精品解析：湖南省衡阳市衡南县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

2025年上学期期中质量检测试题 八年级数学 提示： 1．本学科试题共三道大题，满分120分，时量120分钟． 2．本学科试题的作答一律答在答题卡上，选择题用2B铅笔按涂写要求将你认为正确的选项涂黑；非选择题用黑色墨水签字笔作答，作答不能超出黑色矩形边框．直接在问卷上作答无效． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的定义判断即可． 【详解】，，都是整式，是分式． 故答案为：C． 【点睛】本题主要考查了分式的定义，理解并掌握分式的概念是解题的关键． 2. 每到四月，许多地方的杨絮、柳絮如雪花漫天飞舞，人们不堪其忧，据测定，杨絮纤维的直径约为0.0000115 ，该数值用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】绝对值小于1的正数科学记数法表示的一般形式为 故选D. 【点睛】此题考查科学记数法，解题关键在于掌握科学记数法的一般形式. 3. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简分式的概念判断即可． 【详解】解：、，不是最简分式，不符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、是最简分式，符合题意； D、，不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是最简分式的概念，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 4. 在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了第二象限的点坐标的特征．熟练掌握第二象限的点坐标为是解题的关键． 根据第二象限的点坐标为，进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，手在第二象限， ∴是可能的点坐标， 故选：B． 5. 若直线y=kx-2经过二、三、四象限，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一次函数图象经过第二、三、四象限，利用一次函数图象与系数的关系，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数y=kx-2的图象经过二、三、四象限， ∴k＜0． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限”是解题的关键． 6. 已知反比例函数，则下列描述不正确的是( ) A. 图象位于第一，第三象限 B. 图象必经过点 C. 图象不可能与坐标轴相交 D. y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质，，当时，每个象限内，随增大而减小，结合图象分布以及反比例函数图象上点的坐标特点，分别分析是解题关键． 【详解】解：A．反比例函数，则图象位于第一、三象限，故此选项A正确，不合题意； B．当时，，即图象必经过点，故此选项B正确，不合题意； C．图象不可能与坐标轴相交，故此选项C正确，不合题意； D．每个象限内，随的增大而减小，故此选项D不正确，符合题意； 故选：D． 7. 关于的分式方程的解是正数，则字母的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：分式方程去分母得：2x－m＝3x＋3， 解得：x＝－m－3， 由分式方程的解为正数，得到－m－3＞0，且－m－3≠－1， 解得：m＜－3， 故选D． 点睛：此题考查了分式方程的解，要注意分式方程分母不为0这个条件． 8. 函数与在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与反比例函数图象综合，根据函数图象分别求出反比例函数比例系数的符号以及一次函数一次项系数和常数项的符号，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：A、由一次函数图象可知，由反比例函数图象可知，二者不一致，不符合题意； B、由一次函数图象可知，由反比例函数图象可知，二者一致，符合题意； C、由一次函数图象可知一次项系数大于0，常数项大于0，即，二者矛盾，不符合题意； D、由一次函数图象可知一次项系数大于0，常数项大于0，即，二者矛盾，不符合题意； 故选：B． 9. 如图，在四边形中，动点P从点A开始沿A→B→C→D的路径匀速前进到D为止．在这个过程中，的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是函数图象，解题的关键是根据点P到直线的距离来判断S与t的关系．根据点P的运动过程可知：的边始终不变，点P到直线的距离为的高，根据高的变化即可判断S与t的函数图象． 【详解】解：设点P到直线的距离为h， ∴的面积为：， 当P在线段运动时，此时h不断增大，S也不断增大； 当P在线段上运动时，此时h不变，S也不变； 当P在线段上运动时，此时h不断减小，S不断减少； 又因为匀速行驶且，所以在线段上运动的时间大于在线段上运动的时间． 故选：C． 10. 如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴的垂线交轴于点，点是轴上任意一点，，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数中的几何意义，过作轴于，连接，如图所示，即可得到，从而得到答案，熟记反比例函数中的几何意义是解决问题的关键． 【详解】解：过作轴于，连接、，如图所示： 过点作轴的垂线交轴于点， ，解得， 故选：A． 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11. 已知分式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．熟记分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 12. 若关于x的分式方程有增根，则增根是______． 【答案】1 【解析】 【分析】分式方程的增根：使分式方程最简公分母为0的未知数的值，根据增根的含义可得答案． 【详解】解： ， 方程两边都乘以 ∴方程的增根是使的x的值， 故答案为1 【点睛】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握解分式方程的方法与分式方程的增根的含义是解题的关键． 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的坐标为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查点的坐标关于原点对称，熟练掌握点的坐标关于原点对称：横纵坐标都互为相反数；进而此题可根据此方法进行求解m的值． 【详解】解：由点关于原点对称的坐标为，可知：， ∴； 故答案为． 14. 将直线向上平移5个单位，得到的直线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“上加下减”的移动规律填空． 【详解】解：直线向上平移5个单位，得到：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换．直线平移变换的规律：对直线而言：上下移动，上加下减；左右移动，左加右减．掌握其中变与不变的规律是解决直线平移变换的好方法． 15. 点P在第四象限，距离x轴3个单位长度，距离y轴5个单位长度，那么点P的坐标是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据到x轴的距离即为纵坐标的绝对值、到y轴的距离即为横坐标的绝对值，再由第四象限点的坐标符号特点可得答案． 【详解】解：∵点P位于第四象限，且距离x轴3个单位长度，距离y轴5个单位长度， ∴点P的纵坐标为-3，横坐标为5，即点P的坐标为（5，-3）， 故答案为：（5，-3）． 【点睛】本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握到x轴的距离即为纵坐标的绝对值、到y轴的距离即为横坐标的绝对值及四个象限内点的坐标的符号特点． 16. 已知在函数的图象上，则的大小关系是：____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性可以求得m与n的大小关系，从而可以解答本题． 【详解】解：∵，， ∴y随x的增大而增大， ∵在函数的图象上，， ∴, 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确一次函数图象的特点，利用一次函数的性质解答． 17. 如图，已知直线y＝﹣2x+b与直线y＝ax﹣1相交于点(2，﹣2)，由图像可得不等式﹣2x+b＞ax﹣1的解集是____． 【答案】x﹤2 【解析】 【分析】根据要求即求﹣2x+b＞ax﹣1的解集，就是求直线y＝﹣2x+b在直线y＝ax﹣1上方的区间，根据图象解答即可． 【详解】解：求﹣2x+b＞ax﹣1的解集，就是求直线y＝﹣2x+b在直线y＝ax﹣1上方的区间， 当x＜2时，直线y＝﹣2x+b在直线y＝ax﹣1的上方， 根据图象可得不等式﹣2x+b＞ax﹣1的解集是x＜2． 故答案为：x＜2. 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键是正确从图象中得到信息以交点（2，﹣2）为分界，y=﹣2x+b的图象在直线y=ax﹣1的上边，即可判断结果． 18. 如图，直线与直线相交于点，则关于x、y的方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，掌握两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解是解题的关键． 先利用得到P点坐标，再根据两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解即可解答． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∴关于x、y的方程组的解为：． 故答案为：． 三、解答题（共8题，共66分） 19. 计算： 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、零次幂、负整数次幂、算术平方根等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 先运用零次幂、负整数次幂、绝对值、算术平方根化简 ，然后再计算即可． 【详解】解： ． 20. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可． 【详解】解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 21. 先化简，再求值：，在，，2中选一个合适的数作代入求值． 【答案】，时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，解题关键是熟练掌握分式的通分和约分．先把分式化简后，再把使原分式有意义的数代入化简后的式子，计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ， 当时，分式无意义， 所以取， 当时，原式． 22. 小明家，新华书店，学校在一条笔直的公路旁，某天小明骑车上学，当他骑了一段后，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续骑车去学校，他本次骑车上学的过程中离家距离与所用的时间的关系如图所示，请根据图像提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的距离是 米； （2）小明在书店停留了 分钟； （3）本次上学途中，小明一共骑行了 米； （4）买到书后，小明从新华书店到学校的骑车速度是多少？ 【答案】（1）1500 （2）4 （3）2700 （4）小明从新华书店到学校的骑车速度是450米/分 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据函数图象即可得出答案； （2）根据函数图象即可得出答案； （3）根据函数图象即可得出答案； （4）根据函数图象即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据图象，学校的纵坐标为，小明家的纵坐标为， ∴小明家到学校的距离是米； 【小问2详解】 解：根据图象，小明在书店停留的时间为从分钟到分钟，， ∴小明在书店停留了分钟； 【小问3详解】 解：根据图象可得： 本次上学途中，小明一共骑行了米； 【小问4详解】 解：根据图象可得： 买到书后，小明从新华书店到学校的骑车速度是米/分． 23. 已知函数． （1）若这个函数经过原点，求m的值． （2）若函数的图象平行于直线，求m的值； （3）若这个函数是一次函数，且图象不经过第四象限，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象、一次函数图象的平行条件、一次函数图象的分布等知识点，熟练掌握平行条件以及图象分布的条件是解题的关键． （1）根据这个函数经过原点，则满足函数，再将其代入解析式计算即可． （2）根据函数的图象平行于直线，得，求m的值即可； （3）根据这个函数是一次函数，且图象不经过第四象限，得到，求得m的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的函数的图象经过原点， ∴点满足函数的解析式， ∴，解得：． 【小问2详解】 解：∵函数的图象平行于直线， ∴，解得：． 【小问3详解】 解：函数是一次函数，且图象不经过第四象限， ∴，解得：． ∴m的取值范围是． 24. 某销售商准备在昆明采购一批茶叶，经调查，用元采购型茶叶的件数与用元采购型茶叶的件数相等，一件型茶叶进价比一件型茶叶进价多元． （1）求一件型、型茶叶的进价分别为多少元？ （2）若销售商购进型、型茶叶共件，其中型的件数不大于型的件数，且不少于件．若型的售价是元/件，销售成本为元/件；型的售价为元/件，销售成本为元/件．设购进型茶叶件．求销售这批茶叶的利润(元)与(件)的函数关系式，并求出当利润最大时的购买方案，求出最大利润（每件销售利润售价进价销售成本）． 【答案】（1）一件型、型茶叶的进价分别为元，元；（2）型购买件，型购买件，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）设一件A型茶叶的进价为x元，则一件B型茶叶的进价为（x−100）元．根据10000元采购A型茶叶的件数与用8000元采购B型茶叶的件数相等，列出分式方程即可解决问题； （2）依据不等关系列出不等式，即可得到m的取值范围，再根据总利润＝两种茶叶的利润之和，列出一次函数表达式，即可解决问题． 【详解】（1）设一件型茶叶的进价为元，则一件型茶叶的进价为元 由题意得， 解这个方程得， 经检验得是原方程的根： 则， 答：一件型、型茶叶的进价分别为元，元； （2）由题意得，且，解得， 随的增大而增大，当时，元， 答：利润最大的购买方案：型购买件，型购买件， 最大利润为元． 【点睛】本题考查分式方程的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或一次函数解决问题． 25. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，交轴于点，交轴于点． （1）求一次函数与反比例函数的函数关系式． （2）连结，求的面积． （3）根据图象直接写出时，的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把的坐标代入反比例函数的解析式求出，把的坐标代入反比例函数解析式求出，把、的坐标代入一次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解即可； （2）求出一次函数与轴的交点坐标，的值，根据三角形的面积公式求出即可； （3）结合图象和、的坐标即可求出答案． 【小问1详解】 解：把代入代入，得：， ， 把代入得：， ， 把、的坐标代入得： ， 解得：，， ， 反比例函数的表达式是，一次函数的表达式是； 【小问2详解】 把代入得：， ，， ， 即的面积是； 【小问3详解】 根据图象和、的坐标得出， 当或时，的值大于反比例函数的值． 【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目． 26. 【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：直线的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点． （1）如图2，当时，在第二象限构造等腰直角，； ①直接写出　 　，　 　； ②点C的坐标是 ； （2）如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，请求出这个定值．若变，请说明理由； （3）【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系，点，过点B作轴于点A，作轴于点C，P为线段上的一个动点，点位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）①3，6；② （2）的面积是定值，定值为18 （3）2或 【解析】 【分析】（1）①若，则直线与轴，轴分别交于，两点，即可求解； ②作于，则．由全等三角形的性质得，，即可求解； （2）由点随之在轴负半轴上运动时，可知，过点作于，则．由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式即可求解； （3）过点Q作于E，交于F，分两种情况：当点Q在下方时；当点Q在上方时，分别 求出a值即可． 【小问1详解】 解：①若，则直线为， 当时，， ， 当时，， ， ，； ②作于， ， ， 是以A为直角顶点的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 点C的坐标为； 【小问2详解】 解：当变化时，的面积是定值，， 理由如下： 当变化时，点随之在轴负半轴上运动时， ， 过点作于，如图， ， ， ， ， ， ， ，， ． ， ． 变化时，的面积是定值，定值为18． 【小问3详解】 解：能，构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，，， 过点Q作于E，交于F， 分两种情况：当点Q在下方时，如图， ∵，， ∴， 由“k型全等”可得， ∴， ∵，， ∴，， ∴ 解得：； 当点Q在上方时，如图， 同理得： ， ∴， ∵，， ∴，， ∴ 解得：； 综上，当或时，能构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形， 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，一次函数图象性质，坐标与图形，掌握“k型全等”模型是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上学期期中质量检测试题 八年级数学 提示： 1．本学科试题共三道大题，满分120分，时量120分钟． 2．本学科试题的作答一律答在答题卡上，选择题用2B铅笔按涂写要求将你认为正确的选项涂黑；非选择题用黑色墨水签字笔作答，作答不能超出黑色矩形边框．直接在问卷上作答无效． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 每到四月，许多地方的杨絮、柳絮如雪花漫天飞舞，人们不堪其忧，据测定，杨絮纤维的直径约为0.0000115 ，该数值用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 5. 若直线y=kx-2经过二、三、四象限，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知反比例函数，则下列描述不正确的是( ) A. 图象位于第一，第三象限 B. 图象必经过点 C. 图象不可能与坐标轴相交 D. y随x的增大而减小 7. 关于的分式方程的解是正数，则字母的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 8. 函数与在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，动点P从点A开始沿A→B→C→D的路径匀速前进到D为止．在这个过程中，的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴的垂线交轴于点，点是轴上任意一点，，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11. 已知分式有意义，则的取值范围是_____． 12. 若关于x的分式方程有增根，则增根是______． 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的坐标为，则__________． 14. 将直线向上平移5个单位，得到的直线的解析式为______． 15. 点P在第四象限，距离x轴3个单位长度，距离y轴5个单位长度，那么点P的坐标是____． 16. 已知在函数的图象上，则的大小关系是：____． 17. 如图，已知直线y＝﹣2x+b与直线y＝ax﹣1相交于点(2，﹣2)，由图像可得不等式﹣2x+b＞ax﹣1的解集是____． 18. 如图，直线与直线相交于点，则关于x、y的方程组的解为______． 三、解答题（共8题，共66分） 19. 计算： 20. 解分式方程：． 21. 先化简，再求值：，在，，2中选一个合适的数作代入求值． 22. 小明家，新华书店，学校在一条笔直的公路旁，某天小明骑车上学，当他骑了一段后，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续骑车去学校，他本次骑车上学的过程中离家距离与所用的时间的关系如图所示，请根据图像提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的距离是 米； （2）小明在书店停留了 分钟； （3）本次上学途中，小明一共骑行了 米； （4）买到书后，小明从新华书店到学校的骑车速度是多少？ 23. 已知函数． （1）若这个函数经过原点，求m的值． （2）若函数的图象平行于直线，求m的值； （3）若这个函数是一次函数，且图象不经过第四象限，求m的取值范围． 24. 某销售商准备在昆明采购一批茶叶，经调查，用元采购型茶叶的件数与用元采购型茶叶的件数相等，一件型茶叶进价比一件型茶叶进价多元． （1）求一件型、型茶叶的进价分别为多少元？ （2）若销售商购进型、型茶叶共件，其中型的件数不大于型的件数，且不少于件．若型的售价是元/件，销售成本为元/件；型的售价为元/件，销售成本为元/件．设购进型茶叶件．求销售这批茶叶的利润(元)与(件)的函数关系式，并求出当利润最大时的购买方案，求出最大利润（每件销售利润售价进价销售成本）． 25. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，交轴于点，交轴于点． （1）求一次函数与反比例函数的函数关系式． （2）连结，求的面积． （3）根据图象直接写出时，的取值范围． 26. 【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：直线的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点． （1）如图2，当时，在第二象限构造等腰直角，； ①直接写出　 　，　 　； ②点C的坐标是 ； （2）如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，请求出这个定值．若变，请说明理由； （3）【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系，点，过点B作轴于点A，作轴于点C，P为线段上的一个动点，点位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $