导数零点讲义-2026届高三数学一轮复习之一题多变系列

第3题 导数&零点：高考数学命门 （一题多变） 【2025届山东省潍坊高三上学期质量监测数学试题】已知函数和，若则（ ） A．                B．               C．                D． 【思路分析】本题主要考察零点相关问题，解题的关键在于建立变量之间的关系，把多变量问题转化为单变量问题，并结合函数单调性、零点存在定理、函数对称性、基本不等式以及利用导数研究函数性质等知识，如在分析关系时，利用变量之间的关系构建函数，再借助函数单调性求解，也可利用函数对称性求解，从数与形两个角度综合考虑，考验对函数本质的理解；确定更精确范围以及比较和大小，运用函数值计算与基本不等式，思维灵活转换，对于与的大小判断，根据其共同结构特征采用构造函数并利用导数研究其单调的方法求解即可. 【详解】对于A选项： 方法一：由题意，得， ， 令在单调递增，所以， 代入得，所以． 方法二：由可得， 代入得，所以． 方法三：由题意，得， 由与关于对称，关于对称， 则的交点与的交点与的交点关于的交点对称， 则，故A对； 对于B选项：在上递增，且，， 的零点的范围为，故B对； 对于C选项：方法一：因为，故，C错； 方法二：由题意易知，， ，，，故C错； 方法三：，，令， ，在单调递增，，故C错． 对于D选项：解法一：， 令，，在上单调递增，，，故只需，故D对． 解法二：令，，， ，，， ，故故D对. 故选：ABD． 【题后反思】本题是，的零点，四个选项都是关于两零点的相等和不等关系，关键在建立之间的关系，用零点存在性定理卡住的范围，把双变量转化为单变量进行求解，因为本题的结构特征，可考虑进行指对同构进行解决，找到变量之间的关系. 【变化角度】改变角度：方程问题转化函数零点问题，本题与原题题干题意都一样，只是描述的角度不同，运用载体不同，由原来的方程问题转化函数零点问题，对选项做了一些变化，本题是利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题、利用导数研究函数的零点. 例：（多选题）已知函数的零点为，函数的零点为，则（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】ACD 【分析】注意到，又可得在单调递增，则有，后由零点存在性定理可得范围.，之后判断各选项正误即可得答案. 【详解】， 又函数的零点为，则，其中. ，得在上单调递增，又其有零点，则为其唯一零点. 又，得. 注意到，， 则，且. 对于A，因，， 则，故A正确. 对于B，因，则. 令.在上单调递减， 则，得在上单调递增. 则，即，故B错误. 对于C选项，因，，则，故. 则由基本不等式结合有：，故C正确. 对于D选项，因，则，由C选项分析可知. 则令，. 得在上单调递增，故，即.故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题涉及函数零点，构造函数证明不等式，需注意以下两点: （1）若题目中同时出现与，常通过使出现相同结构. （2）对于双变量问题，常利用消元思想转化为关于一个未知数的问题. 【举一反三】 1．已知函数为的反函数，若的图象与直线交点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由对数函数的运算和复合函数的单调性可得A错误；由A中可得B正确；再结合零点存在定理可得C正确；构造函数求导分析单调性后可得D正确. 【详解】A：由题意得， 可变形为， 又0， 令，则， 又在上单调递增， 故，所以，所以错误； B：由选项A可得，由，可得，所以B正确； C：由于， 结合在上单调递增，由零点存在性定理得，故C正确； D：， 令，则， 因为，所以，所以在时单调递减， 所以，所以，即，所以D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题选项A关键是把可变形为，再结合复合函数的单调性求解. 2．若函数，，满足对均有，则的取值不可能为（    ） A． B． C． D．9 【答案】AB 【分析】将问题转化为两个函数的零点重合，得出转化单变量的函数最值问题，求导计算即可. 【详解】条件对均有恒成立，等价于， 易知，与均在定义域内单调递增， 且由，故时， 若要满足题意，只需两函数的零点相同即可，则 令，即， 则，令，则，，即在上单调递减，上单调递增， ，显然A、B不可能，C、D可能 故选：AB 【变换角度】改变角度：引入参数建立等价关系，都是导数研究双变量问题，原题是直接由方程相等且为零点明的关系；本题是用将两者联系，根据条件的函数关系确定参数的等量关系，结合目标式化简并构造函数，应用导数研究函数的单调性，如下： 例：（多选）已知函数，，若，，则的取值可能是（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】BC 【分析】由已知条件可推得，即有，结合目标式化简可得，令，利用导函数研究其单调性并确定区间最小值，即为的最小值，根据最小值进行选择即可. 【详解】由题意，，得， ∴，即， 又，得 ∵在上单调递增， ∴综上知：， ∴， 令，，则 ∴，得；，得； 故在上单调递减，在上单调递增. ∴， A：因为，所以本选项不符合题意； B：因为，所以本选项符合题意； C：显然符合题意； D：因为，所以本选项不符合题意， 故选：BC 【点睛】关键点睛：根据条件的函数关系确定参数的等量关系，结合目标式化简并构造函数，应用导数研究函数的单调性，进而确定区间最小值. 【举一反三】 3．已知函数与有两个不同的交点，交点坐标分别为，，下列说法正确的有（    ） A．在上单调递减，在上单调递增 B．的取值范围为 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意求出函数的单调区间最值从而可对A、B判断；然后利用零点附近的割线、切线，构造函数然后利用导数从而可对C、D判断求解. 【详解】由题意可知定义域为，， 对A：当时，，在区间单调递减， 当时，，在区间单调递增，故A正确； 对B：由A知当时，取到极小值也是最小值，由题值与有两个不同的交点， 令，得或，所以当，，当时，单调递增 所以，所以的取值范围为，故B错误. 对C：由的最小值点，所以过点，的直线为， 令，， 当，，当，， 所以在单调递增，在单调递减， ，，所以在恒成立， 所以直线与的交点为； 设过点，的直线为， 令，， 则，当，， 所以在单调递减，又因为，所以在恒成立， 所以直线与的交点， 所以，故C正确. 对D：因为，，，在处的切线为， 设，令，， 当，，当，， 所以在单调递减，在单调递增，所以，即， 因为，直线和相交于点， 所以，可得， 下证：， 由于，所以要证，即证， 令，， 当，，当，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以成立，当且仅当，时取等号， 由于等号不能同时满足，所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：C、D中利用零点附近的割线、切线，构造函数然后利用导数进行求解. 4．函数 ，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，x､y均为正数，则 D．若有两个不相等的实根，则 【答案】ABD 【分析】由导数得出单调性，进而判断AB；由对数运算结合不等式的性质判断C；由分析法结合得出，再构造函数，由其单调性判断D. 【详解】由得： 令得， 当x变化时，，变化如下表： x 0 单调递增 极大值 单调递减 故，在上递增，在上递减，是极大值也是最大值， 时，时，，且时，时，，. 对于A，因为在上递减，所以，故A对； 对于B，因为，且在单调递增，所以，即，所以，即，故B正确； 对于C，设，且x，y均为正数，则 ， ，故C错误. 对于D，因为有两个不相等的零点 不妨设要证：，即要证：在单调递增，∴只需证：即： 只需证： 令，则 当时，在单调递增 .即：，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：在判断函数值的大小时，关键在于借助函数的单调性，比较其大小，对于双变量问题，关键在于将双变量变为单变量，再构造函数证明不等式. 【变换角度】改变角度：化双函数为单个函数的零点问题，都是导数研究双变量问题，原题是直接由方程相等且为零点明确的关系；本题是用将两者联系，根据条件的函数关系确定参数的等量关系，结合目标式化简并构造函数，应用导数研究函数的单调性，如下： 例：(多选)已知函数有两个零点，则（ ） A．的取值范围为   B．    C．   D． 【答案】BCD 【分析】利用导数判断函数的单调性，根据零点的个数求出的取值范围，进而确定的取值范围，再利用不等式的性质、构造函数利用导数逐一判断即可. 【详解】， 因为，所以当时，单调递增，函数至多有一个零点； 当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，最大值为：， 当时，，所以函数至多有一个零点； 当时，，而，当时，， 当时，，所以函数在内各有一个零点，所以， 因此选项A不正确； 选项B：因为， 所以，因此本选项正确； 选项C：因为，当时，，所以，因此， 构造新函数， ，因为，所以单调递减， 因此当时，，又因为， 所以，而， 因此，所以本选项正确； 选项D：，令， 显然有，令，显然，因此有： ，设， 所以有，当时，单调递减，当时，单调递增，因为，所以， 令， 即， 因为，所以单调递增， 因为，所以， 而，所以，因为，所以， 当时，单调递减，因此有，即，所以本选项说法正确， 故选：BCD 【点睛】关键点睛：本题的关键在于构造函数、 、，利用导数研究单调性，根据单调性进行求解. 【举一反三】 5．已知函数有两个零点，且，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D．有极小值点 【答案】C 【分析】求得函数的导数，得到函数的单调区间，确定函数的极小值，根据极小值小于0，判断A；根据方程，指对互化，判断B；根据极值点的位置，结合，即可判断C；根据A的判断，即可判断D. 【详解】由题意，函数，则， 当时，在上恒成立，所以函数单调递增，不符合题意； 当时，令，解得，令，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因为函数有两个零点且， 对A，则，且， 所以，解得，所以A正确； 对B，，且，，故，， 所以，所以B正确； 对C，由，且由A可知，，，则，但不能确定， 所以C不正确； 对D，由函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极小值点为，所以D正确； 故选：C. 6．若对任意的，，且，都有，则m的值可能是（    ） A． B． C． D．1 【答案】BCD 【分析】将转化为，构造函数，利用导数求其单调递减区间即可. 【详解】，且， 则，整理得 设，则只需要在上单调递减即可， ， 令，解得， 则， 所以BCD符合， 故选：BCD. 7．已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A．在上是增函数 B．，不等式恒成立，则正实数的最小值为 C．若有两个零点，则 D．若，且，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】A选项中，令，利用导数可求得单调性，根据复合函数单调性的基本原则可知A正确；B选项中，利用导数可求得在上单调递增，由此可将恒成立的不等式化为，令，利用导数可求得，由可知B正确；C选项中，利用导数可求得的单调性，由此确定，若，可等价转化为，令，利用导数可求得单调性，从而得到，知，可得C错误；D选项中，采用同构法将已知等式化为，从而可确定，结合单调性得到，由此化简得到，令，利用导数可求得最大值，知D正确. 【详解】对于A，当时，，令，则，， ，当时，恒成立，在上单调递增； 在上单调递增， 根据复合函数单调性可知：在上为增函数，A正确； 对于B，当时，，又为正实数，， ，当时，恒成立，在上单调递增， 则由得：，即， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， ，则正实数的最小值为，B正确； 对于C，，当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增；，则； 不妨设，则必有， 若，则，等价于， 又，则等价于； 令，则， ，，，，即， 在上单调递增，，即， ，可知不成立，C错误； 对于D，由，得：，即， 由C知：在上单调递减，在上单调递增； ，，则，， ，即，； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， 即的最大值为，D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：本题C选项考查了导数中的极值点偏移问题；处理极值点偏移中的类似于（）的问题的基本步骤如下： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导后可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论. 8．函数的零点为，函数的零点为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过条件，以及与的图象关于对称，的图象关于对称得到，然后利用等量代换以及基本不等式可分别判断各个选项. 【详解】由已知，即， ，即， 令 ，则， 又因为与的图象关于对称，的图象关于对称， 所以与分别与的交点关于对称， 所以，即， 又因为，， 由零点存在性定理可知， 又，即，所以， 对于A：，A错误； 对于B：，B错误； 对于C：因为，所以， ， 当且仅当，即时等号成立，又， ，C正确； 对于D：， 当且仅当，即时等号成立，不可能， 所以，D错误. 故选：C. 9．已知直线分别与函数和的图象交于点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】A选项，看出与互为反函数，确定也关于对称，求出，两点关于对称，，，，A选项，利用基本不等式进行证明；B选项，得到，，，构造，，求导得到其单调性，从而求出；C选项，由基本不等式得到，构造，求导得到其单调性，得到，得到；D选项，先根据得到，再用作差法比较大小. 【详解】与互为反函数，即两函数关于对称， 而与垂直，故也关于对称， 联立，解得：， 故，两点关于对称， 即，且， 不妨设，， 画出图象如下： A选项，，当且仅当，即时等号成立， 又，故等号取不到，A正确； 因为，所以，所以， 因此，故， 又为与的交点，故， 所以，令，， 其中在上恒成立， 故在上单调递增， 所以，B正确； 因为，， 所以，因此有， 设，， 因为，所以，因此在上单调递增， 当时，有，即， 因此，C错误； 因为，所以， 所以， 即，D正确. 故选：ABD 【点睛】互为反函数的两个函数的性质：①反函数的定义域和值域分别为原函数的值域与定义域； ②严格单调的函数存在反函数，但有反函数的函数不一定是单调的（比如反比例函数）； ③互为反函数的两个函数关于对称， ④奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也时奇函数； ⑤如果一个函数图象关于对称，那么这个函数一定存在反函数，并且其反函数就是它本身. 10．已知函数有四个零点，则（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据函数零点转化为方程的根，令，即方程有两根，根据一元二次方程根与系数的关系，结合函数图象、指数函数与对数函数的性质逐项分析即可得答案. 【详解】由题意知有四个不同的根，显然，即， 令，即，即． 另外，， 令得，故在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，，如图所示： 根据题意知存在两根，，不妨设， 则满足，． 即有，， 则由图象可知，所以，故A不正确； 由于方程的两根，满足，所以，解得，故B正确； 由，，得， 两边取自然对数得，故C正确； 由，两边取自然底数得 若，则，所以， 令，所以恒成立，所以在上单调递减，又，且，所以，故D正确. 故选：BCD． 11．设函数，则（    ） A． B．函数有最大值 C．若，则 D．若，且，则 【答案】ACD 【分析】根据的解析式直接求解可对A判断；利用导数求最值方法可对B判断；结合给出的已知条件并利用A、B中的结论可对C、D判断求解. 【详解】对A，由题意知，所以，故A正确； 对B，由题意知的定义域为，， 当，，当，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到极小值也是最小值，故B错误； 对C，当时，可得，由A知， 所以， 由B知恒成立，所以，故C正确； 对D，当时，得，又因为，所以， 由B知在上单调递增，所以，又由A知， 所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：灵活运用已知条件，，并结合的对称性和单调性进行求解. 12．已知直线与曲线相交于不同两点，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，构造函数，计算即可判断；对于B，写出、点处的切线程联立并化简得，而，计算即可判断；对于C，根据斜率相等可得，为两切线的交点代入化简得，再计算可得；对于D，根据，计算即可判断. 【详解】对A，令，则， 故时，单调递增；时，单调递减， 所以的极大值，且，， 因为直线与曲线相交于､两点， 所以与图象有个交点，所以，故A正确； 对B，设，且，可得， 在点处的切线程为 ，得， 即， 因为，所以，即，故B错误； 对C，因为，所以， 因为为两切线的交点， 所以 ， 即，所以， 所以 ，故C正确； 对D，因为，，所以， 又因为，所以，所以， 同理得，得，即， 因为，所以， 所以，即，故D正确. 其中不等式①的证明如下： 不等式①（其中）， 构造函数，则． 因为，所以，所以函数在上单调递减，故，从而不等式①成立. 故选：ACD.    【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3题 导数&零点：高考数学命门 （一题多变） 【2025届山东省潍坊高三上学期质量监测数学试题】已知函数和，若则（ ） A．                B．               C．                D． 【思路分析】本题主要考察零点相关问题，解题的关键在于建立变量之间的关系，把多变量问题转化为单变量问题，并结合函数单调性、零点存在定理、函数对称性、基本不等式以及利用导数研究函数性质等知识，如在分析关系时，利用变量之间的关系构建函数，再借助函数单调性求解，也可利用函数对称性求解，从数与形两个角度综合考虑，考验对函数本质的理解；确定更精确范围以及比较和大小，运用函数值计算与基本不等式，思维灵活转换，对于与的大小判断，根据其共同结构特征采用构造函数并利用导数研究其单调的方法求解即可. 【详解】对于A选项： 方法一：由题意，得， ， 令在单调递增，所以， 代入得，所以． 方法二：由可得， 代入得，所以． 方法三：由题意，得， 由与关于对称，关于对称， 则的交点与的交点与的交点关于的交点对称， 则，故A对； 对于B选项：在上递增，且，， 的零点的范围为，故B对； 对于C选项：方法一：因为，故，C错； 方法二：由题意易知，， ，，，故C错； 方法三：，，令， ，在单调递增，，故C错． 对于D选项：解法一：， 令，，在上单调递增，，，故只需，故D对． 解法二：令，，， ，，， ，故故D对. 故选：ABD． 【题后反思】本题是，的零点，四个选项都是关于两零点的相等和不等关系，关键在建立之间的关系，用零点存在性定理卡住的范围，把双变量转化为单变量进行求解，因为本题的结构特征，可考虑进行指对同构进行解决，找到变量之间的关系. 【变化角度】改变角度：方程问题转化函数零点问题，本题与原题题干题意都一样，只是描述的角度不同，运用载体不同，由原来的方程问题转化函数零点问题，对选项做了一些变化，本题是利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题、利用导数研究函数的零点. 例：（多选题）已知函数的零点为，函数的零点为，则（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】ACD 【分析】注意到，又可得在单调递增，则有，后由零点存在性定理可得范围.，之后判断各选项正误即可得答案. 【详解】， 又函数的零点为，则，其中. ，得在上单调递增，又其有零点，则为其唯一零点. 又，得. 注意到，， 则，且. 对于A，因，， 则，故A正确. 对于B，因，则. 令.在上单调递减， 则，得在上单调递增. 则，即，故B错误. 对于C选项，因，，则，故. 则由基本不等式结合有：，故C正确. 对于D选项，因，则，由C选项分析可知. 则令，. 得在上单调递增，故，即.故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题涉及函数零点，构造函数证明不等式，需注意以下两点: （1）若题目中同时出现与，常通过使出现相同结构. （2）对于双变量问题，常利用消元思想转化为关于一个未知数的问题. 【举一反三】 1．已知函数为的反函数，若的图象与直线交点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C． D． 2．若函数，，满足对均有，则的取值不可能为（    ） A． B． C． D．9 【变换角度】改变角度：引入参数建立等价关系，都是导数研究双变量问题，原题是直接由方程相等且为零点明的关系；本题是用将两者联系，根据条件的函数关系确定参数的等量关系，结合目标式化简并构造函数，应用导数研究函数的单调性，如下： 例：（多选）已知函数，，若，，则的取值可能是（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】BC 【分析】由已知条件可推得，即有，结合目标式化简可得，令，利用导函数研究其单调性并确定区间最小值，即为的最小值，根据最小值进行选择即可. 【详解】由题意，，得， ∴，即， 又，得 ∵在上单调递增， ∴综上知：， ∴， 令，，则 ∴，得；，得； 故在上单调递减，在上单调递增. ∴， A：因为，所以本选项不符合题意； B：因为，所以本选项符合题意； C：显然符合题意； D：因为，所以本选项不符合题意， 故选：BC 【点睛】关键点睛：根据条件的函数关系确定参数的等量关系，结合目标式化简并构造函数，应用导数研究函数的单调性，进而确定区间最小值. 【举一反三】 3．已知函数与有两个不同的交点，交点坐标分别为，，下列说法正确的有（    ） A．在上单调递减，在上单调递增 B．的取值范围为 C． D． 4．函数 ，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，x､y均为正数，则 D．若有两个不相等的实根，则 【变换角度】改变角度：化双函数为单个函数的零点问题，都是导数研究双变量问题，原题是直接由方程相等且为零点明确的关系；本题是用将两者联系，根据条件的函数关系确定参数的等量关系，结合目标式化简并构造函数，应用导数研究函数的单调性，如下： 例：(多选)已知函数有两个零点，则（ ） A．的取值范围为   B．    C．   D． 【答案】BCD 【分析】利用导数判断函数的单调性，根据零点的个数求出的取值范围，进而确定的取值范围，再利用不等式的性质、构造函数利用导数逐一判断即可. 【详解】， 因为，所以当时，单调递增，函数至多有一个零点； 当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，最大值为：， 当时，，所以函数至多有一个零点； 当时，，而，当时，， 当时，，所以函数在内各有一个零点，所以， 因此选项A不正确； 选项B：因为， 所以，因此本选项正确； 选项C：因为，当时，，所以，因此， 构造新函数， ，因为，所以单调递减， 因此当时，，又因为， 所以，而， 因此，所以本选项正确； 选项D：，令， 显然有，令，显然，因此有： ，设， 所以有，当时，单调递减，当时，单调递增，因为，所以， 令， 即， 因为，所以单调递增， 因为，所以， 而，所以，因为，所以， 当时，单调递减，因此有，即，所以本选项说法正确， 故选：BCD 【点睛】关键点睛：本题的关键在于构造函数、 、，利用导数研究单调性，根据单调性进行求解. 【举一反三】 5．已知函数有两个零点，且，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D．有极小值点 6．若对任意的，，且，都有，则m的值可能是（    ） A． B． C． D．1 7．已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A．在上是增函数 B．，不等式恒成立，则正实数的最小值为 C．若有两个零点，则 D．若，且，则的最大值为 8．函数的零点为，函数的零点为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．已知直线分别与函数和的图象交于点，，则（    ） A． B． C． D． 10．已知函数有四个零点，则（    ） A． B． C． D．若，则 11．设函数，则（    ） A． B．函数有最大值 C．若，则 D．若，且，则 12．已知直线与曲线相交于不同两点，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$