面，且四边形为正方形．在底面中，若，，则该几何体的体积为（   ）    A． B． C． D． 变为求分割后体积的比值问题 【变换角度】改变问题角度，将求体积变为求截面分割后的几何体体积的比值问题，如下： 例：如图，在体积为的正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，记四棱锥的体积为，则（ ） A．    B．    C．    D． 【思路分析】 利用四点共面中的向量关系来求解，再利用三棱锥体积变换来求比值，从而解答问题. 【详解】如图所示，    由四点共面，且四边形为正方形， 可得， 由，，设， 可得：，即， 根据四点共面，可得， 即， 设，分别是点到平面和点到平面的距离，则， 所以， ，， 同理，， ，， 则四棱锥与四棱锥的体积比为. 故选：D. 【举一反三】 3．如图，三棱柱中，是上靠近的四等分点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则（    ） A．9：7 B． C． D． 4．如图，点分别是正四棱锥的棱的中点，设平面，则与长度之比为 ，四棱锥被平面分成上下两部分体积之比为 ． 变为探究注水的高度，体积问题 【变换角度】改变问题角度，变求几何体的体积为求注水的高度、体积等问题，如下： 例：一个正方体形状的容器，是两个侧面的面对角线，且，该容器如图放置，点A恰在水平面上，使得矩形恰与水平面垂直．已知点B到平面的距离为，点C到平面的距离为，点D到平面的距离为．容器中装有水，若水面到平面的距离为，则所装的水的体积为 ． 【思路分析】 不妨设正方体的边长为，过点B作平面，过点C作平面，水面与交于点M，与交于点N，由可求出，再分别求出棱台上、下底面积，由棱台和棱柱的体积公式即可得出答案. 【详解】不妨设正方体的边长为，则， 如图，过点B作平面，过点C作平面， 水面与交于点M，与交于点N，则， 因为四边形是矩形，所以， 所以， 又因为，所以， 所以， 则，解得：． 所以， 同理可得，． 因为容器内部剩余部分是一个棱台，如下图，连接， 设水面与平面交于直线， 由正方体的性质知，平面，所以平面， 所以，又因为，，平面， 所以平面，又因为矩形与平面垂直， 所以平面，因为水面与平面平行，所以平面， 假设与相交，而，平面， 则平面平面，又平面与平面相交，故矛盾， 所以，故侧棱台上底、下底为等腰直角三角形， 则侧棱台上底为等腰直角三角形，直角边长为， 棱台下底也为等腰直角三角形，直角边长为， 所以上底面面积， 下底面面积，高， 所以剩余部分的体积为． 所以水的体积为． 故答案为：. 【举一反三】 5．长方体为不计容器壁厚度的密封容器，里面盛有体积为的水（未盛满容器），已知，，．若将该密封容器任意摆放均不能使水面呈三角形，则的取值范围是 ． 6．在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图1，正三棱柱容器中注入了一定量的水，若将侧面固定在地面上，如图2所示，水面恰好为（水面与，，，分别相交于，，，），若将点固定在地面上，如图3所示，当容器倾斜到某一位置时，水面恰好为，则在图2中=（    ） A． B． C． D． 7．如图，正三棱柱的底面边长为1，高为3，已知为棱的中点，分别在棱上，，记四棱锥，三棱锥与三棱锥的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平行六面体中，是线段上的一点，且，则三棱锥的体积与平行六面体的体积之比为（    ） A． B． C． D． 9．图1是一个水平放置且高为6的直三棱柱容器，现往内灌进一些水，设水深为.将容器底面的一边固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为，如图2，则（    ） A．3 B．4 C． D．6 10．我国古代的数学著作《九章算术》中提到了“仓”“堑堵”“阳马”等几何体，其中“仓”是长方体，“堑堵”是两底面为直角三角形的棱柱，“阳马”是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体．在“阳马”中，平面，分别为、、、的中点，、、、分别为、、、的中点，和交于，平面、平面、平面将阳马分割成一个“仓”，2个“堑堵”和2个小“阳马”，那么分割后2个小“阳马”的体积和与“阳马”体积的比值为（   ） A． B． C． D． 11．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R的圆柱与半径为R的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个底面半径为R，高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用垂直于半径的平面去截半径为R的半球，且球心到平面的距离为，则平面所截得的较小部分（阴影所示称之为“球冠”）的几何体的体积是 ． 12．已知在直三棱柱中，，，，，分别是，上的点，且，现沿平面将该三棱柱截成两部分，则几何体的体积为 ． 13．（如图甲）是一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不算），底面为平行四边形. 现将容器以棱为轴向左侧倾斜（如图乙），这时水面恰好经过，且分别为棱的中点，设棱锥的高为2，则图甲中，容器内的水面高度为 . 14．某学校课外社团活动课上，数学兴趣小组进行了一次有趣的数学实验操作，课题名称“不用尺规等工具，探究水面高度”.如图甲，是一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不计），底面为平行四边形，设棱锥高为h，体积为V，现将容器以棱为轴向左侧倾斜，如图乙，这时水面恰好经过，其中E，F分别为棱，的中点，设容器中水的体积为，图甲中的水面高度为，则 ， .    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$